至今，自己的第一本著述《现代张量分析及其在连续介质力学中的应用》总算正式出版了。非常感谢复旦大学出版社的范仁梅女士，范老师是本系力学专业早期毕业的学生，是我的学长，在她的鼎力支持和帮助下，本书得以按自己的心愿出版。在此，自己亦感谢我的老师与同事丁光宏教授，自我97年至复旦读研究生以来，一直获得丁老师就自己学术追求方面的支持和鼓励，包括对本书的撰写及出版等。

迄今为止，国内最具代表性的张量分析方面的教程或专著，当属北大郭仲衡先生著《张量（理论及应用）》以及清华黄克智先生等著《张量分析》。相对而言，郭仲衡先生书的理论意味更浓，抽象程度更高，阐述更为严格；特别注重了张量分析知识体系的现代化阐述，表现为利用外积运算研究二阶张量的代数性质，表现为将微分流形中的相关思想与方法借鉴至连续介质力学研究，这些特点在国内现有张量分析方面的书著中依然是独树一帜的。黄克智先生的书应该具有更为宽广的阅读面，相关思想及方法的阐述可能更易于被力学及工程领域的学生及研究者所理解与掌握。自己就张量分析知识体系的现有认识主要源于研习郭仲衡先生、黄克智先生的著述，在此诚挚感谢二位先生的著述。想必一定有很多学者（学生及从业者）受益于这二位先生的著述，藉此也可见优秀教程或专著在传递知识体系方面的深远意义。

从学术上而言，自己还是认可《现代张量分析及其在连续介质力学中的应用》的广度及深度；诚然认识可以也需要不断提升，但本书的程度可以标示一种一般或基础性的认知程度。全书共分6部分，共计27章；按787×1092 1/16开本，541页，748千字数；有意在推导方面给出较为细致的说明，以便于读者理解和掌握相关思想及方法。张量分析方面，有四部分：张量定义及代数运算，有限维Euclid空间中体积上张量场场论，有限维Euclid空间中曲面上张量场场论，基于一般赋范线性空间上微分学的张量映照微分学。连续介质力学理论及应用方面，有二部分：体积形态连续介质的有限变形理论及其应用，几何形态连续介质的有限变形理论及其应用；体积理论及曲面理论分别由体积及曲面上张量场场论提供数学及力学分析上的支撑。总体而言，希望自己的著述能兼具郭仲衡先生及黄克智先生著述的特色，既注重理论（思想及方法）阐述的系统性、严格性以及现代性，又注重理论联系实际。

本著述将为自己近十年在复旦逐步建设的选修课程提供主要的参考，包括：本科生选修课程《张量分析与微分几何基础》，主要涉及张量分析部分；本科选修课程《连续介质力学基础》，主要涉及连续介质力学理论及应用部分；本科选修课程《经典力学数学名著选讲（有关微积分的深化）》可以利用本书一般赋范线性空间上微分学、变分法；本科选修课程《流形上的微积分》可以利用本书微分流形方面的相关内容。另外，本书将直接服务于复旦大学暑期集中性教学项目《现代张量分析及其在连续介质中应用》。

本书自2012年底开始撰写，至2014年10月最终定稿，用了二年的时间；这二年也是不断学习与提高认识的过程，由此现有的著述反映了自己截止至2014年10月的相关认识。本书的学术特色（谨希望能是一些有价值的获得），谨叙述如下。

张量分析部分。郭仲衡先生的《张量（理论及应用）》表现了将现代几何学的相关思想及方法借鉴至连续介质有限变形研究的意图，但书中所载的内容仍是初步的，实际这一方向本身尚在发展之中；也是十分得可惜，郭仲衡先生已经离开我们二十年了。尽管限于自己的能力，但也是有志趣于继续郭仲衡先生的力学几何化方面的研究。现有的主要认识，概述如下：（1）内蕴形式的广义Stokes公式，分为第一类及第二类内蕴形式的广义Stokes公式。特别是第二类，清华的殷雅俊教授和我都独立获得，但方法差别很大；殷教授将此应用于软物质研究，我将其用于曲面有限变形理论动力学部分的研究。（2）Lie导数。Dubrovin等著的《现代几何学—方法及应用》，基于张量分量形式定义Lie导数；郭仲衡的《张量》采用张量整体形式定义Lie导数。力学研究中需要整体形式的极限定义，如张量整体对曲线坐标系某一分量的变化率（以此定义张量场的各种微分运算），张量整体对时间的变化率（物质导数），整体定义往往具有鲜明的物理意义。自己现在的阐述集合了郭仲衡的整体定义以及Dubrovin等具体的极限分析方法，并且认识到基于推前或者拉回的定义是等价的（一般书上似乎都是基于拉回的），推前及拉回可以理解为对变形的相关刻画方式。另外，自己已明确Lie导数不具有整体形式的不变性，亦即将同一张量具体表示为不同的表达形式（张量分量取为协变、逆变或者混合型），对应的Lie导数不尽相同，并已获得了其间的关系。另外，Dubrobin、Arnold、郭仲衡等在其著作中都说Lie导数就是连续介质力学中的物质导数，自己谨认为从Lie导数的整体定义就可看出Lie导数不同于物质导数，特别现在又能说明Lie导数实质性地依赖于具体的张量分量形式。（3）为将一般的涡量动力学推广至固定曲面上的二维流形（建模上将介质视作曲面，同时引入面密度以刻画介质厚度的变化，由此仅考虑厚度变化而不考虑沿厚度的物理量的变化），自己基于Levi-Civita联络定义Levi-Civita算子（适用于张量整体形式，但仅有形式上定义，没有极限定义），以区别于力学中常用的曲面上梯度算子（仅涉及沿曲面坐标线的变化率，有极限定义）。基于Levi-Civita算子，自己将一般涡量动力学中的几个重要的场论恒等式推广到适用于二维固定曲面上流动的场论恒等式，藉此获得了二维固定曲面上的涡量动力学理论框架。（4）就流形上的Stokes公式，自己推导了一种形式，通过定义m-2阶外形式的旋度，将面积分部分表现为曲面上m-2阶外形式的旋度的通量。郭仲衡先生在其《张量（理论及应用）》的序言中表示，因流形上Stokes公式需要不少基础而未能做叙述而感到可惜，自己的书中应该给予了细致且清晰的叙述，并且给出了一般微分几何的教程中未见的形式；以此也谨作为对郭仲衡先生的纪念。

连续介质力学理论及应用方面。明确提出将连续介质按其几何形态区分体积及曲面形态连续介质，分别对应Euclid流形以及Riemann流形。由于Euclid流形以及Riemann流形上张量场场论有着本质区别，故体积及曲面形态连续介质的有限变形理论亦有着本质区别。当然，体积理论及曲面理论是二种不同的理论模型，针对具体的研究对象需按实际情况选择理论模型，并通过实验鉴别合适的理论模型；觉得越是薄的介质应该越是对应曲面理论。就体积理论，按当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的情形阐述有限变形理论，相关理论将适用于含有可变形边界的流固耦合问题。就曲面理论，应该完全是自己独立提出的。自己参照郭仲衡先生著《非线性弹性理论》所载的连续介质（默认为体积形态）的有限变形理论，平行建立并阐述了当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形以及几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论。另外，就体积及曲面理论都阐述了相关应用；特别体积理论应用涉及得较广，相关方法也将有益于实际研究。

前几个月，自己曾为能写出这本著述而感到兴奋，现在似乎已经过了兴奋期。相关课程上的叙述，虽然以此书作为教程，但也已发现或构造了更为理想的阐述方式，可见认识上仍有很多的提升空间；自己会努力地不断提高认识，并通过课程直接传递各学生们。

本书虽已正式出版，但认识会不断地提高，现书稿中的一些笔误也将被发现，故不久计划为本博文添加一个可随时更新的附件“《现代张量分析及其在连续介质力学中的应用》的相关说明及勘误”。

欢迎阅读本书的学者们，随时地给予任何的批评、意见及建议，敬请直言不讳。另，限于自身非常有限的学识，书著及此博文中的不妥之处，敬请见谅并予指正。非常感谢。

谢锡麟 谨致

复旦大学 力学与工程科学系

2014年11月6日星期四