徐晓也落水了

“刻舟”事件继续发酵，久违的徐晓也露面了；写了一篇博文“刻舟求X”，主要内容如下：

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  模型：船质心原位为$x_0$，质量为$m$，初始动量为0，在零时刻由于人起跳，水平方向动量变化为$p$。经过时间$\tau$,人掉下来，船水平动量变化为$-p$。船受水的粘滞力正比于速度，即$-kv$。求：船停止时的位置。

  解：引入冲击函数表示人瞬时起跳和落船的过程， 船在$t=0$和$t=\tau$时刻分别受力为：$p\delta(t)$和$-p\delta(t-\tau)$, 由牛顿第二定律，有如下方程：

        $-m\ddot{x}-k\dot{x}+p\delta(t)-p\delta(t-\tau)=0$      

使用拉氏变换，可以求得：

      $x(t)=\frac{p}{k}(1−e^{-\frac{kt}{m}})u(t)−\frac{p}{k}(1−e^{-\frac{k(t-\tau)}{m}}) u(t-\tau)$         （1）

其中$u()$为单位阶跃函数。

   当$k$严格为零,解为：

       $x(t)=\frac{p}{m} tu(t)−\frac{p}{m} (t−\tau)u(t−\tau)$

分析：从解可知，$k$趋于无穷小，和$k＝0$结论一样，停止位置一样，只是，$k$趋于无穷小时，要经过无穷长时间，以无穷小速度，经过无穷小距离，才能到达停止位。

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我们看到，徐晓列方程，解方程都是专家水平。但是，老话说：“谨慎能捕千秋蝉，小心驶得万年船”。看来徐晓是匆忙写就的博文，一时大意，老艄公也落水了！

  他的分析：“从解可知，$k$趋于无穷小，和$k＝0$结论一样，停止位置一样，......"，其实是错误的。

  下面我们只关心$t>\tau$的情形，阶跃函数可以略去，于是，当$k$严格为零时,解为：

       $x(t)=\frac{p}{m} \tau$

就是速度乘时间，毫无问题。关键是当$k$趋于无穷小时怎样对前一个公式取近似。正确的计算过程是：

   $x(t)=\frac{p}{k}(1−e^{-\frac{kt}{m}})−\frac{p}{k}(1−e^{-\frac{k(t-\tau)}{m}}) $

      $=\frac{p}{k}(−e^{-\frac{kt}{m}})−\frac{p}{k} (−e^{-\frac{k(t-\tau)}{m}}) $

      $=\frac{p}{k}(−e^{-\frac{kt}{m}})(1−e^{-\frac{k(-\tau)}{m}}) $

        $=\frac{p}{k}(−e^{-\frac{kt}{m}})(\frac{k(-\tau)}{m}) $

        $=\frac{p}{m} \tau (e^{-\frac{kt}{m}}) $

和$k＝0$结论并不一样。

而且，如果更仔细地研究一下，就会发现质量$m$不是常数，应该是：

          $m(t)=m+m_1 u(t-\tau)$

其中的$m_1$是人的质量。

因此，当$t>\tau$和$k>0$时，有：

          $x(t)=x(\tau)(e^{-\frac{kt}{m+m_1}})$

             $x(\tau)=\frac{p}{k}(1−e^{-\frac{k\tau}{m}})$

与岳东晓的结论一致。

【后记】

徐晓显然是对公式（1）按常规办法分别对两项取近似，得出他的结论的。

但是我核查过，岳东晓的结论是对的。找出徐晓是怎么落水的，足足花了我一个小时以上。希望大家对我的努力多多点赞！