你真的会拆分整数吗
现在幼儿园的小朋友就开始学习10以内的加减法了,老师教给大家加减的方法就是将一个数拆分与合成。例如,10可以拆分为9和1、8和2、7和3、6和4、5和5,等等。
在数论中,涉及到更为更多特别复杂的整数的拆分问题,成为数学的难点。例如,哥德巴赫猜想是“任何一个偶数可以拆分成两个素数”,到目前也没有得到证明。
数的拆分也带给我们许多趣味数学题和竞赛题,下面就举例介绍一些有趣的题目。
一、只有1
一道简单的问题是:用1、+、×、()的运算来分别表示23和27,哪个数用的1较少?要表达2008,最少要用多少个1?
我们先给出从1到15的表达式。
1=1,
2=1+1,
3=1+1+1,
4=(1+1)×(1+1),
5=(1+1)×(1+1)+1,
6=(1+1)×(1+1+1),
7=(1+1)×(1+1+1)+1,
8=(1+1)×(1+1)×(1+1),
9=(1+1+1)×(1+1+1),
10=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1),
11=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1,
12=(1+1+1)×(1+1)×(1+1),
13=(1+1+1)×(1+1)×(1+1)+1,
14= (1+1)×((1+1)×(1+1+1)+1),
15= (1+1+1)×((1+1)×(1+1)+1)。
把用1的个数写成数列,就是{1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 7, 8, 8, 8, ...}。
对于23,
23 = (1+1)×((1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1)+1,
1的个数为11。
对于27,
27 = (1+1+1) × (1+1+1) × (1+1+1)
1的个数为9。
对于2008这样的大数,要寻找表达式很困难。
我找到的表达式是
(((1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1=2008
一共用了24个1,但是不是用了最少的1,证明起来有一定难度。
二、夫妻姓名
下面这道题出自斯坦福大学入学考试题。
有一天非常热,四对夫妇共饮了44瓶可乐。女士安喝了2瓶,贝蒂喝了3瓶,卡罗尔喝了4瓶,多萝西喝了5瓶。布朗先生和他的妻子喝得一样多,但是其他三位男士都比各自的妻子喝得多:格林先生是其妻的两倍,怀特先生是三倍,史密斯先生是四倍。请说出四位女士的姓。
在美国,妻子与丈夫同姓。解决本题的方法之一是解不定方程。下面我们换一种方法,就是整数的拆分。
44瓶可乐,减去女士已经喝掉的14瓶,还剩30瓶。先按照每个男士和女士喝得一样多,再减掉男士喝掉的14瓶,还剩16瓶。本题的实质是把16拆分成2、3、4、5中的某3个数的1、2、3。倍之和。
显然,5或者4的3倍加上2、3会超过16,3的3倍也不行,只有2的3倍是一个可行的数。
16去掉6后还剩下10。也就是要把10拆分成3、4、5中某2个数的1、2倍之和,结果就是2个3和1个4。
最后,我们得到的答案是
44=2+3+4+5+4×2+3×3+2×4+1×5。
和题目描述的对比一下,就可以知道四位女士的姓名了:安·史密斯,贝蒂·怀特,卡罗尔·格林,多萝西·布朗。
用整数的拆分方法来解整数方程,也是一条好途径。
三、子女的年龄
题目的描述是这样的:一个经理有3个女儿,3个女儿的年龄加起来等于13,3个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄,有1个下属已知道经理的年龄,但仍不能确定经理3个女儿的年龄,这时经理说只有1个女儿的头发是黑的,然后这个下属就知道了经理3个女儿的年龄。请问三个女儿的年龄分别是多少?为什么?
题目也可能变为:两个俄国数学家在飞机相遇。伊凡问:如果我没有记错的话,你有3个儿子,他们都多大了?艾格回答:他们的年龄乘积是36,年龄之和是今天的日期。伊凡思考了一分钟后,说:可是你并没有告诉我你儿子的岁数。艾格说:忘了告诉你,我小儿子的头发是红色的。伊凡回答:那就很清楚了,我知道你儿子的岁数了。伊凡是怎么知道艾格儿子们的岁数的?
这道题也很经典,难度不算太大,经常改头换面地出现在各类趣味数学书本中。因为解题过程不需要高深的数学知识,只涉及简单的加数拆分和因素分解,但要求缜密的逻辑性和足够的耐心。
我们把这些都列成表。在女儿猜数中,出现了两个相同的乘积36,导致判断困难,因此可以断定父亲的年龄为36;由于只有一个女儿的头发是黑的,去掉了两个小女儿同为2岁的可能性,结果因此就出来了,女儿的岁数分别是1、6、6。在儿子的猜数中,出现了2个相同的和13,导致了判断困难。由于只有一个儿子的头发是红的,排除了两个儿子同为2岁的可能性,因此结果也是三个儿子分别为1、6、6岁,当天日期为本月的13日。
和数 | 女儿1 | 女儿2 | 女儿3 | 乘积 |
13 | 1 | 1 | 11 | 11 |
13 | 1 | 2 | 10 | 20 |
13 | 1 | 3 | 9 | 27 |
13 | 1 | 4 | 8 | 32 |
13 | 1 | 5 | 7 | 35 |
13 | 1 | 6 | 6 | 36 |
13 | 2 | 2 | 9 | 36 |
13 | 2 | 3 | 8 | 48 |
13 | 2 | 4 | 7 | 56 |
13 | 2 | 5 | 6 | 60 |
13 | 3 | 3 | 7 | 63 |
13 | 3 | 4 | 6 | 72 |
13 | 3 | 5 | 5 | 75 |
乘积 | 儿子1 | 儿子2 | 儿子3 | 和数 |
36 | 1 | 1 | 36 | 38 |
36 | 1 | 2 | 18 | 21 |
36 | 1 | 3 | 12 | 16 |
36 | 1 | 4 | 9 | 14 |
36 | 1 | 6 | 6 | 13 |
36 | 2 | 2 | 9 | 13 |
36 | 2 | 3 | 6 | 11 |
36 | 3 | 3 | 4 | 10 |
四、从不知道到知道
有两个非常好的逻辑学家朋友P和S。他们在猜两个整数x、y.。已知1<x<y<99且x+y<100。P知道x与y的乘积,S知道x与y的和。
P说:我不知道这两个数。
S说:我知道你不知道。
P说:我知道了这两个数。
S说:我也知道了。
根据两人的对话,你能判断x与y到底是多少吗?
这是一道更加经典同时难度更大的趣味数学题,是精品中的精品。我们就来慢慢分析整个思维过程吧。
首先,两个乘数因子不能是两个不同素数的乘积,不然P就一定能知道两个数是多少。
我们先列出100以内所有的素数,2,3,5,7,11,13, 17,19,23,29,31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。
我们可以用一个数表列出所有两个素数的和,凡是在表中出现的和都不该是两人要猜测的数的和。
于是,我们100以内还剩下的和有11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、61、65、67、77、79、83、87、89、93、95、97。
34×17可以直接导出两数之和51、38×19 可以直接导出两数之和57,29×58可以直接导出两数之和87,31×62可以直接导出两数之和93,因此51、57、87、93可以排除。
由于53×6=106×3会导致两数之和超过100,因此数59、61、65、67、77、79、83、89、95、97也被排除在外。
剩下的和数的数列就是11、17、23、27、29、35、37、41、47、53。
我们继续进行。
此数是11吗?
因为24=3×8、28=4×7,S知道和为11,却无法断定出P。
此数是23吗?
76=4×19,112=16×7, S知道和为23,却无法断定出P。
同样,可以排除29、35、37、41、47、51和53这些数字和。
现在轮到17了。
S=17=2+15,P=2×15=5×6,导出S=11,11在可能的和数之列,被排除。
S=17=6+11,P=6×11=2×33,导出S=35,35在可能的和数之列,被排除。
S=17=7+10,P=7×10=2×35,导出S=37,37在可能的和数之列,被排除。
S=17=8+9,P=8×9=3×24,导出S=27,27在可能的和数之列,被排除。
现在只剩下S=17=4+13,P=4×13=52=2×26,导出S=28,不在上述的和数之列。
答案露出水面,这两个数是4和13。
简单的描述后面,是严谨的逻辑和繁琐筛选过程。出题者一定是真正的数学大师。然而,这道题到底源自何人,我不得而知。
表1 两个素数之和
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 |
2 | 4 | 5 | 7 | 9 | 13 | 15 | 19 | 21 | 25 | 31 | 33 | 39 | 43 | 45 | 49 |
3 | | 6 | 8 | 10 | 14 | 16 | 20 | 22 | 26 | 32 | 34 | 40 | 44 | 46 | 50 |
5 | | | 10 | 12 | 16 | 18 | 22 | 24 | 28 | 34 | 36 | 42 | 46 | 48 | 52 |
7 | | | | 14 | 18 | 20 | 24 | 26 | 30 | 36 | 38 | 44 | 48 | 50 | 54 |
11 | | | | | 22 | 24 | 28 | 30 | 34 | 40 | 42 | 48 | 52 | 54 | 58 |
13 | | | | | | 26 | 30 | 34 | 36 | 42 | 44 | 50 | 54 | 56 | 60 |
17 | | | | | | | 34 | 36 | 40 | 46 | 48 | 54 | 58 | 60 | 64 |
19 | | | | | | | | 38 | 42 | 48 | 50 | 56 | 60 | 62 | 66 |
23 | | | | | | | | | 46 | 52 | 54 | 60 | 64 | 66 | 70 |
29 | | | | | | | | | | 58 | 60 | 66 | 70 | 72 | 76 |
31 | | | | | | | | | | | 62 | 68 | 72 | 74 | 78 |
37 | | | | | | | | | | | | 74 | 78 | 80 | 84 |
41 | | | | | | | | | | | | | 82 | 84 | 88 |
43 | | | | | | | | | | | | | 84 | 86 | 90 |
47 | | | | | | | | | | | | | 88 | 100 | 104 |
53 | 55 | 56 | 58 | 60 | 64 | 66 | 70 | 72 | 75 | 82 | 84 | 90 | 94 | 106 | 90 |
59 | 61 | 62 | 64 | 66 | 70 | 72 | 76 | 78 | 82 | 88 | 90 | 96 | 100 | 102 | |
61 | 63 | 64 | 66 | 68 | 72 | 74 | 78 | 80 | 84 | 90 | 92 | 98 | 102 | | |
67 | 69 | 70 | 72 | 74 | 78 | 80 | 84 | 86 | 90 | 96 | 98 | 104 | | | |
71 | 73 | 74 | 76 | 78 | 82 | 84 | 88 | 90 | 94 | 100 | | | | | |
73 | 75 | 76 | 78 | 80 | 84 | 86 | 90 | 92 | 96 | | | | | | |
79 | 81 | 82 | 84 | 86 | 90 | 92 | 96 | 98 | | | | | | | |
83 | 85 | 86 | 90 | 90 | 94 | 96 | 100 | | | | | | | | |
89 | 91 | 92 | 94 | 96 | 100 | | | | | | | | | | |
97 | 99 | 100 | | | | | | | | | | | | | |
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