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靓图隐藏的傅里叶 精选

已有 4580 次阅读 2018-3-21 07:43 |系统分类:科普集锦

 Fourier2.jpg

   傅里叶是谁?如果你是理工科学生,没有听说过傅里叶,嘿嘿!那你高数肯定逃课了;如果你是文科生,没有听说过傅里叶,哼哼!那么你的社会主义发展史肯定逃课了。当然这两个傅里叶不是一个人!理工科熟悉的约瑟夫·傅里叶(Joseph Fourier,就是高等数学里面那个傅里叶级数的傅里叶。社会主义发展史中那个傅里叶叫夏尔·傅立叶(Charles Fourier)

        KFC熟悉的当然是约瑟夫·傅里叶,今天是他诞辰250周年纪念日(1768321日生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭),所以写点东西纪念一下先贤(我本人是靠傅里叶变换混饭吃的)


一、傅里叶级数(变换)的起源

   大家学高数时,对傅里叶级数这一章内容有种莫名的距离感,因为全是冗长的三角函数级数和。然而,对现代人,你接个电话,听个小曲,看张照片,赏段视频等等,这中间都有傅里叶的贡献在里面,所以本文的标题用了个噱头标题《靓图隐藏的傅里叶》。

   傅里叶在物理上的贡献是对热传播的研究,热传播是偏微分方程。为了求解这个方程,傅里叶把任一函数都展成三角函数的无穷级数,这就是傅里叶级数。当他在1807年把写成《热的传播》提交给巴黎科学院时,立即遭到拉格朗日、拉普拉斯和勒让德等人的拒绝。 想想也是,三角函数都是连续,他们相加起来肯定是连续的。但是《热的传播》偏偏把很多不连续函数做三角函数展开了!是可忍,孰不可忍!?

   下图是为了理解上述的“不可忍”。最前面用黄色填充的矩形波上有间断点,也就是不连续的点。沿着求和项数就是展开的三角函数,每个三角函数都是光滑连续的。连续的三角函数加起来怎么能不连续呢?现在我们当然知道,无穷多求和与有限项求和性质是不同的:三角函数的无穷项极限和确实能趋近不连续函数。然而在1807年那个年代,极限的严格定义还没有呢(用“ε-N”语言定义极限的创造者魏尔施特拉斯1815才刚出生),何谈和极限的严格性质。

傅里叶级数.jpg

图1


  虽然傅里叶级数是研究热传播物理问题的工具,但却是傅里叶级数,让傅里叶名扬天下,虽然他的热传播理论也是对人类知识的巨大贡献。

      沿着傅里叶级数这条线,以傅里叶命名的术语有:傅里叶分析(Fourier analysis), 傅里叶变换(Fourier transform),傅里叶变换光谱学(Fouriertransform spectroscopy)等等。傅里叶级数用于分析周期函数,傅里叶变换用于分析非周期函数。

 

二、傅里叶级数(变换)的应用

   除了用来解偏微分方程外,傅里叶级数在现代科学中有大量的应用,包括你每天要看JPG图。来看下面的图形,左边的(a)图乱糟糟,你找不到什么感觉。可如果你知道这只是由三个正弦波组成的,你是否有眼前一亮的感觉?傅里叶分析就是用来确定正弦波参数的。

傅里叶分析.jpg

图2


   在高数中,数学函数都是已知的,所以求正弦系数要积分。可是我们听的电话声波并没有解析函数呀。其实电话声音在手机(或计算机)里面并不是连续记录的函数(连续记录可是无限多呀,计算机可是有限的,处理不了的),而是每过一定时间间隔记录一个数,两个记录之间假设为某个函数(一般是光滑的且没有起伏的假想函数)

   对上述离散的数据点,找到对应正弦曲线参数叫做离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform: DFT)。从数学角度,变换前后的两组信息是等价的,变换前要存多少个数,变换后还要存多少个数,一个不多一个不少。但这是从数学角度,然而从感知生理学角度,人的感官对细小的跳跃不敏感,也就是声音曲线上面局部的小跳跃对我们的耳朵没什么影响,而这些细小的跳跃表现为高阶的正弦波(1中求和项箭头所指方向),因此计算机存储时,可以丢掉高阶的正弦波,而只保留为数不多的低阶正弦波参数,这样就大大节约了计算机的存储量。

   图片是二维的,如同一维曲线,也可以用上述思想,这就是JPG格式的基本原理。当然实际操作有诸多细节,比如图片肯定是实数(傅里叶变换可以对复数操作)。利用实数的特殊性,傅里叶变换可退化成余弦变换(只用余弦函数展开)。为了加速计算,对傅里叶变换有快速离散傅里叶变换,对余弦变换,则有快算余弦变换(快速与不快速相比,速度能差几百倍:具体倍数与变换长短有关)。为了克服傅里叶变换的弱点,科学家又发明了小波变换和脊波变换等等。

   傅里叶变换的有趣故事一大推,以后慢慢聊。因为要赶他的诞辰日,暂写这么多。


HoriIcon.GIF




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