为什么从经典物理不可能决定氢原子的能级？

在经典物理中，电子-质子系统只有四个初始参数，电子质量$m$，质子质量$M$，电子和质子的电荷$e,-e$以及光速$c$。

但是，从这四个参数，不能组合出能量的量纲！所以一个包括这四个参数的经典理论，不可能求出氢原子的能级。具体说吧，$mc^2$是能量，剩下的$e$无法处理。

量子物理里多了一个基本常数$\hbar$，可以把$e$用精细结构常数$\alpha$代替：

       $\alpha = \frac{e^2}{4\pi \hbar c} = \frac{1}{137}$

定义所谓“约化质量”：

         $\mu = \frac{mM}{m+M}$

那么$\alpha \mu c^2$ 和 ${\alpha}^2 \mu c^2$ 都是能量的量纲。

事实上，氢原子基态的能量是 $-\frac{1}{2}\alpha^2 \mu c^2=-13.6ev$，和第二项只差一个数值因子 $-\frac{1}{2}$。

这种方法叫量纲分析，物理学中非常有用。1978年李政道先生在北京有一个讲座，我有幸听了那个讲座，受益匪浅，包括学到了此方法。