极大似然估计和贝叶斯估计分别代表了频率派和贝叶斯派的观点。频率派认为，参数是客观存在的，只是未知而矣。因此，频率派最关心极大似然函数，只要参数求出来了，给定自变量X，Y也就固定了，极大似然估计如下所示:

$\theta _{MLE} = argmax_{\theta }p(D|\theta)$

D表示训练数据集， $\theta " style="text-align:center;$ 是模型参数

相反的，贝叶斯派认为参数也是随机的，和一般随机变量没有本质区别，正是因为参数不能固定，当给定一个输入x后，我们不能用一个确定的y表示输出结果，必须用一个概率的方式表达出来，所以贝叶斯学派的预测值是一个期望值，如下所示：

$E[y|x,D] = \int p(y|x,\theta)p(\theta |D)d\theta$

其中x表示输入，y表示输出，D表示训练数据集， $\theta$ 是模型参数

  该公式称为全贝叶斯预测。现在的问题是如何求 $p(\theta |D)$ （后验概率），根据贝叶斯公式我们有：

$p(\theta|D) = \frac{p(D|\theta )p(\theta )}{p(D)} = \frac{p(D|\theta )p(\theta )}{\int p(D|\theta )p(\theta )d\theta }$

  可惜的是，上面的后验概率通常是很难计算的，因为要对所有的参数进行积分，不能找到一个典型的闭合解（解析解）。在这种情况下，我们采用了一种近似的方法求后验概率，这就是最大后验概率。

$\theta _{MAP} = argmax_{\theta }p(D|\theta )p(\theta )$

  最大后验概率和极大似然估计很像，只是多了一项先验分布，它体现了贝叶斯认为参数也是随机变量的观点，在实际运算中通常通过超参数给出先验分布。

  从以上可以看出，一方面，极大似然估计和最大后验概率都是参数的点估计。在频率学派中，参数固定了，预测值也就固定了。最大后验概率是贝叶斯学派的一种近似手段，因为完全贝叶斯估计不一定可行。另一方面，最大后验概率可以看作是对先验和MLE的一种折衷，如果数据量足够大，最大后验概率和最大似然估计趋向于一致，如果数据为0,最大后验仅由先验决定。

参考资料：

 [1] Machine learning: a probabilistic perspective 第三章

 [2]Andrew Ng讲义，Regularization and model selection

    http://v.163.com/special/opencourse/machinelearning.html