“十三五”时期是我国全面建成小康社会的关键时期和建设创新型国家的决定性阶段，为科学谋划科学基金的发展，国家自然科学基金委员会于 2014 年 5 月启动了“十三五”规划战略研究工作，这对繁荣基础研究，提升我国原始创新能力和服务创新驱动发展具有重要的战略意义。

按照国家自然科学基金委员会战略研究工作方案的部署和要求，数学物理科学部进一步细化了数学物理科学“十三五”规划战略研究，开展了数学物理科学所含数学、力学、天文学和物理学四个学科的“十三五”规划战略研究工作。

本期小编遴选了“十三五”数学学科发展目标和可能取得突破的领域，与读者分享。

总体上讲，数学在下一个 5 年计划中还会保持一个高速发展的态势。对于我们国家来讲，下一个阶段数学发展的目标是：在数学的基础理论方面，扶植一些以年轻人为主的研究团队，争取产生若干在国际上有重大影响的成果，培养和造就一些具有竞争菲尔兹奖（Fields Medal）实力的青年数学家；在数学的实际应用方面，继续鼓励数学家关心实际问题，取得支撑解决国家重大战略需求的重大成果，培养一批具有交叉学科背景和核心攻关能力的研究团队。在国际上若干前沿领域形成开创性和引领性的方向，在承担和解决国家重大急需的问题方面做出重要贡献，促进中国由数学大国向数学强国的快速转变。

展望未来几年，可能取得重大突破的领域和方向包括：

朗兰兹纲领（Langlands program）研究

朗兰兹纲领（Langlands program）是当今数学领域非常活跃的研究方向，它联系了 3 种来源各异的数学对象：伽罗瓦（Galois）表示（算术对象）, 自守表示（分析对象）和代数簇的各种上同调理论（几何对象），使得相应的 3 种不变量［阿廷（Artin）L 函数、自守 L 函数、Hasse-Weil L 函数］相匹配。这3 大领域的结合为数论问题提供了有力的杠杆，Wiles、泰勒（Taylor）等证明的谷山 - 志村猜想便是一个范例。

朗兰兹纲领（Langlands program）的核心问题是函子性猜想，蕴含了很多著名的猜想，如阿廷（Artin）猜想、拉马努金（Ramanujan）猜想、佐藤 - 塔特（Misaki-Tate）猜想等。

迹公式是研究朗兰兹纲领（Langlands program）的一个重要工具。研究朗兰兹纲领（Langlands program）的团队需要数论、代数群、李群表示论和代数几何专长的研究人员。

近年来国内一批青年学者在朗兰兹纲领（Langlands program）相关问题上开展研究，呈现出了良好势头。在包括椭圆曲线、模形式、自守表示、伽罗瓦（Galois）群的表示、自守表示、迹公式、李群表示、平展上同调、模空间理论、向量丛理论、代数群及其表示等相关方向开展深入研究，已取得突出成果。代表成果包括：关于高阶 Rankin-Selberg L- 函数特殊值非零假、 Theta对应中的两个基本问题（Howe 重数保守猜想和 Kudla-Rallis 守恒律猜想）、有关 L- 函数的重数一猜想等多个重要问题的完全解决；关于 R- 群与朗兰兹（Langlands）对应的 Arthur 猜想和亚辛群迹公式椭圆项的稳定化突破等。

核心问题主要包括：BSD 猜想及相关问题，几何 p-adic 伽罗瓦（Galois）表示的 Fontaine-Mazur 猜想，为复叠群建立不变迹公式，为非阿基米德局部域上复叠群的调和分析奠定基础，研究亚辛群的稳定迹公式（包括基本引理的相应推广等），代数叠的平展上同调及其在几何表示论和朗兰兹纲领（Langlands program）中的应用，志村（Shimura）簇的上同调，素数分布，特征 p 上的代数群的不可约特征标问题，简约群的表示和它们的扭结 Jacquet 模的关系，利用局部 Zeta 函数的极点构造奇异的李群表示等。

几何分析、辛几何与数学物理

在几何分析、辛几何与数学物理等方向，经过长期的积累和发展，我国已形成若干有相当实力的科研团队，取得了一批具有国际影响的重要研究成果，在国际上占有一席之地。

几何分析方向的代表性成果包括：费诺（Fano）流形情形下 Yau-Tian-Donaldson 猜想的证明；凯勒 - 里奇（Kahler-Ricci）孤立子唯一性问题的解决；第一陈类为正定的环流形上凯勒 - 里奇（Kaehler-Ricci）孤立子存在性问题的解决；Brown-York 质量正定性的证明；带极点渐近双曲流形刚性定理的证明；广义相对论中描述孤立重力系统的类空时间截面中稳定叶状结构唯一性的证明等。

辛几何与数学物理方向的研究集中在格罗莫夫 -威腾（Gromov-Witten）不变量理论和量子奇点理论上，代表性成果包括：半正辛流形上量子上同调和格罗莫夫 - 威腾（Gromov-Witten ）不变量严格数学定义的建立以及量子上同调结合律的证明；紧致辛流形上辛几何和代数几何框架中格罗莫夫 - 威腾（Gromov-Witten）不变量的稳定映射模空间上实质基本类（virtual fundamental class）的构造以及辛几何框架中实质基本类的另外构造；哈密尔顿型格罗莫夫 - 威腾（Gromov-Witten）理论中辛涡度方程解模空间紧性的证明；物理中 Landau-Ginzburg 模型 A 理论这一量子奇点理论的数学基础的建立和 DE 情形下广义威腾（Witten）猜想的证明；0 亏格的 LG/CYcorrespondence 的证明；所有紧致辛流形上 0 亏格的 Virasoro 猜想与半单条件下亏格为 2 的 Virasoro 猜想以及一些格罗莫夫 - 威腾（Gromov-Witten）不变量的普适方程的证明等。

未来若干年可能取得进一步重大突破的核心与主要问题包括：几何分析方向的凯勒（Kahler）几何中典则度量的问题、广义相对论中与质量相关的几何问题、曲率流的存在性问题以及 BV 空间中若干与几何问题有密切关系的变分问题等；辛几何与数学物理中格罗莫夫 - 威腾（Gromov-Witten）不变量理论和量子奇点理论方面的哈密尔顿型格罗莫夫 - 威腾（Gromov-Witten）不变量的构造以及公理体系的证明和有关 GLSM 方面的问题、用微分几何工具构造高亏格的 Landau-Ginzburg 模型 B 理论的问题、非半单情形下 Virasoro 猜想和寻找更多普适方程的问题以及高亏格 LG/CY correspondence 问题等。

代数几何研究

在代数几何方向，我国已形成一支以青年学者为主体、具有国际影响力的研究队伍。代表性成果包括：解决了对数典范偶的上升链猜想、一般型对数典范偶的有界性猜想、费诺（Fano）簇退化的田刚猜想等；在 L 2 延拓最佳常数的问题研究中取得突破性进展，解决了任意开黎曼（Riemann）面上的 Suita猜想等。在已有的研究工作基础上，该研究队伍将继续在代数几何尤其是高维双有理几何中挑战一系列困难问题，包括 Abundance 猜想、费诺（Fano）簇有界性的 ACC 猜想等重大问题，有望在这些重要问题、霍奇（Hodge）理论和曲面的几何等领域取得进一步的突破。

随机分析研究

我国在随机分析方向已形成若干有雄厚研究实力的科研团队，取得了一批有重要国际影响的研究成果。

代表性成果包括：倒向随机微分方程一般理论和基于倒向随机微分方程理论的具有动态相容性的新期望即 g-期望的建立；非线性期望一般理论体系和一种新的非线性金融风险度量工具 G-期望的提出以及 G-期望下随机积分理论的建立和其在金融风险度量与随机控制中的应用；拟正则狄氏型这一新数学框架以及狄氏型与马氏过程的一一对应关系的建立；非对称狄氏型和半狄氏型的 Beurling-Deny 公式的证明；局部鞅分解定理的证明和 L 1  可积随机变量凸集的刻画；紧致黎曼（Riemann）流形上谱隙新变分公式的建立和马氏过程收敛速度估计的泛函不等式刻画；扩散过程的哈纳克（Harnack）不等式和弱庞加莱（Poincaré）不等式等泛函不等式的证明；环路空间上加权一阶索伯列夫（Sobolev）空间的庞加莱（Poincaré）不等式与带位势项的 Log-Sobolev 不等式以及维纳（Wiener）空间上的薛定谔（Schrödinger）算子和对称扩散算子谱隙比较定理的证明；斜卷积半群的提出以及测度值移民过程公理化定义形式和 Fleming-Viot 超过程可逆性充分必要条件的建立；随机伊辛（Ising）模型亚稳态性的刻画以及渗流模型无穷连通分支上随机游动的新相变现象的发现；时变 Witten Laplace 算子热方程的 W- 熵单调性和玻尔兹曼（Boltzmann）熵沿 Wasserstein 空间测地线凸性的证明；随机 Burgers 方程和二维随机纳维 - 斯托克斯（Navier-Stokes）方程解的存在性、唯一性以及解不变测度的存在性和遍历性的证明；所有 Bell 对角态的量子失协（quantumdiscord）的解析公式的建立以及测量诱导的扰动和测量诱导的非局域性等关联度量的引进等。在与国际同行开展广泛交流与合作的基础上，他们有望在非线性期望理论以及物理、力学、金融与控制论中的重要理论与现象的随机分析研究方面取得进一步突破。

哈密顿（Hamilton）动力系统

哈密顿（Hamilton）动力系统与天体力学密切相关，有许多引人注目的著名问题。我国在这一研究领域具有深厚的基础和实力雄厚的研究队伍。近年来，他们在三体等边三角形椭圆轨道解的稳定性以及预双曲系统阿诺德（Arnold）扩散问题的研究上均取得了一系列突破。他们将继续深入研究哈密顿（Hamilton）系统的整体适定性、正则性与稳定性等问题，有望在哈密顿（Hamilton）系统周期轨道多重性与稳定性问题以及 3 个自由度乃至任意自由度近可积系统的阿诺德（Arnold）扩散问题等方面的研究上取得进一步突破。

本文摘编自国家自然科学基金委员会数学物理科学部编《国家自然科学基金数理科学“十三五”规划战略研究报告》（责编：侯俊琳 朱萍萍 郭学雯）前言及第3章，内容有删减。

国家自然科学基金数理科学“十三五”规划战略研究报告

国家自然科学基金委员会数学物理科学部  编

北京：科学出版社，2016.12

ISBN 978-7-03-051491-2

“十三五”时期是我国全面建成小康社会的关键时期和建设创新型国家的决定性阶段，为科学谋划科学基金的发展，国家自然科学基金委员会于 2014 年 5 月启动了“十三五”规划战略研究工作，这对繁荣基础研究，提升我国原始创新能力和服务创新驱动发展具有重要的战略意义。按照国家自然科学基金委员会战略研究工作方案的部署和要求，数学物理科学部进一步细化了数学物理科学“十三五”规划战略研究，开展了数学物理科学所含数学、力学、天文学和物理学四个学科的“十三五”规划战略研究工作。“十三五”规划战略研究内容包括：学科发展战略、学科优先发展领域、数理科学内部学科交叉优先领域、与其他科学交叉优先领域、实现“十三五”发展战略的政策措施等。

（本期编辑：安静）

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