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一定是斐波那契数列么？
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一定是斐波那契数列么？
彭翕成 pxc417@126.com
，系数分别为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55，90, 146……
，则
，可得
。
，
，三式相加得
，
俗称天花板函数，是指不小于
的最小整数。如果
从0开始计算，那么
依次为0.60，1，1.64，2.72，4.48，7.39，12.18，20.09，
是指不大于的最大整数。如果从1开始计算，那么
依次为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
56……
。
武汉 华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079
1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21,……
看到这列数，肯定有人会说，不用写下去了，规律很明显，不就是斐波那契数列么？
一定是么？且慢下结论！如果我们将这列数输入到网站：整数数列在线大全-OEIS，就会发现有很多备选答案。这些都还是被数学研究者认为是比较有意义的整数列，并非为了充数。如果只为了凑多，利用拉格朗日插值公式可得无数多组解。下面列出5种，供大家参考。
可能性1：斐波那契数列对30取余，编号为A137290。
斐波那契数列前10项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55……对30取余得1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21, 4, 25……
也许有人会说，这样也算？那将30换成其他数，不又可以得到新数列么？确实如此，但估计你想不到对30取余这列数具有周期性吧，其周期为120。
论证这一结论不难，斐波那契数列对2取余，依次得1,1,0, 1,1,0……周期为3；斐波那契数列对3取余，依次得1, 1, 2,
0, 2, 2, 1, 0, 1, 1,……周期为8；斐波那契数列对5取余，依次得1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4,
0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1,
1，……周期为20；2、3、5互素，可得斐波那契数列对30取余，周期为120。
数论中有这样的问题：设
为斐波那契数列，求证：
。
为斐波那契数列，求证：。
证法1：设
，列出下表观察规律，
以8为周期，结论显然正确。
，列出下表观察规律，以8为周期，结论显然正确。 证法2：
，而
，根据数学归纳法可得结论。
，而，根据数学归纳法可得结论。 可能性2：
的展开系数，编号为A147659。
的展开系数，编号为A147659。
将在
处展开得
在处展开得 ，系数分别为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55，90, 146……
类似地，若将
在处展开，可得系数数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55, 89, 144, 233…… ，编号为A185357。
在处展开，可得系数数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55, 89, 144, 233…… ，编号为A185357。
上述两个表达式如何得来？如果了解一点形式幂级数和母函数的知识，就可以自己找出表达式。
在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数（所谓形式幂级数，就是形式上像幂级数，但不考虑级数收敛、发散等性质），每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。赫伯特·维尔夫比喻道，母函数就是一列用来展示一串数字的挂衣架。
的母函数是一种形式幂级数（所谓形式幂级数，就是形式上像幂级数，但不考虑级数收敛、发散等性质），每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。赫伯特·维尔夫比喻道，母函数就是一列用来展示一串数字的挂衣架。
譬如将斐波那契数列作为形式幂级数的系数，设
，则 ，可得。 此表达式看似简单，展开之后却包含斐波那契数列所有信息。
或这样推导，设
，则
，则 ， ，三式相加得 ，
如果满足
，且
，那么。
满足，且，那么。 有兴趣的读者可参看史济怀先生的《母函数》一书。
可能性3：将
表示成连分数，渐近分数的分母，编号为A041247。
表示成连分数，渐近分数的分母，编号为A041247。
可能性4：
，编号为A005181。
，编号为A005181。 俗称天花板函数，是指不小于的最小整数。如果从0开始计算，那么依次为0.60，1，1.64，2.72，4.48，7.39，12.18，20.09， 33.12，54.60……，而依次为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, 55……
依次为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, 55…… 斐波那契数列增长速度很快。能否构造指数函数去拟合呢？这当然是可以的。斐波那契数列的通项公式正是指数函数的组合：![f(n)=.frac{1}{.sqrt{5}}[{{(.frac{1+.sqrt{5}}{2})}^{n}}-{{(.frac{1-.sqrt{5}}{2})}^{n}}]](http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/5/8/1/5812611b90bffada968d2036e0d306fbe3bc3d03.gif "f(n)=.frac{1}{.sqrt{5}}[{{(.frac{1+.sqrt{5}}{2})}^{n}}-{{(.frac{1-.sqrt{5}}{2})}^{n}}]")
。虽然只有在项数较少时，与斐波那契数列完全吻合，但胜在形式简单。
。虽然只有在项数较少时，与斐波那契数列完全吻合，但胜在形式简单。 
是指不大于的最大整数。如果从1开始计算，那么依次为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
56……
以平方、开方、取整的方式竟然能准确得到斐波那契数列的前9项，不能不让人概叹数学之奥妙！从公式中出现的
，笔者猜想该公式的得来可能与斐波那契数列的两个恒等式有关。设为斐波那契数列，
。
，笔者猜想该公式的得来可能与斐波那契数列的两个恒等式有关。设为斐波那契数列，。
恒等式1：
证明：
。 恒等式2：
证明：设矩阵
，则
，而由
可得
，展开第一项可得。
，则，而由可得，展开第一项可得。 几经尝试，发现上述两个恒等式不能推出希望的结论。若不急于使用斐波那契数列的性质，反倒一下子推导出来了。
等式的最后一步，只有当较小时成立，因为此时
和
相差较大，经过取整运算可将后者忽略。而经过计算验证，此公式可得到斐波那契数列的前9项。
较小时成立，因为此时和相差较大，经过取整运算可将后者忽略。而经过计算验证，此公式可得到斐波那契数列的前9项。 也许有人会说，数学讲究简单美，斐波那契数列从两个1出发，简单相加，但奥妙无穷，何必再去花时间鼓捣一堆复杂规律？有意义么？
确实，斐波那契数列简单中蕴含复杂，很美很值得研究。但我们也必须要认识到，科学的研究，除了探究美，还必须探究真。只要其他数列符合你写下的前几项，那么你就必须要承认他的存在，哪怕发现它是困难的，计算它是繁杂的。更何况，其他的规律也各自有研究价值，不能无视，哪怕将它们视为斐波那契数列的衍生产 品。
确实，斐波那契数列简单中蕴含复杂，很美很值得研究。但我们也必须要认识到，科学的研究，除了探究美，还必须探究真。只要其他数列符合你写下的前几项，那么你就必须要承认他的存在，哪怕发现它是困难的，计算它是繁杂的。更何况，其他的规律也各自有研究价值，不能无视，哪怕将它们视为斐波那契数列的衍生产 品。
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