《龙门镖局》中的数学与趣味说数之1

  《龙门镖局》中的数学：电视剧一开始，宁财神就给大家来了一个下马威。他给出了一个三角函数的恒等式的前半部分（sinα）^2+（cosα）^2，没有给出恒等式的答案。这个恒等式是三角函数中最重要的恒等式之一。通常在初三或者高一的数学中出现。

  这个恒等式的证明其实并不难，主要注意到三角函数的几何定义和勾股定律就可以了。

  在直角是三角形中，按照定义，sinα=锐角α对应的边长/斜边；cosα=锐角α邻边长/斜边；又根据勾股定理，两直角边长的平方和=斜边平方；即可完成这个恒等式证明

（sinα）^2+（cosα）^2=1。

下面是我对数字1的趣说：1 自然数的开始

（一）最小的自然数

在中国的甲骨文或者金文中，1要么是横着写的一笔，要么是竖着写的一笔，文字演变了两千多年，无论是横写的一，还是竖写的1，都没有变化。

1是一个最小的自然数，如果连1都没有，那就什么也没有了。在这方面，中国的成语说得最清楚，例如形容一个人“一无所长，一无是处，一事无成，一无所知”，那真是“百无一用”了，只能回到数字0了。

因为数字小，一在汉语中具有很强的表达能力。下面这首诗流传很广，有记载作者是乾隆，有记载作者说是纪晓岚，还有记载为其他作者的。这首诗一口气用了10个一，每个一都用作计数，意境和文字俱佳，很是独特。

一篙一橹一渔舟，一个艄公一钓钩。一拍一呼一声笑，一人独占一江秋。

另外一首元曲《雁儿落带过得胜令》，作者为无名氏，一共用了23个一，不过有些一不具备数字计量的特点，有些一算是重复使用。

一年老一年，一日没一日，一秋又一秋，一辈催一辈。一聚一离别，一喜一伤悲。一榻一身卧，一生一梦里。寻一伙相识，他一会咱一会，都一般相知，吹一会唱一会。

1是所有文字中最简单的也是最好写的字。有一个笑话，说是一个笨学生，很快学会了一，因为一只有一笔，随后很快学会了二，因为二是两个一笔叠加；又很快学会了三，因为三是三个一笔叠加。在写法上，可以说二是一的后继，三是二的后继。就是这位笨学生，遇到了一个写万字的事，他想当然地以为，万字也应该是相应数字的后继，写万字就要写一万个一。结果这个笨学生真的一笔一划地写，写了一上午也没有写出个万字来。在甲骨文里，四、五仍然是简单的笔划叠加。不过，经过演化后，四就不再是简单的笔划相加了，何况万这么大的数字呢。

（二）一阶算术系统

说到1以及后继的自然数，就不能不提到意大利数学家皮亚诺（Giuseppe  Peano）。皮亚诺1858年8月27日生于库内奥附近的斯平里塔，1932年4月20日死于都灵。1876年入都灵大学学习，1880年毕业，1884年起在都灵大学任数学讲师，后任教授。皮亚诺是研究数理逻辑和数学基础的先驱，在1899年提出了关于自然数的5条公理，在1890年发明了皮亚诺曲线。

皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统，现在称为皮亚诺公里或者皮亚诺公设。根据皮亚诺的五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。

皮亚诺的这五条公理用非简单的语言叙述如下：

（1）1是自然数；

（2）每一个确定的自然数，都有一个确定的后继数，这个后继数也是自然数；例如1有一个后继数2，2是自然数；2有一个后继数3，3也是自然数；

（3）如果有两个数都是某个自然数的后继数，那么这两个数相等；

（4）1不是任何自然数的后继数；

（5）任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1成立，又假定它对某个自然数成立时，可以证明它对其后继数也成立，那么命题对所有自然数都成立。

第五条公理实际上就是数学归纳法。

（三）一个只有数字1的特殊数列

   世界上最简单的运算恐怕就是加1减1这样的问题。人人皆知1减1为0。然而有一个关于加1减1的数列，因为涉及到无穷级数里的收敛与发散问题，变成了许多著名数学家的难题。

数学加雅各布·伯努利曾列出了一个只有数字1的摇摆级数，引起了人们的极大兴趣。

1－1＋1－1＋1＋…

这个级数的特殊之处在于求和时出现的矛盾。我们把括号加在不同的地方，其和会截然不同。

（1－1）＋（1－1）＋（1－1）＋…

对这样的算式求和，结果似乎为0。

1－（1－1）－（1－1）－（1－1）－…

对这样的算式求和，结果似乎是1。

更多的数学家认为这个级数的和该是1/2。一个简单的推理是：这个级数的第一项为1，前2项和为0，前3项和为1，前4项和为0，如此无限地进行下去，1和0出现的可能性相等。因此其和最有可能是1和0的算术平均值，即1/2。

再复杂一点的计算，涉及到更多的高等数学知识：

因为

1/（x+1）=1-x+x^2-x^3+…

当x=1时，可以得到

1/2=1－1＋1－1＋1＋…

或者因为

1/（x-1）=1+x+x^2+x^3+…

当x=-1时，可以得到

1/2=1－1＋1－1＋1＋…

现在造成的困境是：0=1=1/2，真是有点“无中生有”了。

在18世纪初期，这个问题确实难道了当时许多著名的数学家。

现在的数学家对无穷级数的本质有了更多的了解，知道了对一个没有极限值的发散级数简单求和，是没有意义的。

对这样的级数的部分和求平均值，可以得到该级数的广义和。

因此，1/2是1－1＋1－1＋1＋…的广义和。