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微积分学习笔记(2)——最神秘的过程“Δx→0”

已有 4907 次阅读 2012-2-26 13:45 |个人分类:微积分|系统分类:科研笔记|关键词:微积分,无穷小| 无穷小, 微积分

上次简单介绍了导数。导数这一节最大逻辑漏洞就在第三步“取极限”这里。围绕“取极限”,有几个问题值得反复思考

(1)    如何准确理解Δx0真的是无限逼近但不等于?那为何在上次讲斜率的时候又要求Δx=0,因为切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。

(2)    如何理解极限论这个工具

(3)    取极限后Δx/Δy变成了dy/dxdydx本质上是什么?dy/dx是两个微分相除还是一个整体的符号?

 

 

本节重点谈第一点

1)最神秘的过程“Δx0

 

 

学术界目前的看法主要有两种。

1)一派认为Δx0的含义是Δx趋近于0,甚至是“无限”趋近于0,但是不等于0潜无限

2另一派则认为Δx0的含义是最终Δx=0。(实无限)

 

 

潜无限无穷是一个逼近的目标,可逐步逼近却永远达不到。比如,目前极限论的依据就是潜无限思想。

实无限:把无限看成为可以自我完成的过程或无穷整体。比如,17世纪下半叶,牛顿、莱布尼兹创立的微积分学也是以实无限小为基础的,在其理论中,无穷小量被看作一个实体,一个对象。

参考:韩雪涛《两种无穷观:实无限和潜无限》

 

 

如何解决争论?罗素在《我的哲学的发展》有一句话。

 

把争论问题弄清楚的方法是:把容易不知不觉地使用的前提更细心地检查一番

对基本的东西更加长期地注意。

 

 

在哲学上要搞清楚一个观念:

 

存在就一定是,不存在就一定不是

(既然极限存在,就一定能在那点取值,不用引入“去心零域”)

 

有老师提到:“为何d’AlembertWeierstrass的极限只定义“无限趋近”,而回避“趋近就是”呢?是否是为了回避分母为零呢?能“是”就存在,不能“是”就不存在,存在就有法“是””

 

有个这个观念,学习笔记(1)中的切线要求只有一点接触,而极限过程要求不能达到该点这个自相矛盾的地方就好解决了。

 

 

另外,联系现实案例对Δx0进行分析。

 

陈省身先生曾指出:很多数学概念事实上都是人为的,不是客观世界,现实是这样子,你非得有这个概念不可而不能是为了逻辑推理造出来的,人为造出来的,然后追求这之间相互逻辑关系,不符合客观世界的认识。(《大家——吴文俊》)

 

 

先从现实案例出发,假设X为一根木棍子的长度。

 

对于一根木棍子,按照“一尺之锤,日取其,半万世不竭”, Δx0的过程中存在各种质变,有木纤维、细胞、分子、原子……

 

 

有位老师对此有详细论述:

    传统的对Δx0的看法,包括极限理论都没有考虑,任何一个物质,当一个量向无限小变化下去的时候,这个过程当中有无限的质变。任何事物都一样,一半取下去是会发生很多质变的。相变也一样,最开始就有一个核形成,亚共析钢,温度超过723度时,变成奥氏体核,最后变成了奥氏体组织了。在这个相变过程中,你看到的是核心及其长大。在第一个奥氏体晶胞产生之前,你以为就没有其他变化了,奥氏体晶胞要长成一个奥氏体组织,形成的核之前又是什么呢?形而上学的思维方法把这个过程都忽略了。

当变化过程涉及到质变的时候,你用极限论进行的推理就不正确了。因为你的数学没有把质变这种现象包括进去。人类的物理和化学研究已经研究到微观的层次,并且以后将会更加微观,而我们的数学没有跟上,他不行了。我们的量子力学出现这么多问题,也和数学有关,而我们的很多物理学家都是硬着头皮往前走,不善于从哲学角度思考这个问题。

 

 

看看现行的量形模型,为何存在“0.9999…是否等于1”“无穷个没有大小的点能否构成直线”等很多悖论,都源于其自身模型需要重新修正了。

从实数模型入手,Δx0的过程中存在各种量变,任何实数间总有无穷的数,没有真正的连续,更不能表征质变现象。

从几何模型入手,Δx0的过程中存在各种量变,切来切去都是点,无穷的没有大小的点永远构不成线,也不能表征质变现象。

 

如何把量变中的质变引入到数学中?

 

要解决这个问题,得靠好的科学哲学做指导。

科学从来都是人脑通过模型和常数,以逻辑的形式对规律或规律体系的逼近,也正因为如此,人类永远都不知道规律的真面目。科学的发展表现为逼近视角的丰富和逼近程度的提高,但这一切都依赖模型的构建和选择。而模型建立的关键在于解决好简单性和描述性的对立统一关系,也就是说在满足描述要求的前提下尽可能地简单。

来自某本《科学哲学》教材

某老师指出:数学科学也不例外,模型的缺陷或失真,必然导致科学的错误发生。现行量-形模型由实数和点的性质决定,它的一个根本特点就是任意两个实数和点之间都可以插入无限多个实数和点,因此,实数集永远是不连续集,点构成的几何图形或流形永远是有空隙的。因此,在这样的模型下也就不可能有真正意义的连续,从而,也就不可能有量与形变化的中介,比如,回答有与无的过渡问题。这就是Cauchy-Lebesgue微积分原理科学性不佳的根本原因。

 

2)最奇怪的数学量“dx

                     

 

咋修正模型?做法如下:

 

建立了“变化”(Werden)这个概念,

在此基础上对实数的扩张性和点的度量性进行重新规定。

 

 “变化”(Werden)是什么?是黑格尔《逻辑学》中用于表示“有”和“无”过渡的中介。的概念,此处将“Werden”译作“变化”,取中国的《黄帝内经》中“物之生谓之化,物之极谓之变”的“变”和“化”两字之意。Werden是一种哲学上的概念,到数学中就用dx表示了。

 

在此Werden是旧事物与新事物联系和发展的环节,是扬弃的过程,是新、旧事物的对立统一。不仅描述量变,而且还描述质变,是度的典型体现。微积分不同于初等数学的特征在于微积分必须描述量变引起的质变。

 

3)引入中介量之后的Δx0

对这个过程的理解十分关键,以后再详细论述。这个过程是微积分一切方法微观变化的描述,微分,导数和积分都离不开这个过程,只有理解这个过程才能充分想象一切微积分方法的应用过程。

 

 

参考文献

 

1 简明微积分原理,第四届国际数学大会会刊

2 现行微积分原理的缺陷,数学教学与研究,2012第一期

数学史概论,李文林

4 高等数学,同济版,1978

 

 

 



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