概率学者所创造的概率理论及对概率本质、意义和方法的认识皆是瑰丽科学文化财富,近年概率论发展愈发凸显其在科学领域的应用性和实用性。如2006 年菲尔兹奖获得者有3人应用了概率思想：奥昆科夫(А.Окуньков)解决了与弦物理学有关的一个重要数学问题，进而沟通了概率论、表示论和代数几何之间的联系；维尔纳(W.Werner)发展了随机共形映射、布朗运动二维空间的几何学以及共形场理论；陶哲轩(T.Tao)利用概率思想和动力系统的多重遍历理论解决了一个数论难题，促进了马尔可夫过程多重遍历理论的研究。维拉尼(C.Villani)因借鉴概率论中泛函不等式和最优输运理论，解决了流体力学中的朗道阻尼和非平衡统计力学中玻尔兹曼方程的长时间行为，而获得2010 年菲尔兹奖。2014年的部分菲尔兹奖获得者也受益于概率思想。故很有必要对近现代概率思想进行科学审视和理论发掘。

以切比雪夫(П.Л.Чебышев，1821—1894)为领袖的圣彼得堡概率学派对概率论的发展做出了卓越贡献。而作为该学派的后起之秀，伯恩斯坦(С.Н.Бернщтейн，1880—1968)对概率论的最大贡献就是把古典概率论和现代概率论联系起来，把西方数学文化引进到俄罗斯。尤为称道的是，他构建了第一个概率论公理化体系。在《三十年苏联数学发展：1917-1947》（Thirty Years of Mathematics in the USSR）概率论分册中，伯恩斯坦的研究工作被誉为“俄罗斯概率论发展新阶段的肇始。”然而国内有关伯恩斯坦概率论公理化体系资料甚少，大多仅见通史中的简短介绍。作为第一个“吃螃蟹者”，其概率思想则显得弥足珍贵。

1 第一个概率论公理化体系

19世纪和20世纪之交，概率论发展可谓迅速。圣彼得堡概率学派对概率论的研究和发展，使极限理论成为19世纪后期概率论的中心研究课题。玻尔兹曼(L.Boltzmann，1844—1906)和吉布斯(J.W. Gibbs，1839—1903)所创建的统计力学，运用概率思想解释自然现象获得成功。巴夏里埃（L. Bachelier，1870—1946）的《投机理论》应用现代随机过程理论，建立了布朗运动模型。爱因斯坦(A. Einstein，1879—1955)和维纳(N. Wiener，1894—1964)分别建立了布朗运动的物理模型与数学模型。马尔可夫(A.A.Mapkoв, 1856—1922)提出了马尔可夫链概念。李雅普诺夫(A. M. Lyapunov，1857—1918) 把特征函数引进到概率论等。

尽管如此，“贝特朗悖论”仍敦促人们重新思考概率论的逻辑基础。同一个问题却具有三个不同的结果，其根源在于无论哪种情形下都假定各自参数均匀分布在给定区域。这说明概率的概念是以某种确定试验为前提，而该试验由问题本身所明确规定，故“贝特朗悖论”等直接质疑概率概念本身。而所有与之相关的基本概念，诸如随机事件、随机试验、随机性等都缺乏数学的严密性，致使概率论大厦即将倾覆。另概率论在物理学、计算科学、生物学等其他学科的应用，也呼吁概率论的公理化。

1900 年，希尔伯特(David Hilbert，1862—1943)高瞻远瞩提出了23 个指引20世纪数学发展的关键问题，其中第6问题就涉及到概率论的公理化。他建议用数学的公理化方法推演出全部物理学，首先是在概率论和力学领域。后概率论的公理化要求成为数学及自然科学亟待决的问题之一。

学术界一致认为，第一个概率论公理化体系构建者应为伯恩斯坦。伯恩斯坦1893年毕业于巴黎大学(时年仅13岁)，1901年毕业于巴黎综合工科学校，具有双博士学位（1904年在巴黎获数学博士学位，1914年又在哈尔科夫大学获纯粹数学博士学位）。1907-1933年任教于哈尔科夫大学。期间伯恩斯坦审时度势，凭借其睿智思维于1917年在《哈尔科夫数学学会通讯》(Proceedings of the Kharkov Mathematical Association)发表了其关于概率论公理化的第一篇论文“试析概率论公理化基础”(An essay on the axiomatic foundations of probability theory)，在概率论发展史上首次提出以公理作为概率论的理论前提。在随后几年里，他致力于概率论逻辑基础研究。终于在1927年出版的《概率论》中，伯恩斯坦构建了第一个概率论公理化体系。他首先假定自然科学中的逻辑推理模式主要基于以往经验。

基于先验经验，我们可以断言：只要所给定条件集合得以实现，则隶属于已知事件类的某个事件必然发生，而和其他因素无关。

对于一些理想化或抽象化的事件类，这是毫无疑问的。如“掷骰子”问题，只要是一颗均匀的骰子，且随机抛出，其可能结果一定为掷出1—6点中的某个点数。这里的条件是“均匀骰子，随机抛出”，而事件类是“掷出1—6点”。事实上，自然现象和现实社会很是复杂和多变，“天有不测风云，人有旦夕祸福”就略见一斑。故一般而言，一个事件发生与否难以绝对肯定，人们不能完全确切预测大量现实现象的行为。伯恩斯坦明察到这一点，他认为只有当条件集合不太大，且易于我们观察时，把和联系起来才有实际意义，方能得到事件发生的规律性。并定义道：若条件未能实现，则称事件为随机事件。

可以推断，伯恩斯坦属于客观概率主义者，因其认为概率是系统的固有客观性质，在相同条件下可以重复试验。客观概率的重要特点是通过大量重复随机试验，或在有限集合中事件与总体比例来定义概率。主观概率和客观概率反映了哲学上两种不同观点，即贝叶斯主义者和客观概率论主义者。

随后，伯恩斯坦引进了3个概率公理：(1) 概率比较公理（the axiom of comparability of probability）；(2) 互斥事件公理（the axiom of incompatible events）；(3)组合事件公理（the axiom of combination events）。

伯恩斯坦的意图是通过构建原始概率和条件概率之间的关系，给出组合事件的概率。但从现代概率论意义上看，组合事件公理似乎没有必要作为公理，而是一系列定理。如常用的加法定理、乘法定理等。

正是在上述3个公理基础之上，伯恩斯坦构建了当时相对严密的概率论体系。虽然与柯尔莫戈洛夫(А. Н. Колмогоров，1903—1987) 的公理化体系相比略逊一筹，但在当时科学文化背景下已属缜密的逻辑关系。何况柯尔莫戈洛夫深受其启发，以6个公理为基础奠定概率论大厦。所述6个公理可概括为，概率函数是弗雷歇意义下具有规范性的非负可加集函数。因而在现代概率论中，概率函数仅需满足3条：非负性；规范性；可列可加性。对比伯恩斯坦的公理就会发现：

（1）由概率比较公理可推出非负性和规范性，伯恩斯坦已认识到所有必然事件的概率值相等，其概率值为最大，不妨定义其为单位1。同时也认识到，所有不可能事件具有相同的概率，且应具有最小概率值，不妨定义其为0。

（2）由互斥事件公理可以推广到可列可加性。柯尔莫戈洛夫的第五个公理就直接选定为伯恩斯坦的互斥事件公理。

（3）组合事件公理包含了条件概率。柯尔莫戈洛夫认为，条件概率的集合论处理和无穷乘积分布理论是公理化不可或缺的。

柯尔莫戈洛夫的高明之处就在于其以测度论为工具探讨整个概率理论的严格表述，而在伯恩斯坦时代，这个数学工具已经问世。1902年勒贝格(H.Lebesgue，1875—1941)给出Lebesgue测度概念；1909年博雷尔(E.Borel，1871—1956)把区间[0，1]赋以Lebesgue测度而看作概率测度；1913年拉东（J.Radon，1887—1956）研究了紧集上有穷的一般Borel测度，拉东-尼克蒂姆定理的雏形也已形成（该定理为概率论的严格表述提供了关键性工具，柯尔莫戈洛夫藉此定义条件概率）；1915年弗雷歇(M.Frechet，1878—1973)提出抽象可测空间上的测度和符号测度概念等。遗憾的是，伯恩斯坦未能洞察“测度”和“概率”间的数学联系，因而未借助集合论和测度论思想，仅通过事件概率的定性比较，推导概率论定理。犹如柯尔莫戈洛夫所言：

第一个系统的概率论公理化体系由伯恩斯坦给出，其构建的理论基础是，依据随机事件概率对相关事件概率做定性数值比较。在此定性比较理念下，随机事件的概率似乎是由数学公式推导而来，而不是事件固有的性质。

按照曲安京的“绘图理论”，希尔伯特应是概率论公理化的地图绘制者，早期响应者有：莱姆勒(Laemmel)试图把全概率公式和复合概率规则作为公理；布洛基(Broggi)给出两个公理：必然事件的概率为1和全概率公式；尼斯基(Lomnicki)提出“概率”应与上的集合的密度函数有关等，他们可谓仅仅是站在山脚遥望。伯恩斯坦应是第一个真正登山者，其研究促进了概率论的公理化进程，引导一批概率学者展开相关研究，如格利汶科(W.Glivenko)、库普曼(B.O.Koopman)等。而柯尔莫戈洛夫前赴后继到达了光辉的顶点。

2 伯恩斯坦大数定理

圣彼得堡概率学派对大数定理的研究窥破了平均数的经验稳定性，找到了平均数统计稳定性的一般条件，更重要的是所研究题材引发了概率论研究转向近现代概率论，极大推进了概率论的发展进程。

大数定理是概率论的理论基础之一。该定理反映了客观世界和人类社会活动的基本规律：在包含大量个体的群体之中，个体差异虽看似杂乱无章且无规律可循，但从全局来看，整个群体却呈现出某种稳定性。如封闭容器中的气体，其所包含的大量分子每时每刻都以各种偶然的方式运动着，但容器的气体仍能保持着稳定的压力和温度。电流是由电子运动形成的，每个电子的行为杂乱而不可预测，但整体看却呈现一个稳定的电流强度。社会现象也是如此，个体差异千差万别，但一些反映群体状况的平均指标，在一定时期内呈现出一定的规律性。  

“大数定理”术语首先由泊松(S.-D. Poisson，1781—1840)给出。切比雪夫把伯努利大数定理和泊松大数定理中的收敛于常数推广为随机变量平均值的数学期望，并把原来的方差存在条件降低为随机变量序列的方差一致有界。马尔可夫进一步降低了随机变量的方差一致有界之条件，得到更一般的马尔可夫大数定理。

伯恩斯坦秉承了圣彼得堡概率学派的研究风范，充分认识到大数定理理论的重要性和基础性，根据马尔可夫大数定理推导出伯恩斯坦大数定理。

与其他大数定理不同的是，伯恩斯坦明察到随机变量之间的相互联系，并且把随机变量序列收敛的条件转化为协方差收敛，真可谓独具匠心。

伯恩斯坦的《概率论》既通俗易懂又有一定深度。不仅是理科生的教材也是数学家的参考书。因深受读者喜爱，该书连连再版，第四版也是最后一版出版于1946年（原计划1948年出版第五版，因伯恩斯坦拒绝删除有关生物学应用之章节而未果）。该著作曾多年作为俄罗斯概率论教材，对概率论在俄罗斯传播和发展起了很大推动作用。然而伯恩斯坦本人并非优秀概率论教师。柯尔莫戈洛夫聘其为莫斯科大学数学力学系教授，并带了3名研究生。但伯恩斯坦同高斯(C. F. Gauss, 1777—1855) 一样，属于“个人数学家”，他不愿意做学术报告，其报告也枯燥无味，不能用自己的数学思想吸引听众。柯尔莫戈洛夫邀请他尽量参加系里教学和科研活动，可他仅为一届本科生讲授了概率论课程，其思路很是独特，但教学效果不佳。

3 伯恩斯坦中心极限定理

正态分布在19世纪甚为流行，乃至当时的数理统计学称为正态分布时代。至20 世纪中期，中心极限定理的研究几乎吸引了所有概率学者。有人可能认为“中心”术语描述的是以“正态分布”为中心，然而事实并非如此。20 世纪初概率学者多称该定理为极限定理，因其在概率论占据如此重要的中心位置，波利亚（G.Polya，1887—1985）于1920 年在该定理前冠以“中心”，此后人们陆续改称之为“中心极限定理”。

圣彼得堡概率学派对中心极限定理相关理论进行了较为详尽地研究。1887年切比雪夫用矩方法证明了中心极限定理。马尔可夫第一个给出中心极限定理的严格证明。李雅普诺夫(A. M. Lyapunov，1857—1918) 于1900年给出独立随机变量序列服从中心极限定理的条件，建立了李雅普诺夫定理。

受其前辈影响，伯恩斯坦和莱维(P. Levy，1886—1971)共同研究关于相依随机变量之和依法则收敛问题，并在1917年得出中心极限定理，其定理特点在于把“独立性”减弱为“渐近独立性”。伯恩斯坦在1926年的论文“概率论极限定理推广到独立随机变量之和的研究”(Sur I’extension du thèorème limitè du calcul des probabilitès aux sommes des quantitès dèpendantes)中，把李雅普诺夫极限定理推广到弱相关随机变量之和，给出中心极限定理的一般表述。

不同于其他中心极限定理，伯恩斯坦未要求随机变量的数学期望和方差都存在。

1935年费勒(W.Fell，1906—1970)指出：若给伯恩斯坦中心极限定理补充条件“随机变量之和中各项在某种意义下均匀的小”，则其定理条件就是充分必要条件。

1929年菲尼蒂(B.de Finetti)引进了无穷可分分布律，1934年莱维给出相应的无穷可分分布律的完全刻画和描述。1936年辛钦(A. Y.Khinchin，1894—1959)和伯恩斯坦证得：满足某种条件下的独立随机变量之和的极限分布都是无穷可分分布律。

中心极限定理的核心思想为：在适当条件下，大量独立随机变量和的概率分布近似服从正态分布。此即该定理在科学研究中的重要性所在。一般考察过程均可看作受许多随机因素的独立影响，且每个因素对该过程所发生的影响都很小。若考查整个过程的研究而不是个别因素，则仅需观察这些因素的综合作用即可。正是这种概率思想，在科学技术领域有着重要的实际应用价值。如某件事情的发生依赖于大量随机因素，且总体而言，每个随机因素的影响都很小，则要考察该事件就必须考察这些随机因素的综合影响结果。

圣彼得堡概率论学派所从事的中心极限定理研究尚属于古典极限定理范畴。在现代概率论中，中心极限定理为一系列相关定理。如若极限分布不是正态分布情形，就属于现代概率极限理论。

4 余论

概率论公理体系的一致性要求属于唯物主义要求。一个公理体系相容与否，一般是看系统内数学研究对象间的关系是否完全由该公理系统表达出来。我们不能应用纯粹的逻辑关系来证明其一致性；每个相容性证明都是一个相对的证明；即所谓一致性证明仅仅是提供了另一个系统的一致性，而并非自身的相容性证明。任何系统的一致性其最终分析皆可归结到算术的一致性。若要证明算术的一致性，必须借助于一个现实生活的实验。算术之所以是一致的，因其所有规律都是现实世界物体之间相互关系的数量化表现，而且这些规律已经被人类实践活动检验、核实成千上万次。故在最后逻辑分析中，一个系统的公理一致性要求往往会降低到符合现实世界的要求。伯恩斯坦曾说：

人类对赌博着迷，因其让我们跟命运当面抗衡，我们投身这种令人胆寒的战斗，只因自以为有个强大有力的盟友：运气站在我们这边，胜算握在我们手中。

对于概率论的应用价值，伯恩斯坦给予了充分肯定。在1927年全俄数学家第一次大会演讲中，伯恩斯坦表明了其观点。

纯粹数学概率理论的实际应用价值完全不必担心，因无论是主观概率还是客观概率，数学概率都有着相应的实用意义和价值。这里唯一必须满足的条件是没有逻辑推理矛盾，即在给定条件下，所提供不容侵犯的公理以及各种计算方法必须具有相容性。

仅仅考虑那些确定的真假命题及相关断言是必要的，但若我们不想让概率论沦落为简单的精神活动，就需要进行一些实验来证明某些结论。人类的认知过程是不可逆转的，这就意味着当一些命题变得名副其实的同时，其心理活动中的否定意识就会逐渐减弱或变成不可能。

每个时代总有某些学者占据主导独具风骚。越是重大问题，面对的壁垒越高，仅仅真理在握，激情澎湃是不够的，必须带来足够的时代进步，经历住历史考验方能证明其实际价值。历史已经证实，伯恩斯坦的《概率论》是人类精神文明中最优秀的数学著作之一：构建了第一个概率论公理化体系，极大促进了概率论的公理化的进程；详细研究了大数定理理论，给出独具特色的伯恩斯坦大数定理；拓广了中心极限定理理论，与莱维共同开创了随机变量之和收敛问题研究；与莱维共同研究了一维布朗扩散运动并推广到多维扩散过程；还研究一些概率论应用实例，推广了马尔可夫链等。

研读科学思想史能使人明智，往往会产生“取而代之”的豪气，会增加科学研究的前进功力，至少能在学术批评中自省，而不再迷失在廉价鼓励之中。只有站在科学巨人肩上，才可能望见明媚曙光。

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