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微积分学习笔记(3)——亟待修正的“极限论”

已有 4116 次阅读 2012-2-26 14:12 |个人分类:微积分|系统分类:科研笔记|关键词:无穷小,极限论,微积分| 无穷小, 微积分, 极限论

 

先转载二傻老师的一段话:

 

有一天, 小傻问二傻:“您说0.9999999…(无限循环数)等于不等于1?

二傻认真想了一下,答曰: “严格说应该不等于1, 但在极限情况下和1没有区别  (其实在说这话的时候心里特没底,总觉得象在骗小孩子!)

 

 

                     

 

学完极限之后,都有点似懂非懂的感觉,这种直觉是对的,虽然自遣意识反思时很难把错在哪里想清楚,这样的状态我们经常出现。有时候,在理论掌握不深刻的,宁可相信直觉也不相信一些不完善的理论。自遣意识造出来的理论很多时候不可靠。而对某事物积累大量经验后,非自遣可以加工,产生直觉等。为何强调理论只有联系实践才是真正的掌握了理论。这就是自遣分析式的强调逻辑严谨的理论必须与实践中在非自积累的意象与自遣积累的表象打通才能灵活应用。

 

言归正传……

 

极限论的建立过程如下:

     

下面先从极限定义入手。

1 准确理解极限的定义

教材上讲了数列极限和函数极限,本节主要讲述函数极限定义

 

设函数y=f(x)在点x0的某去心邻域内有定义,当x无限趋近x0时(记作xx0),函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近x0时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A xx0

 

用“ε-δ语言”描述

存在常数A,对于任意小的正数ε,总存在正数δ,使得当x满足不等式

0<| x-x0|<δ时,对应的函数值f(x)满足不等式| f(x)-A|<ε,则称xx0时,lim f(x)=A

 

听起来很拗口。本质就是对于X0点,当一个变量X不断逼近X0时,都使得f(X)的值都比A,这个时候lim f(x)=A xx0

 

从极限的定义,我们可以重新理解“无限趋近但不等于”的思想现行实数理论强调任何两个实数(点)之间都可插入无限多实数(点),逼近X0点的过程就是一个无穷大的过程,“无限逼近但又不等于”,极限过程就好像把所有的点都走了一遍,然后投影到X0点。

 

复习两个重要极限:

  1lim sin(x)x 1 x0

2lim 1 + 1x^x e x→∞ e2.7182818...) 

 

提问:

如果引入dx这种过渡量,则sin(dx)dx 1 ,(1 + dx1/dxe。请问,

1)如果dx可以作为一种新的数学量引入,以上两种表述方式的意义是什么?

2)不用极限工具如何证明以上两个等式?

 

 

2 极限论的根本问题——缺乏有无变化的中介量

 

学习笔记(2)介绍了极限论的两大问题。

第一是,“无限趋近但又不是”的指导思想有问题;

第二是,无限逼近的过程不能描述其中的质变。

 

有文章强调:

缺乏正确“量-形模型”支撑是极限论一切问题的根源

 

先引用鲍得海老师的一段对话。

 

鲍得海老师针对“趋于无穷”与“等于无穷”问题的理解:

以“割圆法”计算PAI为例: 我们可以用很多等腰三角形来逼近一个圆, 当等腰三角形的底边趋近于无穷小时, 这些等腰三角形底边的连线就无限趋近于圆周, 但永远无法达到真正的圆周!

 

 

WHY? 因为当等腰三角形的个数趋于无穷大时, 这些等腰三角形底边的连线虽然看上去很象一个圆, 但实际上根本不是圆, 而是一种处处不可导的“类圆曲线”….直到等腰三角形的个数是真正的无穷大时, 才成为一个真正的圆---一种处处可导的光滑曲线!

趋于无穷和等于无穷, 将发生质的突变!(一个是处处不可导的类圆曲线, 一个是处处光滑可导的圆)

 

有文章提到:极限思想源于正多边形边数无限增多趋近于圆的几何直觉。圆与正多边形已有质的区别,极限思想的核心就是通过已知的量变去把握作为极限的未知的质变。既然极限表达的是质变,因此,它就不在原数量或几何关系的描述范围内。也就是说,不经“中介”就可以依“惯性”把握质变,这是极限思想的优点。

 

由于现有“量-形”模型的局限,极限表达式所对应的微观状态不存在,最多把他看成一种惯性投影,而不能把质变后的状态真正表达出来(这句话很关键)。也就是说现实中的量变达到度后引发质变的事实,经现行量-形模型一描述,反倒成了既没有质变也没有量变终极的无休止地量变——完全失真。

如果有合适的新量-形模型,极限论就可以完善,极限方法的不借助度而可以描述质变的长处就会得以充分的发挥。然而,长处的另一面就是短处,由于度不出现,因此,就没有了中介。从而,导致函数作为极限的不确定性和极限逆推的不可能性,因为同一极限可能有多个结果,不同的函数可以有同一极限。极限论的这些不足导致了许多推导的充分性不足,如Newton-Leibniz公式的证明。

                       

② 极限公式也存在的问题

采用极限公式逼近,本质上是形成了一个正多边形或者是边数无限增多的动态正多边形,最多认为是惯性投影。由于“量-形模型”中没有表达质变的度的中介量,所以,即使有了微观连续的圆,也不可能达到圆的状态。

 

你是否理解了“没有中介量的量形模型不能支撑极限论”这句话?

 

3 新的量形模型下的极限论

 

 核心思想是必须引入-合过渡态,这样极限的无限逼近才有了落脚点,这样就不是惯性投影了。

           

 

看,引入中介量,修正量形模型后,逻辑上就严谨了。

 

 

4 微积分方法的应用证明无穷小量的存在

 

有文章提到:“科学实践一再证明

 

以“直”代“曲”的推演和计算是精确的(而非近似的)科学实践一再证明,积分是微分的直接累加(根本不须再求极限)。面对这些铁一般的事实,Cauchy没有也没有能力解决为什么,而是予以否认。在Cauchy看来,Leibniz的“定性的0”的思想,Euler的“不同阶0”的思想,Poisson的“小于任何同类的给定量”的思想,都不是离成功只差半步的光芒四射的思想,而是他另起炉灶的依据。“

 

举的两个例子。

第一个是Lagrange光辉夺目的《分析力学》为代表

第二个是:S.Poisson(1781-1840)的科研实践,Poisson在积分理论、行星运行理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论领域都做出了重要贡献。在与Cauchy同时代的科学家中,像Poisson这样的成果丰硕的科学家并不多见,在微积分原理问题上,他与现行微积分原理持相反的态度。“S.D.泊松在其《力学论著》(Traite' de me'canigue)中大量使用无穷小法,这本书在19世纪上半叶多次再版,很久以来就是一本标准著作。他认为这些量‘小于任何同类性质的给定量’,是真实存在的,而不仅仅是‘几何学家想象得一种研究方法’。

 

中介量有现实依据,极限终极状态可以达到。

 

参考文献同前几篇文章
 


http://blog.sciencenet.cn/blog-539894-541538.html

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