备课——纤维间摩擦力问题

曾泳春

    这学期我每周二要给留学生上2个半小时的Yarn Manufacture（纺纱）。这个课我已经上了多次（因此获得前年暑假去布里斯班QUT培训Teaching Methodology的机会），这学期我想着花点时间把课堂内容细细琢磨并充实一下，没想到这时间投下去竟不是我原来想象的一点，而是无底洞了。不但周末都搭了进去，今天因为这周想讲的内容比较多，眼看备课备到这个点还完成不了，我知道明天也要搭进去了（不然后天怎么上课），干脆停下来写篇博文吧！

    因为是英语上课，所以连段子都得预先想好，否则上课时就可能出现段子开了头却收不了尾的下场，我试过的，那叫一个尴尬。虽然我觉得准备得很充分了，但上次课还是出现了问题。

    上次课我讲到纤维性质对纺纱的影响时，给学生总结了一个conclusion: Finer and longer fibers tend to give stronger yarns.（细而长的纤维纺出的纱强力高），或者说得更一般些，细而长的纤维才能纺出高质量的纱。所谓高质量的纱，一般是指细度细（即所谓的高支）且能达到强力标准的纱。

    对这个conclusion的解释，按照我一贯的思维，我说：对给定细度的纱，纤维细意味着纱体内的纤维根数多，细而长的纤维在纱体内接触表面积大，相互运动时产生的纤维之间的摩擦力（inter-fiber friction force）大，因此纱的强力大。说到这里，我得意洋洋地在黑板上写下了摩擦力的公式

    $F=\mu N$

    我突然傻眼了，因为这个公式与表面积没有半毛钱关系——摩擦力与接触表面积无关，因为摩擦力的实际接触面积是原子尺度的事儿（D. Kleppner and R. J. Kolenkow，力学引论）。而我前面侃侃而谈的细长纤维的接触表面积大的优势，一下子就灰飞烟灭了。

    更悲剧的是，说到这里我突然意识到前面讲的一个纤维性质cohesion（抱合力）的概念也是错的。我刚刚还洋洋得意地跟学生说cohesion是自然赋予纤维的一个与众不同的性质，使得纤维在没有外加强力的情况下也能抱合在一起（hold themselves together in a mass），而这个让纤维们自己抱合在一起的cohesion就是纤维内部固有的fiber-fiber friction force，是由于天然纤维粗糙的表面特性引起的。如羊毛纤维有卷曲（crimp），而棉纤维有转曲（convolution，与卷积同词），细究一下，这些卷曲或转曲赋予纤维横向凸起，纤维之间产生运动时，这些横向凸起就引起了法向压力N，而一旦有了N，便有了摩擦力，所以cohesion也是一种摩擦力。

    这个概念说到这里似乎还没有出错，转折在下面出现：根据实验研究，cohesion与纤维表面性质（这个没问题，可以扯到摩擦系数）、纤维接触面积有关。于是我又傻眼了，与摩擦力无关的接触面积却与cohesion有关，说明cohesion并不那么简单的是一种摩擦力。

    课上到这里我又颇觉得尴尬，我说容我回去思量思量，下次课再解释这个问题。所以这星期我奋战了一整个周末也没能备完课，重新把这两个问题捋了一下（但是对解释依然不满意）。

    关于细而长的纤维纺出的纱强力高的问题，应该这样解释：纤维细意味着纱体内有更多的纤维可以分担外加负载引起的张力，以及提供更多的摩擦接触点；而纤维间张力的分布和转移依赖于纤维交叠的长度和摩擦接触，因此纤维长意味着有更长的交叠长度承担张力和提供摩擦接触。关于cohesion的概念，应该说cohesion与摩擦接触有关，但不能一锤定音地用摩擦力来定义。

    也就是说，这两个问题都不能简单地用摩擦力来解释，只能用摩擦接触（frictional contact）这个不明确的物理概念来说明。

    问题想到这里，又出现了新问题，这个问题再次避不开摩擦力和纤维表面积的关系。在一个压力分布区域内，当一根纤维从一束静止或与它有相对速度的纤维中抽拔出去时，这根纤维受到的摩擦力我是这样计算的

    其中a为纤维尾端初始位置，l为纤维长度，n为纤维接触根数，P(x)为压力分布，dx为在纤维长度上所取的微元。

    根据这个公式，在一维条件下，纤维受到的摩擦力与纤维长度有关，那么可以推论：在二维条件下，纤维受到的摩擦力与接触表面积有关。

    那么纤维之间的摩擦力到底与接触表面积是怎样的关系？