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今天纪念惠斯通--公式不烦恼的案例 精选

已有 1946 次阅读 2018-2-6 09:49 |系统分类:教学心得

  作者以前的博文多是图形不烦恼,这篇推文来谈谈“公式”也不烦恼。也以此文纪念今天26日出生的大科学家惠斯通。

   惠斯通的英文是CharlesWheatstone,他于180226日出生于英格兰。他是维多利亚时代的物理学家,也是大发明家,比如立视镜、Playfair密码等,他对电报发明和应用也贡献颇巨。曾当选英国皇家学会会员、法国科学院外国院士、法国巴黎科学院外藉会员,被封为爵士。

   在力学方面,他研究过声学和振动,用管子演示过驻波(气柱主振动),发明了万声筒,后者能够直观地演示不同振动模式产生的错综复杂的振动曲线特征(有点类似于利萨茹图形)

   对力学人来说,最熟悉的莫过于惠特斯电桥(虽然它最初是由克里斯蒂在1833年发明),我们要用它来测量应变。

       电桥在中学物理竞赛中经常出现。在这个阶段自然无法找到系统的一般解法,只能考虑一些特殊的情形,比如两臂电阻成比例(这样R5两端电位相等,从而R1和R2串联,R3和R4串联,两个串联后再并联), 或者R5等于零(这样R1和R3并联,R2和R4并联,两个并联后再串联),某些“竞赛宝典”就引入了一些故弄玄虚的叫法,搞得物理方法神秘莫测的。

       我们应尽可能寻找一统天下之法(很多情况下不可能,但除非能证明确实没有,正常科学家都会追求通用大法),而不是津津乐道于某些特殊题型的屠龙之技(特别是将来科学研究也不需要的“绝技”)。

       电桥的5个电阻既非串联,也非并联,但此类电路非常普遍,存不存普遍的方法呢?使用Mathematica, 就可以有!

       设想在电路a和b端口间有电压U,各支路电流和电阻的电压如下图所示,

       由元件性质知道,等效电阻按计算,各独立电阻满足

   (1)

由基尔霍夫电流定律有

  (2)

注意最右边的结点关系不是独立的(可从式(2)的3个等式得到)。

       由基尔霍夫电压定律    

    (3)

同样从再到的通路得到的也不是独立的关系。

       将式(1)代入式(3)得到

(4)

式(2)和(4)共有6个方程,选择六个量组成未知向量,则得到如下的线性方程组

(5)

其中系数矩阵和右端向量分别为

手工求解方程组(5), 想想也吓人!然而,然而,然而(三遍),Mathematica提供了LinearSolve专门用于解线性方程组。

在Notebook输入

A={{1,0,1,0,0,-1},{-1,1,0,0,1,0},{0,0,1,-1,1,0},{R1,R2,0,0,0,0},{0,0,R3,R4,0,0},{R1,0,0,R4, R5,0}}; (*系数矩阵A*)

B={{0},{0},{0},{U},{U},{U}};(*右端向量B*)

RV=LinearSolve[A,B];(*解方程*)

Rab=FullSimplify[U/RV[[6]]] (*计算U/I*)

输出结果为

整理成常规数学式为

                                            (6)

这样就算出系统的等效电阻啦!爽不爽!

导出式(6)不是要让学生背住,而是要让学生明白Mathematic的分析过程,理解用来导出的约束方程。

上述Mathematica的每条语句后面都有“(* 文字 *)”,后者是Mathematica的注释语句,可用来提示信息,不会影响它前面的运算逻辑。

Mathematica用“{}”存放列表。矩阵相当于二维列表,所以把各行元素放进一个“{}”后,再逐行放入另一个外层“{}”中。注意右端向量B要当成6×1的矩阵来处理。它的6个元素逐一放入“{}”中,再放入放入外层“{}”中(只有一层“{}”的是行向量,不是列向量)。

RV=LinearSolve[A,B]解方程组,结果也是一个列向量,存放在RV中。最后一句的RV[[6]]取列向量RV的第6个元素。

FullSimplify[expr]对expr进行简化,但简化结果未必是我们喜欢的形式。必要的情况下,还要手工整理一下。

总之有了Mathematica, 再怎么眼花缭乱的公式也不必怕!




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