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微积分学习笔记（1）——从导数谈起
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按照微积分发展历史，先有导数，后又极限，所以先从导数（Derivative）谈起。
1 一道求导的题目
我们按照求导数的步骤求解函数y=x2在x=2处的导数（这个计算过程最好自己算一算）
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函数y=x2在x=2处的导数 | |||||||
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x |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
△x |
0.1 |
-0.1 |
0.01 |
-0.01 |
0.001 |
1E-04 |
0 |
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△y |
0.41 |
-0.39 |
0.04 |
-0.04 |
0.004 |
4E-04 |
0 |
|
△y/△x |
4.1 |
3.9 |
4.01 |
3.99 |
4.001 |
4 |
? |
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dy/dx |
-- |
-- |
-- |
-- |
-- |
-- |
4 |
抛开极限，抛开无穷小量等概念，就分析这个计算过程。按照这种算法，我们肯定能归纳出结果结果就是4。那好，现在让你用一套理论讲清楚为啥是4。这就是微积分原理发展的一个推动力。
在这个计算过程中，不断减少△x，△y/△x的比值将不断的逼近4，到底是什么时候到4？确实是当△x=0的时候，但是如果一开始△x=0则不能计算了。这到底怎么回事？
能把为啥是4说清楚的微积分原理就是好的原理
2 导数的定义
最早，牛顿和莱布尼茨计算导数的方法并不这样的，他们没有极限论这样的工具。在牛顿那里，他首创用“O”记号表示x的“无限小且最终趋于零的增量，求解导数时，也是先算增量，再算比值，最后不用极限，直接取O为0，则得到了导数值，在牛顿那里导数称作“流数”。
贝克莱与第二次数学危机
爱尔兰大主教贝克莱对对牛顿的理论进行了攻击。他指责牛顿，比如，为计算x2的导数，先将x取一个不为0的增量Δx，由(x + Δx)2 − x2 ，得到2xΔx + (Δx) 2 ，后再被Δx除，得到2x + Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量Δx在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。数学史上把贝克莱的问题称之为第二次数学危机。
作为主观唯心主义代表的贝克莱大主教有一句经典的名句：
存在就是被感知
（对于具体的个人而言是对的，
但对整个世界而言，很多存在并不一定要被感知）
牛顿得出的导数值很实用，尽管是其推导过程存在逻辑上的漏洞，科技界还是接受了导数这个实用的工具。有文章评价牛顿体系道：
（1）如果“O”小到是可以略去，那么，当初就不应引入（x+pO，y+qO）。如果“O”大到引入后能说明x和y的增加量，那么，引入后，就不可以随意忽略。（pO 和qO分别指x和y对应的无穷小量。）
（2）导数（流数）是近似值，而事实上导数是精确值。
（3）牛顿的流数术仅能求某几类函数的导数，还不能对所有函数求导数
数学界为了进一步完善牛顿-莱布尼茨的微积分原理，展开了一系列的工作。J.Le.R.d,Alembert(1717-1783) 建立了极限论。而后，k.weierstrass(1815-1897)建立了极限的分析定义，其中，cauchy(1789-1857)建立了一整套分析的基本概念，于是沿用至今的数学分析体系形成。在这里称为cauchy-lebegue体系。
在此，我们出一道思考题。
思考题：
牛顿的流数术仅能求某几类函数的导数，还不能对所有函数求导数。我们的问题是如果不用极限工具，是否可以求出指数函数，三角函数，对数函数等的导函数？
3 重新反思斜率与瞬时速度
（1）从几何角度看用极限求解导数存在的问题
介绍了导数的计算方法之后，书上开始谈导数的几何意义，即导数是曲线某点的斜率。（我参考的是1978年同济版本）
上图表示当 自x0发生增量Δx=x-x0时函数 也相应发生增量Δy=F(x0+Δx)-F(x0)，按Cauchy的定义，y=F(x)在x0点的导数为lim(Δy/Δx)=f(x0),当Δx趋于0时。
再看图，当Δx趋于0时，P点在弧线上朝着P0点运动，蓝色割线PP0向红色切线无限靠近。按照传统的量-形模型，弧也是无穷多个点构成，所谓lim(Δy/Δx)=f(x0)也就是P点在弧线上朝着P0点无限逼近但不能达到的过程，但是，切线要求当割线AB旋转到与曲线F(x)只有一个交点时，这个过程才完结，只要Δx≠0，割线就没有化为切线，只要割线化为切线，ΔX=0，于是就有Δy/Δx =0/0，这与取极限要求的Δx≠0只是逼近0自相矛盾。
（2）从飞矢不动谈瞬时速度的问题
有个经典的悖论：“飞矢不动”：
飞着的箭在任何瞬间都是既非静止又非运动的。如果瞬间是不可分的，箭就不可能运动，因为如果它动了，瞬间就立即是可以分的了。但是时间是由瞬间组成的，如果箭在任何瞬间都是不动的，则箭总是保持静止。所以飞出的箭不能处于运动状态。（来自百度百科）
很多人对这个悖论进行了解释，在网上可以查到。
我也不太清楚如何解释清楚，只是引用某老师的的一段话。
恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，而且，也表明过程：运动。”这里恩格斯所说的微分学既不是马克思和他所批评的古典微分学，也不是Cauchy的新微分学，而是指未来的辩证的微分学。“辩证”怎么理解？这可以以恩格斯解释的“运动”的例子作比方，恩格斯说：“物体在同一瞬间既在一个地方又在另一个地方，既在同一个地方又不在同一个地方。这种矛盾的连续产生和同时解决正好就是运动。”
现实世界中的一切事物，其变化在跨越度之前总要表现为连续变化，而自遣意识与非自遣意识不同，它的记忆和逻辑是分析的，即离散的和静止的，因此，一切科学模型都无法描述连续和变化的恩格斯意义的过程，从而，借助中介实现静态模型的动化是唯一敷衍塞责的办法。三百多年了，科学的微分学，从而科学的微积分学建立不起来的根本原因就在于没能实现静态模型的动化，Werden或太极意义微分的引入，终于化解了这一矛盾，从而，导数的定义乃至整个微积分原理的建立才成为可能。
参考文献
1 简明微积分原理，第四届国际数学大会会刊
2 现行微积分原理的缺陷，数学教学与研究，2012第一期
3 数学手稿，马克思
4 数学史概论，李文林
5 高等数学，同济版，1978
https://blog.sciencenet.cn/blog-539894-541525.html
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