取整截断函数及其在PBC中的使用
2013-08-13 14:05:39

取整和截断相关的函数，有着各种不同的名称，不同的定义，很容易让人迷惑。它们之间根据具体情况还可以相互转换成不同的写法，更增添了混乱。下面整理Fortran和C中的相关函数。

此外，数学上还会使用如下去整函数
$ frac(x)={x}=x-lfloor x rfloor=mod(x,1) $

以上这些函数组合起来，基本能满足各种需要了。

下面是各个函数的图像，数值可参看附表

由图像与数值可知
$int(x) = [x] = left{^{lfloor x rfloor, x>0}_{lceil x rceil, x<0}right. $
$ nint(x) = left{^{int(x+1/2) = lfloor x+1/2 rfloor, x>0}_{int(x-1/2) =lceil x-1/2 rceil, x<0} right. $

周期性边界条件PBC在使用时有两种情况，设盒子长度为L，粒子坐标为x

1  以左下角为坐标原点，坐标$xin [0,L)$，为使粒子处于盒内，须
$x=x-lfloor x/L rfloor L $

2  以中心为原点，坐标$xin [-L/2,L/2)$，常用于计算粒子之间距离，此时又分两种情况

●    x满足$x in [0,L) $
$x = left{^{x-L, x>L/2}_{x+L, x<-L/2} right. $
也可写为更紧凑形式：$ x=x-sign(L,x), |x|>L/2 $

●    x未必满足$x in [0,L)$，一般情况
$x=x-nint({x over L})L=left{ begin{matrix}
x-[x/L+1/2]L = x-lfloor x/L+1/2 rfloor L, x>0 & \
x-[x/L-1/2]L = x-lfloor x/L-1/2 rfloor L, x<0
end{matrix} right. $

另外，若想实现一定时间间隔$Delta t$取样，本可利用$ mod(t, Delta t)=t-lfloor t/Delta t rfloor $实现。但由于取整问题（前面说过），遇到特定时间间隔时就会失效，变通的方法是判断$t$恰好能被$Delta t$整除，即t的小数部分$ {t} $为零。用$ t-nint(t/Delta t)Delta t $或$ mod(t+Delta t/2, Delta t)-Delta t/2 $可避免此问题。

参考：
http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions
http://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_boundary_conditions

附表：