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高等工程数学:工程问题解决方案的数学基础

已有 1223 次阅读 2019-8-12 09:02 |系统分类:教学心得

“双一流”建设是新时代我国高等教育的重大改革举措,是高等学校进入新时期、迈入新高度的重要机遇. 随着研究生招生数量的提高,势必带来研究生教育的各项改革措施. 针对目前研究生培养工作的特点 (有全日制学术学位、全日制专业学位、非全日制学位),为迎合国家“供给侧”改革的战略形势,进行研究生数学课程教学改革势在必行.


目前科技正以加速的方式发展,数学也经历了一场深刻的革命,新的数学思想、数学分支层出不穷,各种理论和方法相互交叉、互相渗透,使数学在实际应用中显示出了超强的活力. 在科学技术领域数学的地位正不断提高,科学计算、理论研究和科学实验已成为科学研究的三大支柱. 同时,数学教育在高校研究生教育中的地位与作用也正在发生变化,数学不再仅仅是学习后续课程与工程计算的工具,而是成为培养研究生理性思想和文化素质的重要载体,成为探索和创新的必备素养.
 
在理工科专业 (非数学专业) 研究生中统一开设必修的基础数学课程“高等工程数学”是研究生基础教学的重要改革措施. 为配合教学需求,我们组织有相关课程教学经验的教师编写了本教材. 教材内容在注重基本数学理论的基础上,以基本数学方法为重点. 通过该课程的教学,可使研究生掌握矩阵分析、线性方程组求解、优化方法、微分方程求解、数据拟合、统计分析等方面的知识,使其能够熟练应用这些数学方法解决学科研究中面临的相关问题. 《高等工程数学》适合作为工科高校研究生教材,也可给理科或管理学等学科的研究生、教师、有关研究者作为教学与研究参考书.

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本书是双一流院校多年教学讲义的系统性呈现,案例驱动,紧密联系实际,结合工科教育特点,强调基础,注重应用,引入了当下各学科的前沿话题,弱化推理和证明,强调应用分析和实例.

精彩章节


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本文摘编自朱元国、范金华、张军等编《高等工程数学》一书,内容有删节,标题为编者所加。

作者简介


朱元国


南京理工大学数学系教授,博士生导师,系主任,清华大学数学科学系博士毕业。曾任中国运筹学会智能计算分会第二届理事会理事长、不确定系统分会第四届理事会副理事长,现为中国运筹学会理事、中国数学会计算数学分会委员、江苏省运筹学会副理事长、江苏省数学会计算数学分会常务理事。任SCI期刊Fuzzy Optimization and Decision Making副主编、SCI期刊Journal of Industrial and Management Optimization编委。享受国务院特殊津贴专家,获评全国师德先进个人和省优秀教师。获中国运筹学会“运筹新人奖”、“钟家庆运筹学奖”和“不确定理论杰出贡献奖”。现主要研究方向为不确定最优控制、不确定优化、不确定系统分析、智能计算。主持多项国家、省自然科学基金课题。在国内外学术期刊及会议上发表110余篇学术论文,在Springer出版专著一部。


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《高等工程数学》
978-7-03-061610-4
朱元国 范金华 张军 等 编

内容简介


《高等工程数学》内容体现经典与现代的紧密结合, 符合高校工科专业对数学的基本需求. 主要内容有距离与范数, 包括向量范数与矩阵范数; 矩阵的标准形与特征值计算, 包括矩阵的Jordan 标准形及特征值的幂迭代法; 矩阵分解与广义逆矩阵, 包括三角分解、满秩分解和奇异值分解; 线性方程组的数值解法, 包括直接解法与迭代解法; 最优化方法, 包括单纯形法、最优性条件、牛顿法、共轭梯度法、罚函数法、组合优化问题的模拟退火算法与遗传算法; 函数逼近与数据拟合, 包括多项式插值、最小二乘法、小波变换; 偏微分方程及其数值解法, 包括定解问题、解析方法、有限差分法、有限元方法; 统计分析, 包括一元及多元线性回归、贝叶斯统计、多元正态分布的参数估计与假设检验.


本书适合作为工科高校研究生教材, 也可作为理科、管理学等学科研究生、教师、相关研究人员的参考书.


本书目录

目录

前言
常用符号
第1章 距离与范数 1
1.1 距离空间、极限与连续性 1 
1.2 距离空间的可分性、完备性与紧性 4 
1.2.1 可数集 4 
1.2.2 距离空间的可分性 6 
1.2.3 距离空间的完备性 6 
1.2.4 距离空间的列紧性 8 
1.3 压缩映射原理 9 
1.4 范数与赋范空间, Banach空间 12 
1.4.1 范数与赋范线性空间 12 
1.4.2 赋范线性空间的性质 12
1.4.3 有限维赋范线性空间 14
1.5 Hilbert空间, 正交系 16 
1.5.1 内积的一般概念 16 
1.5.2 正交系 17 
1.6 向量范数, 矩阵范数及其性质 20 
1.6.1 向量范数 20 
1.6.2 矩阵范数及其性质 22 
1.6.3 向量范数、矩阵范数的相容性 28 
1.7 矩阵的谱半径, 条件数 30 
1.7.1 矩阵的谱半径 30 
1.7.2 矩阵序列及矩阵级数 31 
1.7.3 矩阵的条件数 36 
1.7.4 矩阵的条件数在误差估计中的应用 36 
第1章 习题 39 
第2章 矩阵的标准形与特征值计算 42 
2.1 λ-矩阵及标准形、不变因子和初等因子 42
2.1.1 λ-矩阵的概念 43 
2.1.2 λ-矩阵的Smith标准形、不变因子和行列式因子 44 
2.1.3 初等因子 47 
2.2 Jordan标准形 48
2.2.1 矩阵相似的条件 48 
2.2.2 矩阵的Jordan标准形 48 
2.2.3 Jordan标准形的应用 53
2.3 酉相似标准形 55 
2.3.1 正规矩阵对角化 56 
2.3.2 正定矩阵 59 
2.4 特征值的隔离 61 
2.4.1 盖尔圆定理 61 
2.4.2 特征值的隔离 63 
2.5 特征值的幂迭代法、逆幂迭代法 65 
2.5.1 幂迭代法 65 
2.5.2 幂迭代法的加速 69 
2.5.3 逆幂迭代法 69 
第2章 习题 71 
第3章 矩阵分解与广义逆矩阵 74 
3.1 三角分解、满秩分解和奇异值分解 74 
3.1.1 Doolittle分解 74 
3.1.2 选列主元的Doolittle分解 76 
3.1.3 Cholesky分解 78 
3.1.4 矩阵的QR分解 79 
3.1.5 矩阵的满秩分解 80 
3.1.6 矩阵的奇异值分解 84 
3.2 Penrose方程及其Moore-Penrose逆的计算 86 
3.2.1 Penrose方程 86 
3.2.2 Moore-Penrose逆的计算 87
3.3 Moore-Penrose逆的性质 94 
第3章 习题 98 
第4章 线性方程组数值解法 100 
4.1 线性方程组的直接解法 100 
4.1.1 Gauss消去法 100 
4.1.2 直接三角分解解法 105 
4.2 广义逆矩阵求解矛盾方程组 111 
4.2.1 基本理论结果 112 
4.2.2 列满秩的LS问题 114 
4.2.3 秩亏损的LS问题 116
4.3 线性方程组的迭代解法 117 
4.3.1 迭代法的一般概念 117 
4.3.2 J迭代法和G-S迭代法 120
4.3.3 超松弛迭代方法 125 
4.4 极小化方法 126
4.4.1 与方程组等价的变分问题 126 
4.4.2 最速下降法与共轭梯度法的定义 128 
4.4.3 共轭梯度法的计算公式 130 
4.4.4 共轭梯度法的性质 133 
4.4.5 预处理共轭梯度法 135 
第4章 习题 136 
第5章 最优化方法 139 
5.1 线性规划与单纯形法 139 
5.1.1 线性规划标准形及最优基本可行解 139
5.1.2 单纯形方法原理 140 
5.1.3 单纯形表格法 143 
5.1.4 两阶段法和大M法 146 
5.2 非线性规划的最优性条件 149 
5.2.1 无约束规划问题的最优性条件 149 
5.2.2 带约束规划问题的最优性条件 151
5.3 无约束非线性优化算法 153 
5.3.1 线性搜索 154 
5.3.2 最速下降法 155 
5.3.3 牛顿法 157 
5.3.4 共轭梯度法 161 
5.4 罚函数法 164
5.4.1 外点罚函数法 164
5.4.2 内点罚函数法 168
5.4.3 广义乘子法 170 
5.5 组合优化问题 175 
5.6 模拟退火算法 179 
5.6.1 受热金属物体分子状态分布 179 
5.6.2 基本模拟退火算法 181 
5.6.3 模拟退火算法实现技术 181 
5.7 遗传算法 183 
5.7.1 基本遗传算法 183 
5.7.2 遗传算法实现技术 184 
第5章 习题 188 
第6章 函数逼近与数据拟合 190 
6.1 多项式插值 190 
6.1.1 Lagrange插值 191
6.1.2 差商与Newton插值 192
6.1.3 差分及等距节点的插值公式 195 
6.1.4 Hermite插值 197 
6.2 最小二乘法 200 
6.3 人工神经网络BP算法 202 
6.4 小波变换简介 205 
6.4.1 傅里叶变换与加窗傅里叶变换 206 
6.4.2 连续小波变换 208 
6.4.3 多尺度分析 210 
6.4.4 小波分解与重构算法(Mallat算法) 214 
6.4.5 小波变换的应用 217 
第6章 习题 219 
第7章 偏微分方程及其数值方法 221 
7.1 偏微分方程定解问题 221 
7.1.1 波动方程的定解问题 221 
7.1.2 热传导方程的定解问题 223 
7.1.3 Poisson方程的定解问题 225 
7.1.4 二阶偏微分方程的分类 226 
7.2 偏微分方程的解析解 228 
7.2.1 分离变量法 228 
7.2.2 积分变换法 235 
7.2.3 格林函数法 238 
7.3 偏微分方程求解的有限差分法 242 
7.3.1 椭圆型方程的有限差分法 242 
7.3.2 抛物型方程的有限差分法 249 
7.3.3 双曲型方程的有限差分解法 264 
7.4 偏微分方程的有限元方法 271 
7.4.1 变分方法 271 
7.4.2 偏微分方程的有限元方法 276
第7章 习题 283
第8章 统计分析 285
8.1 一元线性回归 285
8.1.1 一元线性回归模型 285
8.1.2 参数的最小二乘估计 286
8.1.3 线性假设的显著性检验 289
8.1.4 回归系数β1的区间估计 291
8.1.5 因变量的预测 292
8.1.6 可线性化的一元非线性回归 294
8.2 多元线性回归 297
8.2.1 多元线性回归模型 297
8.2.2 参数的最小二乘估计 299
8.2.3 线性假设的显著性检验 301
8.2.4 回归系数ˉj的区间估计 302
8.2.5 因变量的预测 302
8.3 单因素方差分析 303
8.3.1 单因素方差分析模型 303
8.3.2 单因素方差分析的统计分析 304
8.3.3 未知参数的估计 307
8.4 贝叶斯(Bayes)统计分析 308
8.4.1 贝叶斯统计的基本观点 308
8.4.2 先验分布的选取 312
8.4.3 贝叶斯统计中的参数估计 317
8.4.4 贝叶斯统计中的假设检验 319
8.5 多元正态分布的参数估计与假设检验 321
8.5.1 多元正态分布的定义和性质 321
8.5.2 多元正态分布的参数估计 322
8.5.3 多元正态总体参数的假设检验 325
第8章 习题 329
参考文献 331
附表 332
附表1 相关系数临界值表 332
附表2 标准正态分布函数表 333
附表3 t分布上分位点表 334
附表4 x2分布上分位点表 335
附表5 F分布上分位点表 337


(本期编辑:王芳)


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