跟李小文老师聊聊这五年的进展

耿修瑞

不知不觉，您已经离开我们整整五年了。记得您走后不久的某天，忘记了因为哪件事的触发，微信群里的各位同门又一次陷入了对您的怀念之中。我说了一句：要不，我们各自努力，五年后向老师汇报我们的成果吧！或许别的师兄弟没有注意到这句话，但我今天如约而至。闲话少絮，接下来，直接给您汇报一下近五年我在学术上几个比较重要的进展。

1.    提出了一种特征提取新方法^[1]

这个工作是我以前提出的主偏度分析的一个发展。主偏度分析由于采用了正交补投影算子使得最终得到的主偏度成分必然是正交的。而与协方差矩阵的特征向量不同，协偏度张量的各个特征向量之间一般情况是天然不正交的。我们的新方法呢，就是一定程度缓解了这个矛盾。新方法的核心贡献就在于发现并证明了一个基本事实，即一个张量与自己的n（n>2）次克罗内克积张成的空间的补空间总是包含这个张量的正交补算子的n次克罗内克积张成的空间。这句话有点绕，通俗的说就是我们可以在一个更大的空间搜索新的特征方向。这样一来，我们就可以得到一组超对称张量的非正交特征解，这个解本身更逼近真实值，同时也会带来应用效果的提升。遗憾的是，根据这个思路目前仍然不能得到精确解。我猜想，正如对称矩阵的特征解和超椭球直接相关，那么超对称张量的精确解背后一定是否也隐藏着一个极大的几何秘密呢？

2.    开辟了一个目标检测新方向^[2]

这个工作呢，是我在看微分流形方面书籍的时候突然想到的一个方法。我们都知道，目标检测一直是高（多）光谱遥感领域里面一个重要的研究方向，而其中最经典的几个算子都是线性滤波器。但是呢，这些方法都是针对单时相的遥感数据设计的，对多时相多光谱数据一般不能直接使用。某一天我在翻一本微分流形方面的书籍，当看到重线性函数（Multilinear function）章节的时候，突然想到，这不正是处理多时相多光谱数据的天然工具么！因为单时相的多光谱数据除了图像特征，只有光谱特征，因此对这种数据的线性滤波只需要我们在光谱空间的对偶空间找到一个合适的元素就可以了。而多时相多光谱数据呢，除了有光谱特征，还有时相特征，此时直接用线性滤波器显然就不合适了。幸运的是，我们可以用一个重线性函数或者一个张量滤波器去处理这种数据。有了这个想法，立马抓学生去实现，实验效果确实也正如所料。李老师，您觉得这算不算开辟了一个小方向呢？

3.    得到了一个目标检测基本方程^[3]

这个工作仍然是在目标检测方向，更确切的说是线性目标检测。说到线性目标检测，其实就是寻找一个方向，使得目标和背景在这个方向具有最大的区分度。用什么来衡量这个区分度呢，最常用的就是能量准则和似然比准则。而最经典的基于能量标准的线性目标检测算法当然就是能量约束最小化（CEM）了。按理说，这么经典的、成熟的方向应该没什么可做的了。但是，我们发现，当坐标原点改变的时候，CEM的结果会随之改变。这显然没有道理嘛，因为目标和背景的分布是客观的、物理的，肯定跟原点的选择这个数学量没有关系嘛。而CEM的结果随原点的改变而改变，这充分说明这个方法有问题啊。于是呢，我们就在能量标准下把原点位置作为一个变量引入目标检测领域，经过一番推导，导出了一个美的令人窒息的方程，即：要想得到最优的目标检测效果，以下这四个目标检测中最关键的量要满足一个线性方程：目标光谱、均值向量、原点位置和协方差矩阵。李老师，请允许我放肆的问您一下，这个方程是不是可以称作高（多）光谱目标检测界的欧拉方程呢？

4.    引入了一个图像匹配新工具^[4]

这个工作是在图像匹配领域。追溯起来，这个工作其实还与您有关。记得您当时还在遥感所任所长，有一次您让我帮着看一个实验室开放基金的本子。那个本子的内容印象中好像是用硬件实现分数阶导数光谱。说实在话，当时没怎么看懂，但是这确实也引发了我进一步思考，能不能用数学手段实现光谱的任意分数阶导数呢？后来，我还真找到了一个数值方法。如果用差分表示微分的话，那么我们就可以构造一个矩阵，使得一个光谱向量的差分正好就是这个矩阵和这个光谱向量的乘积。那么这个矩阵的任意次幂和这个光谱向量乘积是否就对应着这个光谱的任意分数阶导数呢？ 我迫不及待的做了实验，结果正如所料。虽然现在觉得没有什么，但是当时着实高兴了一阵子。后来呢，这个思想同样用到了图像匹配领域。我们知道，图像的在任意方向的整像元平移可以用图像左右乘两个相应阶数的循环移位矩阵的整数次方来近似模拟。那么如果把上面循环移位矩阵的整数次方改成分数次方，是否可以表示图像在任意方向任意精度的亚像元平移呢？结果又一次不出所料！这样，我们首次将循环移位矩阵引入图像匹配领域并经过一系列推导最终得到了图像任意亚像元平移的解析解。不仅如此，由于循环矩阵的所有次幂的矩阵的集合正好构成一个单参数子群，这也直接引导我进入李群、李代数的理论和应用研究。在这个过程中不断参悟一些新的道理，感叹自然的神奇，个人的渺小。

5.    发现了一个聚类新机制^[5]

第五个工作最简单，但也是我最喜欢的一个工作。我个人把学术研究按照研究深度和重要性分为四种类型：浅水小钱包、浅水大钱包、深海小钱包和深海大钱包。其中浅水大钱包最为难得。因为浅水的钱包最容易捡，但基本都被先人捡光了。而这个工作呢，我就大言不惭的把它定义为浅水大钱包。简单地说，我们发现了一个聚类新机制。在这个工作中，我们首先把无向连通图中的节点的路径数（可以由邻接矩阵中的元素表达）的概念推广到相似度矩阵，提出了连通度的概念。基于这个概念，我们立刻可以给出聚类中心的新定义，即一个节点到本身的连通度如果都大于这个点到别的点的连通度，那么这个点就可以认为是一个聚类中心。这个聚类中心的定义太奇妙了，因为我们都知道，聚类分析中聚类数目一般都需要人工指定，而有了这个新定义之后，类别数变成了数据在各个尺度下确定的固有属性。至此，聚类中心和聚类数目我们都自动的得到了，那么如何确定余下的点的类别归属呢？我们自然而然的又引入了相对连通度的概念，这本质上相当于我们又提出了一种全新的相似度度量准则。基于这个聚类新机制，在相似度矩阵给定的情况下， 类别数、聚类中心和相应的聚类结果都是确定的，不存在局部极值问题。聚类过程仅仅用到相似度矩阵的幂的运算，非常易于编程实现。可以说，这个工作给我带来心情上持久的愉悦。我想，您也该也会享受这个工作，并且会笑眯眯对之表示肯定吧。

李老师，记得你刚刚上科学网不久，曾经发表一个感慨，大意是您在科学网上遇到的青年才俊比您过去现实生活中遇到的总和还要多。作为您现实中的学生，我非常赞同您的这个说法。科学网上藏龙卧虎，我确实也见识了不少招式各异的高手。但我更愿把您的这个说法当做对我们师兄弟的一种鞭策，它激励着我们一直向前、永不懈怠。

1. https://www.researchgate.net/publication/334644262_NPSA_Nonorthogonal_Principal_Skewness_Analysis

2. https://www.researchgate.net/publication/332789355_Filter_tensor_analysis_A_tool_for_multi-temporal_remote_sensing_target_detection

3. https://www.researchgate.net/publication/320413255_The_basic_equation_for_target_detection_in_remote_sensing

4. https://www.researchgate.net/publication/334490024_Cyclic_Shift_Matrix--A_New_Tool_for_the_Translation_Matching_Problem

5. https://www.researchgate.net/publication/336134673_Clustering_by_connection_center_evolution