博文
经典趣味数学-分油问题
精选
|||
经典趣味数学题—分油问题的一般性求解
分油问题是一道非常经典的初等数学趣味题。它有很多种表述版本。例如，
版本1：日本分油问题。有一个装满油的8公升容器，另有一个5公升及3公升的空容器各一个，且三个容器都没有刻度，试将此8公升油分成4公升。.
版本2：法国著名数学家泊松年轻时研究过的一道题：
某人有12品脱美酒，想把一半赠人，但没有6品脱的容器，而只有一个8品脱和一个5品脱的容器，问怎样才能把6品脱的酒倒入8品脱的容器中。
版本3：我国的韩信分油问题：韩信遇到两个路人争执不下，原因是两人有装满10斤的油篓和两个3斤、7斤的空油篓，无法平均分出两份，每份5斤油。韩信是如何解决这个难题的？
版本4：史泰因豪斯在《数学万花筒》中的表述：有装有14千克酒的容器，另外有可装5千克和9千克酒的容器，要把酒平分，该如何办？
版本5：别莱利曼在《趣味几何学》中表述：一只水桶，可装12杓水，还有两只空桶，容量分别为9杓和5杓，如何把大水桶的水分成两半？
解决这类问题通常有尝试法、几何坐标法和不定方程法。
这里将详细讨论用不定方程来解这类题的基本思路和步骤拆分。
（一）分析思路
我们注意到这类题有几个共同的特点：
（1）三个容器N!，N2，N按容积由小到大排列，分别为自然数N1,N2,N；得到的油M是小于N的自然数。
（2）两个较小容器的容积数N1,N2互素的（不是互素的要简单一些）。
（3）由于容器没有刻度，倒油过程中，较小容器总需要倒空或者填满。
（4）小容器倒油的次数X、Y是整数，最后需要得到的油M也是正整数。
（5）在小容器里得到数量较少的油，如容器N1得到小于等于N1的油；容器N2得到大于N1小于等于N2的油
所以分油的实质是一个求解二元一次不定方程的解的过程。
方程列为
N2·X+N1·Y=M
其中，N=N1+N2,M=（N1+N2）/2，则是平均分油问题，是分油问题的一个特例。
与一般不定方程有所不同的是，在倒油问题上，这里X和Y取正值，也可取负值。正值表示倒满某个小容器的次数且首先将此容器倒满，负值表示从满油小容器倒出的次数。
如果方程有多解，需要寻找一个最优解。
X和Y的绝对值越小，表明倒油的次数越少，表明是一个最优解。
有了这个解，就可以用来帮助我们完成分油过程。
中间倒油的过程为了满足某个较小容器倒满或者清空而倒来倒去。
具体如何实现只需要费一点点脑筋。
（二）平均分油实例
（1）日本分油问题的不定方程是：5X+3Y=4 解为：X=2，Y=-2
步数 8升容器 5升容器 3升容器
0 8 0 0
1 3 5（+1） 0
2 3 2 3（-1）
3 6 2 0
4 6 0 2
5 1 5（+1） 2
6 1 4 3（-1）
7 4 4 0
7步完成日本分油问题。
（2）我们来解泊松分酒问题。列方程8X+5Y=6
我们得到的解为：X=2,Y=-2，这是一个最优解。
也就是从最大容器倒满8升容器2次，5升容器装满后倒出2次进入最大的容器，就会得到来两个6升。
步数 12品脱容器 8品脱容器 5品脱容器
0 12 0 0
1 4 8（+1） 0
2 4 3 5（-1）
3 9 3 0
4 9 0 3
5 1 8（+1） 3
6 1 6 5（-1）
7 6 6 0
由此，7步解决分油问题。
（3）韩信分油的不定方程是：7X+3Y=5;解为：X=2,Y=-3
步数 10斤油篓 7斤油篓 3斤油篓
0 12 0 0
1 3 7（+1） 0
2 4 4 3（-1）
3 6 4 0
4 6 1 3（-1）
5 9 1 0
6 9 0 1
7 2 7（+1） 1
8 2 5 3（-1）
9 5 5 0
9步完成韩信分油问题。
（4）史泰因豪斯问题的不定方程为：9X+5Y=7，解为：X=3,Y=-4
步数 14千克容器 9千克容器 5千克容器
0 14 0 0
1 5 9（+1） 0
2 5 4 5（-1）
3 10 4 0
4 10 0 4
5 1 9（+1） 4
6 1 8 5（-1）
7 6 8 0
8 6 3 5（-1）
9 11 3 0
10 11 0 3
11 2 9（+1） 3
12 2 7 5（-1）
13 7 7 0
共13步完成分油问题
注意，在大容器等于两小容器且均分的案例中，分油步骤等于X绝对值与Y绝对值之和的2倍减1。
这可以判断出实际操作中你是否完成了最简的分油步骤。
（5）别莱利曼问题的不定方程为：9X+5Y=6，解为：X=-1,Y=3
步数 12千克容器 9千克容器 5千克容器
0 12 0 0
1 7 0 5（+1）
2 0 7 5
3 5 7 0
4 5 2 5（+1）
5 10 2 0
6 10 0 2
7 1 9（-1） 2
8 1 6 5（+1）
9 6 6 0
共9步完成分油问题
（三）分油拓展
二元一次不定方程的解法也比较多，我基本上采用尝试方法。不过尝试的时候也有些基本诀窍。
比如，从系数大的未知数开始取值，根据系数的奇偶性取值，根据倍数关系取值，根据末位数性质取值，这样就会比较快地得到答案。
现在，根据以上不定方程的解和具体的方法，会比较容易地解决分油问题。
要求最终要用较小容器来装较小量值的油，如在日本分油问题中，分出的2升油最后只能有3升容器而不能用5胜容器来装。
例如，我们可以求解出
日本分油问题5X+3Y=1,2,,4,,6,7的所有情形。
泊松问题8X+5Y=1,2,3,4,,6,7,,9,10，11的所有情形。
韩信分油问题7X+3Y=1,2,,4,5,6,8,9的所有情形。
后注：因为对目前我所看见的书中分油问题的解题方法不满意，才写此博文。因为本文数学水平有限，纯属业余，上述讨论是否正确，在此求教于大家。该方法是否可推广到复杂的三等分分油问题，我就更不知道了。
https://blog.sciencenet.cn/blog-542-224072.html
上一篇：科技半月谈之四：官司与重大
下一篇：北京义务教育均衡发展应借鉴NBA制度
