NQED（2）自由电磁场的量子化

这是2000年的论文“一个基于组态波泛函和量子拉格朗日方程的新的量子电动力学理论”的一部分，保留历史原貌，不作修改。

1. 自由电磁场的量子化

    本文中, 我们将采用一种推广的张量记号. 经典场被看作是一种广义的向量. 时空坐标x和场的内部指标将合在一起构成这些向量的复合指标. 因此, 电磁场在时空点x的逆变和协变分量将被记作${{A}^{x\mu }}$和${A_{x\mu }}$. 我们将用广义的度规来升降这些复合指标. 例如:

              ${{A}^{x\mu }}=\int{dy}\cdot {{g}^{x\mu ,y\nu }}{{A}_{y\nu }}$, 

              $ {{A}_{y\nu }}=\int{dx}\cdot {{g}_{y\nu .x\mu }}{{A}^{x\mu }} $                         (1.1)

其中电磁场的广义度规是:

              $ {{g}^{x\mu ,y\nu }}={{\delta }^{xy}}{{g}^{\mu \nu }}=\delta (x-y){{g}^{\mu \nu }}$

              $ {{g}_{y\nu .x\mu }}={{\delta }_{yx}}{{g}_{\nu \mu }}=\delta (x-y){{g}_{\nu \mu }} $        (1.2)

如果不会引起误解, 以后我们常常略去对重复的时空坐标和动量指标的积分号. 按照新理论的第一个基本原理, 量子电磁场的波泛函是:

              ${\Psi  = \Psi ({A^{x\mu }})}$                          (1.3)

或者简写成

              ${\Psi  = \Psi (A)}$.                                (1.4)

本文将使用洛伦茨规范. 并假定电磁场在时空的无穷远处满足周期性边界条件[2]. 经典电磁场的作用量是

              ${S_\gamma } = \int {dx}  \cdot {A_{x\mu }}( - \frac{1}{2}{\hat k^2}){A^{x\mu }}$                  (1.5)

其中 ${\hat k^2} = i{\partial _\nu } \cdot i{\partial ^\nu }$. 我们猜想, 量子场的真空态${\Psi _{0\gamma }}$ 是

              ${\Psi _{0\gamma }} = \exp [\frac{i}{2}{S_{\gamma F}}],$

              ${S_{\gamma F}} =  - \frac{1}{2}\int {dx}  \cdot {A_{x\mu }}({{\hat k}^2} + i\hat \varepsilon ){A^{x\mu }}.$                  (1.6)

这里的$\hat \varepsilon $是一个无穷小算符. 波泛函空间的基本的算符是${{A^{x\mu }}}$，${{A_{x\mu }}}$, $\frac{\delta }{{\delta {A_{x\mu }}}}$和$\frac{\delta }{{\delta {A^{x\mu }}}}$. 为了构造一些描写量子场的产生和湮灭的明显协变的算符, 我们定义: 

              ${{\hat A}^{( \pm )x\mu }} = \frac{{{A^{x\mu }}}}{2} \pm {D_F}{^{x\mu }_{y\nu }} \cdot \frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {A_{y\nu }}}}$

              $= \frac{{{A^{x\mu }}}}{2} \mp \frac{1}{{\hat k + i\varepsilon }}\frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {A_{x\mu }}}},$

              ${{\hat A}^{( \pm )}}_{y\nu } = \frac{{{A_{y\nu }}}}{2} \pm {D_F}{^{x\mu }_{y\nu }} \cdot \frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {A^{x\mu }}}}$

                       $ = {g_{x\mu ,y\nu }}{{\hat A}^{( \pm )x\mu }},.$      (1.7)

其中${D_F}{^{x\mu }_{y\nu }}$ 是自由电磁场的 Feynman 传播子的张量记号, 它的详细的表达式将在后面给出. 很容易验证${\hat A^{( - )x\mu }}$和 ${\hat A^{( - )}}_{x\mu }$是量子场的湮灭算符:

              ${{\hat A}^{( - )x\mu }} \cdot {\Psi _{0\gamma }} = 0,$

              ${{\hat A}^{( - )}}_{x\mu } \cdot {\Psi _{0\gamma }} = 0.$           (1.8)

从(1.7)式可知场算符的对易关系是:

              $[{{\hat A}^{( - )x\mu }},{{\hat A}^{( + )}}_{y\nu }] = i{D_F}{^{x\mu }_{y\nu }},$

              $[{{\hat A}^{( - )x\mu }},{{\hat A}^{( + )y\nu }}] = i{g^{y\nu ,z\lambda }}{D_F}{^{x\mu }_{z\lambda }} = i{D_F}^{x\mu ,y\nu },$

              $[{{\hat A}^{( - )}}_{x\mu },{{\hat A}^{( + )}}_{y\nu }] = i{g_{x\mu ,z\lambda }}{D_F}{^{z\lambda }_{y\nu }} = i{D_{Fx\mu ,y\nu }}$            (1.9)

等等, 而且我们还有关系式:

              ${A^{x\mu }} = {{\hat A}^{( + )x\mu }} + {{\hat A}^{( - )x\mu }},$

              ${A_{x\mu }} = {{\hat A}^{( + )}}_{x\mu } + {{\hat A}^{( - )}}_{x\mu }.$ (1.10)

我们现在必须有一个代替薛定谔方程的新方程来确定物理态. 作为理论的第二个基本原理, 我们假定:

              ${\hat k^2}{\hat A^{( - )x\mu }} \cdot \Psi (A) = 0$                (1.11)

是量子电磁场的运动方程. 显然, ${\Psi _{0\gamma }}$ 是方程 (1.11) 的一个解. 同时, 当${\not h = 0}$时, 方程 (1.11) 成为:

              ${\hat k^2}{A^{x\mu }} \cdot \Psi (A) = 0,$                     (1.12)

这意味着在经典极限下, $\Psi (A)$ 当且仅当场${A}$是经典电磁场的拉格朗日运动方程的解时不为零. 因此, 以后我们将把新理论中量子场的运动方程称之为量子拉格朗日方程.

作为理论的第三个基本原理, 我们假定两个波泛函的内积是对称的和线性的:

              $({\Psi _1},{\Psi _2}) = ({\Psi _2},{\Psi _1}),$

              $(a{\Psi _1},{\Psi _2}) = a({\Psi _1},{\Psi _2}),$                  (1.13)

其中 a是一个任意复数. 因此模方$(\Psi ,\Psi )$ 并不一定是实数. 我们规定物理的态泛函的归一化条件是:

              $(\Psi ,\Psi ) = 1.$                               (1.14)

因此, 物理的态泛函的一个必要条件是它的模方不为零. 为了方便起见, 我们假定真空态${\Psi _{0\gamma }}$是归一化的:

              $({\Psi _{0\gamma }},{\Psi _{0\gamma }}) = 1.$              (1.15)

值得注意的是, 按照内积的这个定义, 态向量空间不是一个 Hilbert 空间; 态向量$\Psi $的复共轭${\Psi ^*}$ 从不出现在理论中. 对任何熟悉量子力学[3]的人来说, 这个新的原理看上去非常新奇. 但是我们将表明它工作得很好. 事实上, 物理态泛函的行为类似於实向量.

  如果对任意两个波泛函${\Psi _1},{\Psi _2}$  都有等式:

            $(\hat F{\Psi _1},{\Psi _2}) = ({\Psi _1},\hat G{\Psi _2}).$            (1.16)

则算符$\hat F$和$\hat G$称为相互对偶的. 以后我们将把 $\hat F$的对偶算符写成${\hat F^T}$.如果$\hat F = {\hat F^T}$,则我们说$\hat F$是一个自对偶算符.我们设想内积$({\Psi _1},{\Psi _2})$可以用某种推广的泛函积分算法来定义,并且满足泛函积分算法的一般规律.因此,以下我们常常把它写成泛函积分的形式:

           $({\Psi _1},{\Psi _2}) = \int {DA}  \cdot {\Psi _1}{\Psi _2}$            (1.17) 

当一个算符从右面作用在一个态泛函上时, 其结果定义为:

               $\Psi \hat F = {\hat F^T}\Psi .$                            (1.18)

因此在内积$\int {DA}  \cdot {\Psi _1}\hat F{\Psi _2}$ 中算符$\hat F$ 无论向左面或右面作用都给出相同的结果. 我们假定波泛函在电磁场的值趋于无穷时也满足周期性条件.因此,在(1.7)中定义的产生和湮灭算符相互共轭:

          ${\left( {{{\hat A}^{( + )x\mu }}} \right)^T} = {{\hat A}^{( - )x\mu }}.,$

          ${\left( {{{\hat A}^{( + )}}_{x\mu }} \right)^T} = {{\hat A}^{( - )}}_{x\mu ,}$              (1.19)

并且方程(1.8)和(1.11)可以重新写作

          ${\Psi _{0\gamma }} \cdot {{\hat A}^{( + )x\mu }} = 0,$

          ${\Psi _{0\gamma }} \cdot {{\hat A}^{( + )}}_{x\mu } = 0,$               (1.20)

和

          $\Psi  \cdot [{\hat k^2}{\hat A^{( + )x\mu }}] = 0.$                                    (1.21)

  第四个原理是关于测量结果的原理. 我们假定, 一个可观察量F的多次测量的平均值是

          $ < F{ > _\Psi } = \frac{{\int {DA}  \cdot \Psi \hat F\Psi }}{{\int {DA}  \cdot \Psi \Psi }}$     (1.22)

其中$\hat F$ 是一个对应於 $F$ 的自对偶算符. 虽然 $\Psi \Psi $ 不能被直接看作是几率密度, 这个假定意味着实质上我们保留了量子力学的几率解释.

  为了能得到量子场的能量动量守恒定律, 我们假定量子场的拉格朗日密度算符是

            ${\hat L_\gamma }(x) =  - 2{\hat A^{( + )}}_{x\lambda }{\hat k^2}{\hat A^{( - )x\lambda }}$,                      (1.23)

能量动量密度算符是

          ${\hat T^{\mu \nu }}_\gamma (x) =  - 4{\hat A^{( + )}}_{x\lambda }{\hat k^\nu }{\hat k^\mu }{\hat A^{( - )x\lambda }} - {g^{\mu \nu }}{\hat L_\gamma }(x)$  .             (1.24)

于是从方程(1.12) 和 (1.21) 我们得到:

          ${\partial _\nu }\int {DA \cdot \Psi {{\hat T}^{\mu \nu }}_\gamma (x)\Psi }  = 0.$                           (1.25)

为了描述具有确定能量和动量的单光子态, 我们需要电磁场的动量表示. 我们将记场的动量分量为${{A^{k\mu }}}$和${{A_{k\mu }}}$. 它们与场的坐标分量通过一个表象变换而相互联系: 

          ${A^{k\mu }} = u_x^k{A^{x\mu }},$

          ${A_{k\mu }} = u_k^x{A_{x\mu }},$                                (1.26)

其中的表象变换函数$u_x^k$和 $u_k^x$是:

          $u_x^k = {(2\pi )^{ - 2}}{e^{ + ikx}},$

          $u_k^x = {(2\pi )^{ - 2}}{e^{ - ikx}}.$                            (1.27)

我们在上标和/或下标上加星号来表示一个张量或变换函数的复共轭, 例如:

          ${A^{k\mu *}} = {({A^{k\mu }})^*},$

          $u_{x*}^{k*} = {(u_x^k)^*}.$                          (1.28)

因此我们有

           ${A^{k\mu *}} = u_{x*}^{k*}{A^{x\mu *}},$                          (1.29)

等等. 以下我们将经常使用关于复共轭的这个约定. 当我们升高或降低一个复变量的指标时, 我们必须使用厄米的度规. 例如, 从方程(1.26)-(1.29) 我们有

          ${A_{k\mu }} = {g_{k\mu ,k'\nu *}}{A^{k'\nu *}} = {g_{kk'*}}{g_{\mu \nu *}}{A^{k'\nu *}},$

          ${g_{kk'*}} = \delta (k - k'),$

          ${g_{\mu \nu *}} = {g_{\mu \nu }},$     

          ${A^{k\mu }} = {g^{k\mu ,k'\nu *}}{A_{k'\nu *}} = {g^{kk'*}}{g^{\mu \nu *}}{A_{k'\nu *}},$

          ${g^{kk'*}} = \delta (k - k'),$

          ${g^{\mu \nu *}} = {g^{\mu \nu }}.$                   (1.30)

在动量表示中, 光子的传播量是:

           ${D_F}{^{k\mu }_{k'\nu }} = {\delta ^k}_{k'}{\delta ^\mu }_\nu {D_F}({k^2}),$

           ${D_F}({k^2}) =  - \frac{1}{{{k^2} + i\varepsilon ({k^2})}}.$            (1.31)

坐标表示中的传播量可以通过一个表示变换得到:

           ${D_F}{^{x\mu }_{y\nu }} = u_k^x{D_F}{^{k\mu }_{k'\nu }}u_y^{k'}.$          (1.32)

量子场的产生和湮灭算符的动量分量是

           ${{\hat A}^{( \pm )k\mu }} = u_x^k{{\hat A}^{( \pm )x\mu }}$

                           $ = \frac{{{A^{k\mu }}}}{2} \pm {D_F}({k^2})\frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {A_{k\mu }}}},$

           ${{\hat A}^{( \pm )k\mu *}} = u_{x*}^{k*}{{\hat A}^{( \pm )x\mu *}}$

                           $ = \frac{{{A^{k\mu *}}}}{2} \pm {D_F}({k^2})\frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {A_{k\mu *}}}}$       (1.33)

和

           ${{\hat A}^{( \pm )}}_{k\mu } = \frac{{{A_{k\mu }}}}{2} \pm {D_F}({k^2})\frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {A^{k\mu }}}}$

           $ = {g_{k\mu ,k'\nu *}}{{\hat A}^{( \pm )k'\nu *}},$

           ${{\hat A}^{( \pm )}}_{k\mu *} = \frac{{{A_{k\mu *}}}}{2} \pm {D_F}({k^2})\frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {A^{k\mu *}}}}$

                           $= {g_{k\mu *,k'\nu }}{{\hat A}^{( \pm )k'\nu }}$   (1.34)

值得注意的是, 关于带有复共轭指标的产生和湮灭算符以及传播量的约定和对张量和变换函数的约定不同. 例如, ${\hat A^{( \pm )k\mu *}}$ 不是 ${\hat A^{( \pm )k\mu }}$的复共轭. .为了从${\hat A^{( \pm )k\mu }}$得到${\hat A^{( \pm )k\mu *}}$ , 我们只是把${\hat A^{( \pm )k\mu }}$的表示式中的任何指标用它的复共轭来代替. 从方程.(1.31),(1.33)和(1.34)容易得到以下的对易关系

           $[{{\hat A}^{( - )k\mu }},{{\hat A}^{( + )}}_{k'\nu }] = i{D_F}({k^2}){\delta ^\mu }_\nu {\delta ^k}_{k'},$

           $[{{\hat A}^{( - )k\mu }},{{\hat A}^{( + )k'\nu *}}] = i{D_F}({k^2}){g^{k\mu ,k'\nu *}},$

           $[{{\hat A}^{( - )}}_{k\mu },{{\hat A}^{( + )}}_{k'\nu *}] = i{D_F}({k^2}){g_{k\mu ,k'\nu *}}.$                     (1.35)

此外,我们还能定义混合表示中的传播量. 例如:

           ${D_F}{^{k\mu }_{x\nu }} = u_x^{k'}{D_F}{^{k\mu }_{k'\nu }} = u_x^k{\delta ^\mu }_\nu {D_F}({k^2}),$

           ${D_F}{^{k\mu *}_{x\nu }} = u_{x*}^{k*}{\delta ^\mu }_\nu {D_F}({k^2}),$      (1.36)

因此, 不同表示中的算符的对易关系能写作

          $[{{\hat A}^{( - )k\mu }},{{\hat A}^{( + )}}_{x\nu }] = i{D_F}{^{k\mu }_{x\nu }},$

          $[{{\hat A}^{( - )k\mu *}},{{\hat A}^{( + )}}_{x\nu }] = i{D_F}{^{k\mu *}_{x\nu }},$     (1.37)

等等. 在动量表示中, 量子场的运动方程是:

          ${k^2}{\hat A^{( - )k\mu }} \cdot \Psi  = 0,$                        (1.38)

方程(1.8),(1.10)和(1.20)则成为 

          ${{\hat A}^{( - )k\mu }}{\Psi _{0\gamma }} = {\Psi _{0\gamma }}{{\hat A}^{( + )k\mu }} = 0,$

          ${{\hat A}^{( - )}}_{k\mu }{\Psi _{0\gamma }} = {\Psi _{0\gamma }}{{\hat A}^{( + )}}_{k\mu } = 0,$

          ${{\hat A}^{( - )k\mu }} + {{\hat A}^{( + )k\mu }} = {A^{k\mu }},$

          ${{\hat A}^{( - )}}_{k\mu } + {{\hat A}^{( - )}}_{k\mu } = {A_{k\mu }}.$      (1.39)

当 ${k^2} = 0$, ${A^{k\mu }}{\Psi _{0\gamma }}$ 和 ${A^{k\mu {\rm{*}}}}{\Psi _{0\gamma }}$ 都满足方程(1.38); 可是它们的模方都是零, 所以不是物理态. 但它们的线性组合: 

          ${\Psi _{k\rho \theta }} = ({e^{ + i\theta }}{\rho _\mu }{A^{k\mu }} + {e^{ - i\theta }}{\rho _{\mu *}}{A^{k\mu *}}) \cdot {\Psi _{0\gamma }}$                   (1.40)

确实是一个物理态, 式中的$\rho $是一个复极化向量, 满足

          ${\rho ^\mu }{\rho _\mu } =  - 1$                                (1.41)

而$\theta $则是这个态的相位. 从(1.35),(1.39)-(1.41)等可以得到态${\Psi _{k\rho \theta }}$和${\Psi _{k\rho \theta '}}$ 的内积

          $\int {DA}  \cdot {\Psi _{k\rho \theta }}{\Psi _{k\rho \theta '}} =  - 2i{D_F}({k^2}){\delta ^4}(0)\cos (\theta  - \theta ').$                 (1.42)

因此, 对于给定的$k\rho $, 物理态有两个正交的模式, 其相位差为$\pi /2$.

在此理论中, 量子洛伦茨条件可取为

          ${\partial _\mu }{\hat A^{( - )x\mu }} \cdot \Psi  = 0.$                (1.43)

真空态${\Psi _{0\gamma }}$ 显然满足这个条件. 如果

          ${\rho ^\mu }{k_\mu } = 0.$                                    (1.44)

则单光子态${\Psi _{k\rho \theta }}$也满足这个条件. 因此量子洛伦茨条件看来并不引起任何困难.

  在动量表示中, 量子场的能量动量张量密度算符可取作:

          ${\hat T^{\mu \nu }}_\gamma (k) =  - 4{\hat A^{( + )}}_{k\lambda }{k^\nu }{k^\mu }{\hat A^{( - )k\lambda }} - {g^{\mu \nu }}{\hat L_\gamma }(k)$                   (1.45)

其中 

          ${\hat L_\gamma }(k) =  - 2{\hat A^{( + )}}_{k\lambda }{k^2}{\hat A^{( - )k\lambda }}$    .                         (1.46)

因此对单光子态${\Psi _{k\rho \theta }}$ (${k^2} = 0,{k^0} = |\vec k|$), 在全部时空中量子场的总能量动量的平均值是

          $\int {DA}  \cdot {\Psi _{k\rho \theta }} \cdot \int {dk'}  \cdot {{\hat T}^{0\mu }}_\gamma (k'){\Psi _{k\rho \theta }}$

                          $ =  - 8{k^0}{k^\mu }{D_F}({k^2}){D_F}({k^2}){\delta ^4}(0)$

                          $ =  - 2i{D_F}({k^2}){\delta ^4}(0) \cdot 2\pi \delta (0) \cdot {k^\mu }$   。(1.47)

按照方程(1.42),方程(1.47) 右面的第一项是${\Psi _{k\rho \theta }}$的模方;因子$2\pi \delta (0)$是时空的”无穷大”时间间隔. 因此态${\Psi _{k\rho \theta }}$ 确实有正确的四动量${k^\mu }$.