爱因斯坦怎样从光速不变假设巧妙推导洛伦茨变换公式

有博主在科学网上发文，其中说到：“爱因斯坦的《狭义和广义相对论浅说》是极为有名的科普著作。无论是在中文网还是在英文网上，打入这个书名都会发现好评如潮。爱因斯坦在该书的附录中给出了一个洛仑兹变换的简单推导。这个简单推导的前几步实际上搞混了数轴两侧的数值符号，犯了很初级的错误”。在文章最后，这位博主还说：“爱因斯坦的这本书用不同语言反复再版（爱因斯坦生前已出至第十五版）、读者亿万，却少有人指出这个初级的错误。一个可能原因是，当面对小人物时，我们思维充满了科学精神和怀疑态度，而读名人伟人的著作时却失去了科学精神和怀疑态度”。

如果属实，这还真是一个值得注意的严重问题。好在网上这本书并不难找到。在下载和揣摩之后，我发现爱因斯坦不但是正确的，而且他的推导方法很巧妙，令人钦佩！不过因为它只是一个小册子，却要覆盖狭义和广义相对论，有些推导写得简约一点。鉴于这位博主是少见的理性的反相对论者，值得进行认真的讨论，下面就来对爱因斯坦的推导作一个详细一点的叙述。

讨论二维时空。假定坐标系K’相对于坐标系K 以速度v运动，而且t=0时两个坐标系的原点重合，时钟也同步。那么，按照经典力学的伽利略变换，两个坐标系中的位置x和时刻t的关系是：

$t'=t$                                      （1）

$x'=x+vt$                                 （2）

但是伽利略变换和光速不变假设明显不相容。因此，我们必须考虑更一般的线性变换：

$t'=ax+bt$                            （3）

$x'=fx+gt$                           （4）

这里有四个待定常数：a,b,f,g。

爱因斯坦说：根据光速不变假设，我们可以得到两个条件。考虑一个时刻t=0时位于x=0的正向传播的光脉冲，

$x=ct$                                  （5）

那么在坐标系K中，它是一个时刻t’=0时位于x’=0的正向传播的光脉冲，必须有：

$x'=ct'$                                  （6）

因为（3）（4）是线性变换，（5）成立时（6）一定也成立的必要充分条件是：

$x'-ct'=m(x-ct)$                       （7）

同理，考虑另外一个沿着x负方向传播的光脉冲：

$x'+ct'=n(x+ct)$                     （8）

有了（7）（8）两个条件，方程组（3）（4）中的四个待定常数可以消去两个，变成如下形式：

$x'=ux-wct$                              （9）

$ct'=uct-wx$                            （10）

为了决定这两个常数u,w，爱因斯坦研究了K' 坐标系原点的运动和引用了相对性原理，结果当然就是众所周知的洛伦茨变换。

爱因斯坦的推导没有错，是那位博主错误理解了爱因斯坦的推理。

验算：令c=1 （理论物理里经常选用的单位制），根据（9）和（10），有：

$x'-t'=(u+w)(x-t)$

$x'+t'=(u-w)(x+t)$

其实方程组（3）（4）是多余的，爱因斯坦直接跳过了。我把它明显地写出来，是为了更容易看到从光速不变--有（5）就有（6）--怎样得到（7）。

补充：

鉴于马青平博主不能理解上面的推导，下面我试图给出一个更详细的推导。

前提：1.相对性；2.线性变换；3.光速不变。

伽利略变换满足1，2，不满足3. 洛伦茨变换同时满足1，2，3.

初始条件：t=0时两个坐标系的原点重合，原点处的时钟也对准了：

         即：x=0,t=0 => x'=0,t'=0

因此，时空坐标的变换是齐次线性变换，没有常数项：

$t'=ax+bt$                            （3）

$x'=fx+gt$                           （4）

显然，它们等价于：

$x'-ct'=m(x-ct)+m'(x+ct)$        (7')

$x'+ct'=n(x+ct)+n'(x-ct)$          (8')

现在让我们来应用光速不变的条件。对任意的x,表达式x=ct 描写一个在t=0时经过原点的光脉冲。它也是t'=0时经过K’坐标系原点的光脉冲，而且速度也是c。所以，此时必定要有：x'=ct'。

换句话说，光速不变要求对任意的x, x=ct 时一定要有 x'=ct',这只有在（7’）中的常数m'=0才可能。

从光速不变和（7’），我们就得到了（7）。同样道理，从光速不变和（8’）能得到（8）：

$x'-ct'=m(x-ct)$                       （7）

$x'+ct'=n(x+ct)$                        （8）

方程（7）（8）对任何（x,t,x',t'）成立。