什么是协变和逆变矢量？数学家和物理学家的定义很不同（二）

能够称得上物理理论的，必定要有一个数学物理结构。量子力学和相对论也不例外。两者要用到的数学工具，主要就是广义的向量空间（或叫线性空间）的理论。所以，要想对相对论和量子力学有深入了解的人，一定要好好了解一下向量空间的数学和物理理论。

如果去读现代数学的教科书，大概会看到“体K上的向量空间V”这样的说法。因为我们只关心K是实数域或复数域这两种情形，就把相应的向量空间叫做实向量空间和复向量空间。

这里的“体”和“域”是现代数学家中的纯数学家发明的专业名词。要想了解它们的确切定义，请参考有关教科书。我的感想：数学家讲究一般性，严格性，发明了如此多的专业名词，足以让绝大多数人头昏脑胀，令人对数学家的高智商无比佩服，同时又对数学专业的学生无比同情。

所以，以下我们从简单又有用的实例开始，介绍向量空间的物理+数学概念。

如果不特别声明，我们将只讨论狭义相对论的时空，不讨论广义相对论的弯曲时空。后者太复杂了，物理上还没有定论，虽然广义相对论是最好的候选人。最主要的是，我还是门外汉，不想献丑。

第一个例子是我们生活在其中的物理空间。

根据经验，我们知道这个空间是三维的。如果我们建立了一个笛卡尔坐标系（直角坐标系），并且选定了长度的单位，空间中的每一个“点”就对应着三个实数的坐标，可记作 $x^1, x^2, x^3 $。而从坐标系原点到这个点则决定了一个向量，可记作：

              $\vec{x}=x^1 e_1+ x^2 e_2+ x^3 e_3 $     （1）

其中的 $(e_i; i=1,2,3)$ 是三个单位长度的向量-单位向量或基向量的集合，称作向量空间的一个基底。而$(x^i;i=1,2,3)$ 则称作向量的分量。

物理学家爱因斯坦发明了所谓的“暗和约定”：对相同的上下指标自动求和，使公式更简明。于是（1）可以简写成：

              $\vec{x}=x^i e_i$                                    (2)  

第二个例子是相对论的时空。一个时空点对应着四个实数的坐标，可记作 $x^0,x^1, x^2, x^3 $。其中的

              $x^0=ct $

但是理论物理学家都是些懒人，经常使用所谓“自然单位制”，取：

              $\hbar=c=1$

以后我们也就这么偷懒了。时空中四向量是：

              $x=x^0e_0+x^1 e_1+ x^2 e_2+ x^3 e_3 $     （3）

物理学家特别喜欢各种不变量，守恒量，对称性和守恒定律。在三维空间里，坐标系转动下向量的长度是一个不变量。在四维时空的洛伦茨变换下，不变量是四向量的“间隔”：

              $s^2={x^0}{x^0}-{x^1}{x^1}-{x^2}{x^2}-{x^3}{x^3}$

物理学家改写这个公式，使其更美丽的办法是，把  $x^0,x^1, x^2, x^3 $ 叫做向量$x$的逆变分量，定义$x$的协变分量为：$x_0,x_1,x_2,x_3$为：

               $x_\mu=g_{\mu\nu}x^\nu$      （4）

其中，度规张量 $g_{\mu\nu}$是对角型的：

               ${g}_{00}=-g_{11}=-g_{22}=-g_{33}=1$    （5）

其余的$g_{\mu\nu}$分量都是零。根据（4）和（5），有：

               $x_0=+x^0,$

               $x_1=-x^1,$

               $x_2=-x^2,$

               $x_3=-x^3,$         （6）

定义了逆变和协变分量之后，时空四向量的间隔就可简单地写成：

               $s^2={x_\mu}{ x^\mu}$   （7）

很多人愿意选择$g_{00}=-1$等等，也能建立等价的理论，没有什么不好。我们选择（5），只是因为大多数人现在这么选择。由此可见，度规张量没有确定的值。那么，它究竟是不是一个物理量？这还真是一个有趣的问题。

绝大多数物理量是有所谓量纲的。采用自然单位制之后，物理量只剩下一个量纲。假定我们用长度为量纲，记作$[L]$。那么，四向量的量纲是$[L]$，间隔的量纲是$[L^2]$，度规张量则是无量纲的数。

数学家是怎么处理的，和物理学家有什么重大区别？且听下回分解。