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总说“数学思想“,你知道数学思想方法及其作用么?

已有 1065 次阅读 2020-11-16 08:53 |系统分类:科研笔记

01


数学思想方法的含义


数学思想是指从某些具体的数学认识过程中提升的正确观点, 在后继认识活动中被反复运用和证实, 带有普遍意义和相对稳定的特征.


 也就是说, 数学思想是对数学概念、方法和理论的本质认识. 正因为如此, 数学思想是建立数学理论和解决数学问题(包括内部问题和实际应用问题)的指导思想. 任何数学知识的理解, 数学概念的掌握, 数学方法的应用, 数学理论的建立, 无一不是数学思想在应用中的体现.


数学思想不同于数学思维.“ 数学思维是指人脑和数学对象交互作用”的过程, 是人们按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动, 包括应用数学工具解决各种实际(理论或应用)问题的思考过程. 其中, 理性活动的本质是逻辑推演. 数学思想的产生必须经过数学思维, 但是数学思维的结果未必产生数学思想.


数学方法是处理数学问题过程中所采用的各种手段、途径和方式. 因此数学思想不同于数学方法. 尽管人们常把数学思想与数学方法合为一体, 称之为“数学思想方法” , 这只不过是因为二者关系密切, 有时不易区别开来. 事实上, 方法是实现思想的手段, 任何方法的实施, 无不体现多种数学思想; 而数学思想往往是通过数学方法的实施才得以体现.


严格说来,思想是理论性的; 方法是实践性的, 是理论用于实践的中介, 方法是思想的依据, 在思想理论的指导下实施. 例如, 伽罗瓦将方程问题转化为群论问题来解决, 创立了群论方法, 可以说是一种伟大的创造. 在这过程中除了运用转换思想, 其实也运用了群论的思想. 更确切说, 是他用群论的观点来看待方程的根的整体结构, 因而得以把方程问题转换为群的问题而不是转化成别的问题. 因此, 如果问: 是群论的方法, 还是群论的思想起作用呢? 应该说, 是在群论的思想指导下, 用群论的方法导出结果, 所以两者都起作用.


一般来说, 讲数学方法时, 若强调的是指导思想, 则指数学思想; 强调的是操作过程,指数学方法; 当二者兼得、难于区分时就不作区分, 统称为“ 数学思想方法” . 事实上, 通常谈及思想时也蕴含着相应的方法, 谈及方法时也同时指对该方法起指导作用的思想, 比如, 讲到公理化思想或公理化方法时就是如此.

02


数学思想方法的作用


数学思想方法对于数学的学习与研究具有重大作用和深刻的意义, 以下分三个方面进一步阐述之.


1. 数学思想方法是数学创造和发展的源泉


几千年的数学发展史告诉我们: 数学思想方法存在和活跃在整个数学发展的进程之中.


 例如, 古希腊的亚里士多德与欧几里得提出公理化方法, 把大量的、零散的几何知识系统化, 最后综合成欧氏几何;


 中国古代数学家刘徽提出“ 割圆术” , 以解决长期存在的圆周率计算不准确的问题, 其中包含着极限思想方法的萌芽; 


笛卡儿采用了变量的思想方法来研究几何曲线, 引进坐标系, 创立了代数方法研究几何问题的新的数学分支—解析几何; 


牛顿、莱布尼茨提出无穷小量方法, 创立微积分; 


高斯、罗巴切夫斯基等人运用了逆向与反常规思维、想象等思想方法, 创立了非欧几何理论, 并解决了两千多年来几十代数学家为之奋斗但未能解决的欧氏几何第五公设问题; 


伽罗瓦采用群论的思想方法彻底解决了五次及五次以上方程求根的问题, 并为现代抽象代数奠定了基础; 


康托尔提出集合思想,不仅解决了许多实际数学问题, 为微积分的理论奠定了稳固的基础, 而且对数学基础的研究产生深刻的影响; 


希尔伯特重视思想方法的研究与应用, 不仅成功地运用了公理化的思想方法把欧氏几何完善化, 而且为多个数学领域的发展做出重要贡献, 被称为一代数学领袖和全才. 希尔伯特在 1900 年巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲, 精辟阐述了重大数学问题的特点及其在数学发展中的作用, 并列举了 23 个重大数学问题, 对推动 20 世纪数学的发展产生了巨大的影响. 人们普遍认为这个演讲本身就是一篇数学思想方法的重要著作.


2. 数学思想方法是数学应用的关键


长期实践证明, 数学在科学技术上和社会科学各领域及生产、生活的各方面都有广泛的应用. 但是, 如何发挥数学的科学功能, 把它应用到上述各领域、 各部门中去呢?


 这固然需要数学知识, 更重要的是依靠数学思想方法向科学各领域的渗透和移植, 使数学成为它们的一种基本工具来加以运用, 并促进其发展. 人们常说, 某人办事有数学头脑, 其实是说他能灵活运用数学思想方法.


 中科院林群院士在多次讲座中说:“微积分的方法可以应用于经济, 也可应用于管理工作.”这里所说应用虽然包括具体的数学知识(如计算公式)的应用, 但更重要的是指微积分的基本思想方法的应用, 包括运动的观点、化整为零(把整体化为局部)—在局部区域各个击破—再化零为整、局部误差之和小于整体误差等具体思想方法.


3. 数学思想方法是培养数学能力与数学人才的需要


数学教育的根本目的在于培养数学能力, 这种能力即运用数学认识世界、解决实际问题和进行发明创造的本领. 而这种能力, 不仅表现在对数学知识的一般理解和良好记忆,而且更主要地依赖于对数学思想方法的掌握和运用. 


前面罗列了数学史上的诸多重大创造性工作, 不仅在于这些数学家对数学知识的积累、记忆和直接使用, 而且更主要的是由于他们在数学思想方法上进行了创造性的变革.


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1 吴斌

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