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研究临界现象的利器：Percolation theory and its applications
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逾渗理论(Percolation Theory)是由Boardbent和Hammersley[1]在1956年提出的，最初逾渗模型被用于描述流体在随机多孔无序介质中的随机扩展和流动，研究发现，在流体通过多孔介质时，当多孔介质的孔隙被随机堵塞的比例逐渐增大而达到某一值时，流体就突然被完全堵塞而不能流过介质。即随着孔隙被随机堵塞程度的变化而存在一个突然的转折点，在其两侧，流体的流通性质发生根本的变化（通或者不通）。图1为作者在Matlab程序中应用Monte Carlo法模拟孔隙介质渗流过程的逾渗结果，横坐标为孔隙率，图1(a)纵坐标代表不同孔隙率下逾渗团个数，图1(b)纵坐标代表不同孔隙率下最大逾渗团中单元数目。从图1中可以看出：随着孔隙率的增大，逾渗团个数先增大后较小；当孔隙率小于0.31∼0.32时，逾渗概率基本为0，当孔隙率大于0.31∼0.32时，逾渗概率快速增加，说明临界孔隙率介于0.31~0.32之间，这一曲线有重要的应用价值，要想使孔隙介质的渗透性明显提高，就必须使孔隙率达到逾渗阈值，只要大于阈值，很小的增量也会显著提高介质的渗透性能。
图1 不同孔隙率下逾渗团个数及逾渗概率
此外，从图1中可以看出：最大逾渗团中单元数目（逾渗概率）在0.31附近急剧增大，但此时相对应的破坏集团数目却不升反降，说明一旦孔隙率超过临界值，一方面破坏单元增多，另一方面破坏单元并不是孤立作用，而是通过长程关联协同相互作用，原有随机孤立分布微破裂逐渐向某一吸引域（破裂面）集中，形成大的连通破裂。这一点在图2中表现的非常明显，图2为不同孔隙率下的最大逾渗团空间分布。可以看出，当孔隙率小于0.31∼0.32时，最大逾渗团并未贯穿模型，而当孔隙率逼近0.31∼0.32时，最大逾渗团骤然增大，出现长程关联，上下、左右或者前后贯穿模型，导致模型发生本质相变，由不连通变为连通，渗透性大增。
（a）孔隙率为0.2
（b）孔隙率为0.3
（c）孔隙率为0.31
（d）孔隙率为0.32
图2 不同孔隙率下最大逾渗团分布（红色部分）
后来，人们在研究其他问题时，同样发现存在类似现象——即当系统中某物理量占有量变化到某一定值时，系统宏观性质就会发生本质变化，导致系统长程联结性出现或者消失，这种长程联结性的突然转变称为逾渗转变，逾渗转变处对应的物理量浓度值就称为逾渗阈值。渗流理论具有定义临界阈值参数的能力，被认为是处理无序系统及随机几何最好的方法之一。
逾渗理论的重要实际意义，在于它可广泛应用于说明众多物理、化学、生物及社会现象，迄今其应用范围还在不断扩大。许多实际问题都可通过逾渗模型来研究，表1列举了十五种不同的现象，都可以采用逾渗模型加以分析。表中约一半属宏观现象，一半属微观过程，不同例子的特征长度相差可达1035，如银河系的特征尺度量级为1022cm，而核子的尺度量级为10-13cm，说明逾渗理论广阔的适用范围。
表1 逾渗理论的应用例子
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多孔介质中流体的流动 群体中疾病的传播 通讯或电阻网络 导体和绝缘体的复合材料 超导体和金属复合材料 不连续的金属膜 螺旋状星系中恒星的随机形成 核物质中的夸克 表面上的液He薄膜 弥散在绝缘体中的金属原子 稀磁体 聚合物凝胶化，流化 玻璃化转变 非晶态半导体的迁移率 非晶态半导体中的变程跳跃 |
堵塞/流通 抑制/流行 断开/联结 绝缘体/金属导体 正常导电/超导 绝缘体/金属导体 非传播/传播 禁闭/非禁闭 正常的/超流的 绝缘体/金属导体 顺磁性的/铁磁体的 液体/凝胶 液体/玻璃 局域态/扩展态 |
近年来逾渗模型应用范围逐渐拓宽,不少学者尝试将逾渗模型问题引入地震[2-3]、岩石破裂[4-6]、岩体损伤[7-10]、孔隙介质渗流[11-14]等研究领域。
在应用逾渗模型研究问题的过程中，人们往往最关注的是系统在逾渗阈值附近临界状态时所具有的一些特征，不幸的是，处于临界状态的物理系统恰恰具有无限大自由度，用传统的数学方法难以进行描述。目前，对渗流模型的研究有许多方法，如实验方法[15-16]、Monte-Carlo模拟方法[17-18]、重正化群方法[2][13][18]等。其中重正化群方法在研究逾渗问题时物理意义明确，利用系统在逾渗阈值处有尺度不变的性质可得到临界破裂概率，因此重正化群方法备受人们青睐。
参考文献
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