世上任何事物均在不停地运动和变化着，我们可用函数关系来表示这种种变化状态。其中最简单的一种变化方式就是线性关系，即随着自变量的增加其函数值也随之增加(减少)，此乃一次函数(含正比例函数)。一次函数概念源于对不定方程的研究和直角坐标系的建立。由于古希腊数学家丢番图(Diophantus，约246-330)已对不定方程有相当研究，故一次函数萌芽在古希腊后期就萌发了。正是直角坐标系的创立方使得平面上的点与有序实数对、方程和曲线(包括二元一次方程与一次函数)之间建立了一一对应关系。

1. 中国古代的坐标系和一次函数

    伏羲是神话传说的中华民族人文始祖，其创造了文字，结束了“结绳记事”的历史，据天地万物的变化创造了占卜八卦，开启了中华民族的文化之源。研究表明，伏羲创立了世界上最早的直角坐标系：两仪、四象与八卦。两仪是指一个数轴，阳爻为正，阴爻为负，阴阳交界处为原点，称之“无极”；四象是由两个坐标轴分成的四个象限；八卦则指空间的八个卦限。

一次函数关系表示最早出现在班昭(约49-120)所编撰《汉书》之中。班昭是中国有史记载的第一位女数学家。其兄班固(32-92)著写《汉书》，但未完成拟定的八表和《天文志》就去世了。为完成班固遗愿，汉和帝敦请班昭续写《汉书》、编撰年表。在其中一个年表中，班昭将2000多个传说人物和历史人物按照9个品德级别进行了排列。她用矩形水平的一边作一轴，来表示时间跨度；用竖直一边作另一轴，表示人物的品德等级，故班昭可谓创立了第一个直角坐标系。按照班昭的人物排列方式，古人的品德等级近似形成一条直线(即一次函数)。其研究表明，越远古的人物其品德越是高尚。

班昭是我国古代四大才女之一，汉和帝曾多次宣召其入宫，并让皇后和贵人们拜其为师，尊称“大家(gū)”。 每逢各地贡献珍贵稀奇物品时，汉和帝就邀请班昭作赋赞扬。班昭知识渊博，品德俱优。当时的大学者马融，为请求班昭的指导，曾跪在东观藏书阁外，聆听班昭讲解。班昭去世后，皇太后也为之素服举哀。

2. 奥雷姆和一次函数

西方关于坐标的概念可追溯到古希腊数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga，约公元前262-前190)，然而第一个给出一次函数关系者应是法国数学家奥雷姆(N. Oresme，1320-1382)。此前人们一直认为真理(规律)只有在静止状态下才能总结出来，故而未能用函数图像表示出变量之间的关系。

奥雷姆早年求学于巴黎大学。1348年始在纳瓦拉学院学习神学，并取得神学硕士学位。后奥雷姆成为牧师(后为主教)，同时也是一位大学教授。在西方中世纪的学者多半是神职人员，他们有着充分的研究时间，生活来源还有保障，又有机会接触各种典籍文献。而奥雷姆还有一个优越条件，其得到国王的大力支持。

奥雷姆对变量问题进行了研究。他认为，可测量皆为模拟量，如时间或长度无论如何分割和截取其性质均不会改变。奥雷姆详细分析了匀加速直线运动，他用一条水平直线(相当于横坐标轴)表示时间，直线上每一点代表一个时刻。每个时刻对应着一个速度，该速度可用一条垂直于此点的线段来代表，其长度正比于速度的大小。速度随着时间均匀地增大，故线段长度也均匀增长，其端点构成一条直线(即一次函数)。该直线、水平直线和表示初速度、末速度的线段围成一个梯形。若初速度为0，则形成三角形时间，其面积就是物体运动在时间内所通过的距离。

奥雷姆所应用的方法已接近现代解析几何，这在当时是个了不起的创造。

3. 笛卡儿坐标系

有人认为，笛卡儿是个偶然的数学家，因其创立解析几何是受梦的启示。在我们的教科书上一般是把数字和图形区别开，但在数学发展史上两者不是对立的，甚至还会相互结合起来。故从某种意义上讲，二元一次方程与一次函数是一回事。笛卡儿于1637年给出其创立了解析几何的宗旨：

我决心放弃那个仅仅是抽象的几何(指欧几里得几何)，即不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题。这样做是为了研究另一种几何(指解析几何)，其根本目的是解释自然现象。

笛卡儿分析和比较了当时几何学和代数学的研究方法。虽几何学的直观性易于展示某些事物的性质，但他对欧几里得几何的每个证明都要求某种奇巧想法而深感不安。笛卡儿看到了代数学具有作为普遍科学方法的潜力，认识到其程序机械化和减小工作量之价值。他认为当时的代数学严重受到了公式和法则之束缚，完全不像一门改进思想的科学。鉴此笛卡儿主张汲取代数学和几何学的精华，相互融会贯通。笛卡儿的一个创新思想是规定：因数字可用线段长度表示，故两个用线段表示的数字之间的计算结果也应是一段线段的长度。当时几何学普遍认为，线段×线段=面积，但笛卡儿创造出，线段×线段=线段。解析几何的出发点就是将变量数值化，即确定变量的问题。尽管笛卡儿未使用“函数”术语，但其解析几何思想引发了数学思维的重大变革。

运动和变化是宇宙的本质特征。整个宇宙不可能是一支训练有素、步伐整齐的行进队伍，因而有些变化难以用一次函数来描述。宇宙是个无限过程，只有用适于一组有限事实的特殊概念，来推测适于全部事实的一般概念，才能真正从有限认识无限，从个别认识一般，从特殊认识普遍。故从线性到非线性，一次函数对数学的发展和认识大自然可谓功绩非凡。