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多项式建模:为什么到三次就可以停止了

已有 6106 次阅读 2013-5-20 13:13 |个人分类:物论|系统分类:论文交流|关键词:建模,多项式| 建模, 多项式

【本文专门为杨正瓴老兄所写】


  现实生活的数学模型很有些意思,尤其是经济学领域和管理学领域,更是如此。除了各类非多项式模型也会被用到,更多被使用还是多项式模型。

  我想解释下为什么。

  我们在做统计回归模型的时候,其实最后给出来的线性回归模型最多,也就是说,回归出来一条依赖关系非常明确的线:你升我涨,或者你降我升,且比例(斜率)大体一样。


  这样的规律实在是在现实中太多见了,所以才会有大量这样的模型被拟合出来。

  不过还有二次的,如果是单变量的,那么就是大家高中就熟知的抛物线了,抛物线的特点是有一个极值点,过了这个极值点之后变化趋势就完全改变,原来是上升的此时开始下降,或者反之。在现实中也确实存在大量这类现象,符合我们对于社会的一般认知。

  而三次呢,我们脑子里会出现的一个最经典的三次曲线当然是f(x)=x^3,经过原点,且在原点之前和之后的曲线模样(趋势)有明显不同,我们可以将其成为拐点。很多增长方式由急变缓或者反之,都是这种趋势和规律的实践对应。


  一般而言,到三次就可以结束了,虽然在数学里4次可以出现另外的“点”,五次则又不同些,一些看上去稀奇古怪的点会出现。但是,客观世界尽管也会有这类罕见现象,但是少之又少,几近没有了。

  这样,如果使用多项式建模,我们用到三次多项式就没有必要再去思考使用更高次的。当然,如果你眼前的客观规律是多项式所无法描绘的,是比如“平方反比定律”或者别的,那我要恭喜你,也许新的牛顿已经出现了。数学家穷极一生所研究出来的各类方程,应该说还是很漂亮的,但是和现实世界(还不是物理或者化学世界,更多指经济学或者管理学世界)之间的距离可谓无穷大,真正建模的时候,那些复杂的模型不用也罢,简单点并不会真的不能反应本质性的规律。正如精细而微观的量子力学不需要用于大尺度物理现象的描述一样。  



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