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数学笔记(003)参考阅读:无理数的故事

已有 955 次阅读 2017-8-12 10:35 |个人分类:数学笔记|系统分类:博客资讯

数学笔记(003)参考阅读:无理数的故事


以下文字完全来自网络。


(1) 希伯索斯悖论与第一次数学危机

希伯索斯悖论的提出与毕达哥拉斯定理(勾股定理)的发现密切相关。毕达哥拉斯原理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用,同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国,最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过,在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。

   在国外,最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂,而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号:“百牛定理”。

   毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别:毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而,具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后,其学派中的一个成员希伯索斯(Hippausus)考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示。希伯索斯的发现在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上,这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上:任何量,在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰,就是在今天,测量技术已经高度发展时,这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的,完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识,多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是,面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机,从而导致了西方数学史上一场大的风波,史称“第一次数学危机”。

二百年后,大约在公元前370年,才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传,他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”,并保留住与之相关的一些结论,从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式,是借助几何方法,通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下,对无理数的使用只有在几何中是允许的,合法的,在代数中就是非法的,不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号,而不被当作真正的数。

   毕氏弟子的发现,第一次向人们揭示了有理数系的缺陷,证明它不能同连续的无限直线同等看待,有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”(现在我们可以知道,有理数具有“稠密性”,实数具有“连续性”,数轴上的点与实数是一一对应的)。于是,古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。

  我们已经知道,开方开不尽时所得到的数都是无限不循环小数即无理数.但是,也确有一些无限不循环小数不是由于开方开不尽而产生的,在中学数学里遇到的有两个数;圆周率π就是如此。π的实际意义是圆的周长与该圆的直径之比,称为圆周率.我国伟大的数学家祖冲之对π值的推算结果为:3.1415926<π<3.1415927。综上所说,无理数可分为两类:一类是由于开方开不尽而产生的,称根数;另一类是像π这样的数,它们不是由于开方开不尽而产生的,称超越数。


(2) 毕达哥拉斯定理提出后,其学派中的一个成员希伯索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?

可以想象,毕达哥拉斯学派受到了多么沉重的打击。这一发现实际上是推翻了毕达哥拉斯学派原来的论断,触犯了这个学派的信条。他们不许希伯索斯泄露存在2的平方根(即无理数)的秘密,但是天真的希伯索斯在无意中向别人谈到了他的发现。后来毕达哥拉斯教派为了维护教派的信条,以破坏教规为理由将希伯索斯装进大口袋扔进了大海。希伯索斯因为揭示了一个科学的真理而付出了生命的代价。

对于这种新的数,因为它与有理数相对立,十五世纪意大利著名画家达·芬奇称之为“无理的数”,实际上,有理数和无理数的英文名称是“rational number”和“irrational number”,译成“比数”和“非比数”更为合适。

一直到十八世纪,当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时,拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶,现在意义上的实数理论建立起来后,无理数本质被彻底搞清,无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立,使人类对数的认识从有理数拓展到实数。




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