Abstract：It is proven that the Bell's inequality should not be a criteria for testing if there exists an action at a distance between two entangled electrons（or photons), which are far apart.  For this testing, another easier criteria is suggested. 

Bell不等式与超距作用

      在一定条件下Bell不等式不成立的实验结果，经常被当作相距很远纠缠量子对之间存在超距作用的依据。本文将说明这种看法不正确，并给出一个简单且容易验证的检验准则。

      Bell不等式

                                  $|P(\vec{a},\vec{b})-P(\vec{a},\vec{c})|\leq 1+P(\vec{b},\vec{c})$                               （1）

一般用于描述处于单态

                                      $\frac{1}{\sqrt{2}}[\Psi_{1}(\uparrow )\Psi _{2}(\downarrow)-\Psi_{1}(\downarrow )\Psi _{2}(\uparrow)]$                              （2）

的纠缠电子对 $(e_{1},e_{2})$ （或光子对）。单态要求这对电子的自旋方向完全相反。除两电子自旋相反外，单态还需满足其它条件，具体见【1】、【2】或【3】。

      假设，纠缠的两个电子分别处在相隔一定距离的A、B两地，而且保持着单态（2）。

      设（1）式中的   $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是三个任意给定的三维空间单位矢量。对处于A的第一个电子 $e_{1}$ 用测量仪沿 $\vec{a}$ 方向测自旋，以对应的整数+1或-1，代表测得的自旋值+1/2或-1/2，该值记作 $A(\vec{a})$ ；对处于B的另一个电子 $e_{2}$ 用同样的测量仪沿 $\vec{b}$ 方向测自旋，也用整数+1或-1，代表测量值+1/2或-1/2，记作 $B(\vec{b})$ 。（1）式中的 $P(\vec{a},\vec{b})$ 表示（对所有的纠缠电子对）所测乘积 $A(\vec{a})B(\vec{b})$ 的统计平均值。对 $P(\vec{a},\vec{c})$ 与 $P(\vec{b},\vec{c})$ 也做同样解释。它们都被称为关联或关联函数。

      现有的不同理论给出了不同的关联函数。显然，对任何的给定方向 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，这些关联都满足不等式

                                                  $-1\leq P(\vec{a},\vec{b})\leq 1$                                       （3）

由两个电子自旋方向相反的考虑，对这些不同的关联，所有的理论都强制要求：对任一给定的方向 $\vec{a}$ 都必须满足

                                              $P(\vec{a},\vec{a})=-P(\vec{a},-\vec{a})=-1$                          （4）

      按照Bell的原文【4】， 他假设以Einstein为代表的因果解释使用一种隐参数理论使上述自旋的测量结果完全被确定， 即假设任一单态纠缠对的实际测量值 $A(\vec{a})$ 和 $B(\vec{b})$ 都由 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 以及某给定维数（不必是1）的隐参数 $\lambda$ 完全决定，它们可以分别表示成定值 $A(\vec{a},\lambda ),B(\vec{b},\lambda )$ 。按此假设，当 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 以及隐参数 $\lambda$ 给定时不能既有 $A(\vec{a},\lambda )=1$ ，又有 $A(\vec{a},\lambda )=-1$ ；同样不能既有 $B(\vec{b},\lambda )=1$ ，又有 $B(\vec{b},\lambda )=-1$ 。Bell的理论还假设隐参数 $\lambda$ 有个分布 $\rho(\lambda )$ ，      

                                                  $\int \rho (\lambda )d\lambda =1$

      与上述的隐参数理论不同，正统量子力学认为，一般情况下，不存在可描述的决定这些实际测量值 $A(\vec{a})$ 与 $B(\vec{b})$ 的物理因素，天然注定它们只能按一定统计规律分布。

      在Bell提出的隐参数假设下，可以容易地证明（参考【4】或【2】），对应的关联一定满足Bell不等式。本文将这样的关联称作Bell关联，记为 $P_{Bell}(\vec{a},\vec{b})$ 。

      Bell还基于对隐参数分布与电子极化矢量之间的假设关系，给出了一个Bell关联函数的具体形式（见【4】）

                                      $P_{Bell}(\vec{a},\vec{b})=-1+\frac{2}{\pi }\theta$                                            （5）

其中 $\theta$ 表示方向 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 之间的夹角。

      这里指出，Bell对隐参数的假设并不是因果解释必须的，只是Bell等基于对隐参数理论的一种认识。对此，本文不作讨论。

      另一方面，根据量子力学正统理论，可以推出量子力学的关联表达式（参考【2】）

                                            $P_{Q}(\vec{a}\cdot \vec{b})=-\vec{a}\cdot \vec{b}$                                              （6）

或

                                            $P_{Q}(\vec{a},\vec{b})=-cos \theta$                                               （6'）

不难看出，量子力学的关联（6）（或（6'））也满足（3）和（4）两项基本要求。其实，数值上（5）和（6'）两个不同关联的差别并不大，见图1

图1

      然而Bell关联无条件地满足Bell不等式，而在某些时候，例如当

                        $\theta _{\vec{a},\vec{b}}=\frac{\pi }{3}, \theta _{\vec{b},\vec{c}}=\frac{\pi }{3}, \theta _{\vec{a},\vec{c}}=\frac{2\pi }{3}$

量子力学的关联（6）则明显不满足Bell不等式（1）。这正是该不等式提出后，通过实验检验假设的隐参数理论与正统量子力学哪个正确的主要判定标准。

      后来文献【5】提出了Bell不等式的更一般形式，即 CHSH 不等式，还相应地给出了判定 CHSH 不等式与量子理论区别的判定条件。原则上，讨论该不等式与讨论Bell不等式一样，这里对CHSH不等式不做赘述。

      在上述特殊条件下，不少实验数据都不支持Bell不等式，而支持量子力学的关联。这些实验结果只是说明了按照Bell理解的隐参数得到的关联不如量子力学的关联精确，并可由此否定相应的隐参数假设。

      可是一些学者却以这些实验结果断定纠缠对的量子之间存在超距作用。这个判断是不合逻辑的，是对Bell不等式的错误理解。

      是否存在超距相互作用是物理学的一个重要问题。爱因斯坦的相对论指出， 相互作用的传播速度不能超过光速。但在解释量子的“波粒二重性”时，是否有超光速的超距作用则成了问题。例如，当单粒子的自相干实验中粒子落在照相底片或其它感应器时，正统理论中波函数的波是否超光速或超距瞬间地塌缩成粒子的点，这是个一直未能澄清的问题。

      对于纠缠的电子对之间的关联，这一问题就更突出。这是因为，无论距离多远，如果在A地沿 $\vec{a}$ 测量第一个电子 $e_{1}$ 的自旋，在B地也沿 $\vec{a}$ 测量另一个电子 $e_{2}$ 的自旋，按纠缠对的理论两个测量值始终相反。由于两个电子事先并不知道 $\vec{a}$ 的确切方向，纠缠理论认为当测量第一个电子时，第二个电子的自旋即沿相反的方向塌缩，这是一种超距作用。其实，对关联函数的强制要求（4）也正体现了这一观点。

      然而，无论是Bell的关联（5）还是量子力学的关联（6）（或（6'）），都满足（4）。这就是说，理论上Bell关联与量子力学的关联都似乎默认了这种超距作用的存在。因此，是否满足Bell不等式确实与是否存在超距作用无关。

      量子纠缠对是否真有上述的超距作用是个需要通过严格实验检验的问题。这种实验不应是检查Bell不等式，而是要严格检验理论上对关联函数的强制要求（4）式在实验中是否能严格满足。如果实际的测量结果经常是

                                            $|P(\vec{a},\vec{a})|=|P(\vec{a},-\vec{a})|<1$                        （7）

就绝不能断定所谓的超距作用存在。

      必须指出，早期，通过纠缠电子对检验Bell不等式的实验一般难以实现。而对应的单态纠缠光子对的关联实验则相对容易。最早关于纠缠光子对的实验是著名的吴健雄实验（参考【6】），该实验通过康普顿效应验证了纠缠光子对之间的偏振关联。理论上，实验中由正负电子湮没产生的光子对的偏振应相互正交，但由于种种原因，实验中有相当的一部分光子对的偏振却显示出相互平行的情况，实测的相互垂直与相互平行的比为，

                                                    $2.04\pm 0.08$ 。

      该实验结果也在D.Bohm 与 Y.Aharonov关于EPR佯谬的重要论文【1】中作为主要数据引用。实验结果清楚表明纠缠光子对偏振的相互垂直关系被明显保存，但不排除实际测量时会大量出现相互平行的结果。

      其实，Bell的原文已注意到吴的实验，并指出对吴的实验结果，D.Bohm 与 Y.Aharonov的对应论文【1】给出一个修正的关联

                                                    $P_{Bohm}(\vec{a},\vec{b})=-\frac{1}{3}\vec{a}\cdot \vec{b}$                       （8）

该关联是基于各向同性混合态（由大量偏振正交光子乘积态 $\Psi _{1}(\parallel )\Psi _{2}(\perp )$ 与 $\Psi _{1}(\perp )\Psi_{2}(\parallel )$ 形成）算出的（注：其实在Bell提到的Bohm论文【1】中没见到（8）式的推导，Bohm论文引用了关于康普顿散射的Klein-Nishina公式的结果）。这种修正体现了如下假设：当处于纠缠单态的两光子相距很远时，态发生变化形成了各向同性混合态。吴的实验结果恰恰符合

                                                          $P_{Bohm}(\vec{a},\vec{a})=-\frac{1}{3}$                          （9）

如果这种解释成立，吴的实验无疑也证明了，当单态光子对相距较远时会退化成各向同性混合态。此时光子对相互正交的关系仍被保持（这正是吴的实验初衷，那时期还没有形成纠缠态理论）。但这种正交关系已不是超距作用，只是守恒律的自然体现。

      因此，不等式（7）是明显可能的。此时，纠缠对光子间的偏振正交关系只是物理守恒律的体现，光子对之间不需要存在超距作用。

      Bell的论文发表后，专门证明Bell不等式受到破坏的著名实验有【7】，【8】和【9】等。

      由于实际的实验可能存在各种误差与漏洞，其中著名的有检测漏洞（Detection Loophole）与通讯漏洞（Communication Loophole）。这些误差或漏洞的存在使得学术界对上述关于Bell不等式的实验结果存在严重争议。著名的CHSH不等式创建人之一，Abern Shimony在2009年的著作《Bell’s Theorem》（【10】）认真严肃地讨论了有关漏洞。

      既然严格验证Bell不等式存在那么多困难，而且它又不是检验是否存在超距作用的关键实验，本文建议实验物理应将注意力放在严格检验当单态纠缠对的两个粒子分离很远时，等式（4）与等式（9）到底哪个成立。由于这两个等式差距很大，相应的检验要容易得多。

      本文认为，必须认真进行这种实验。

参考文献

【1】D.Bohm and Y.Aharonov,  Discussion of Experimental Proof for the Paradox of Einstein, Rosen, Podolsky,   Phy. Rev., Vol.108, Number 4 (1957), 1070-1076

【2】曾谨言，量子力学，卷II，北京，科学出版社，2007， ISBN 987-7-03-019021-5

【3】Dirk Bouwmeester, Arther Ekert and Anton Zeilinger, <The Physics of Quantum Information>, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2000, ISBN 3-540-66778-4

【4】John S. Bell, ON THE EINSTEIN PODOLSKY ROSEN PARADOX，Physics, 1 9, 1964, 195,

 或者《Speakable and unspeakable in Quantum mechanics》, Cambridge University Press, New York  , 1987, ISBN 0-521-33495-0，14-21

【5】 Clauser, J.F., Horne, M.A., Shimony, A., and Holt, R.A. [1969], Proposed experiment to test local hidden-variable theories”, Physical Review Letters, 23: 880–884.

【6】 Wu, C. S.; Shaknov, I. (1950). "The Angular Correlation of Scattered Annihilation Radiation"，Phys. Rev.  77: 136

【7】Aspect, A., Grangier, P., and Roger, G. [1982], “Experimental realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: a new violation of Bell's Inequalities,” Physical Review Letters, 49: 91–94.

【8】Aspect, A., Dalibard, J., and Roger, G. [1982], “Experimental test of Bell's Inequalities using time-varying analyzers,” Physical Review Letters, 49: 1804–1807.

【9】 Weihs, G., Jennewein, T., Simon, C., Weinfurter, H., and Zeilinger, A.,  Violation of Bell's inequality under strict Einstein locality condition,  Physical Review Letters, 1998, 81: 5039–5043.

【10】 Abern Shimony, Bell's Theorem,  Stanford Encyclopedia of Philosophy,  The Metaphysics Research Lab Center for the Study of Language and Information Stanford University, Stanford, CA 94305, 2009