研学小记：卷积不“卷”（2）

                                                                       邹谋炎

（1）我的前一个博文“卷积不‘卷’”是针对学生的一篇数学科普。希望他们了解，理解卷积有另一种视角，导致不同的计算格式。相信这是一个例子，让学生们懂得，同一件事可以有不同角度的解读，有益于启迪思维。不意该文引起一些讨论，参加讨论的有若干教师。无论是认可、质疑、否定，只要思考过就会有益。本博文希望回答数学或线性系统教师们的质疑，会涉及到稍微深入一点的解说。

（2）叠加积分至少可追溯到19世纪法国数学家Jean-Maria-Constant Duhamel，又称 Duhamel 积分。叠加积分可以处理时变系统（核函数）。对时不变系统，简化为卷积积分，或简称卷积。数学家常常将叠加积分算子称为 Fredholm 算子，形式可表达为Hf = ∫abh(t,τ)f(τ)dτ。这里h(t,τ)被理解为时刻τ的系统函数; 而h(t,τ) f(τ) Δτ被理解为时刻τ的作用强度f(τ) Δτ 被系统函数h(t,τ)在时间尺度t上扩展了（因此h(t,τ)也称为点扩展函数）。可以看出，从本源形式和含义上说，叠加积分和卷不卷没有形式上的关系。Fredholm 算子是泛函分析和积分方程研究的重点。不过真正取得成果的，限于核h(t,τ)是实对称L2核的情况。因为这时，Fredholm 算子才是紧自伴算子，它的谱都是特征值，谱分解的经典方法才可用。如果核h(t,τ)不是实对称，谱分解方法不可用，但从应用角度仍然有许多处理方法。这给数学研究者留下了问题。

（3）叠加积分和卷不卷没有关系，意味着“卷摺”对卷积在数学上并没有特别重要的含义，只是对数学公式的一种解读。事实上对时不变系统，叠加积分才变成卷积积分或卷积。而这一特定情况是很物理或工程化的。在这些应用领域，人们更关心卷积和反卷积如何计算处理。既然有直观好懂的处理方法，有人不进行检验就提出否定，这就让人不懂。

（4）“不卷”是经典概念，不是创新。而当“卷”成为传统和思维定势时，贸然提出“不卷”会引起质疑也属合理。对此，我的一些经历也很有意思。在80~90年代，天文图像处理方面提出由目标自相关支持域估计目标支持域的题目，在美国光学协会杂志（J.O.S.A）等刊物上成为热题。同时，盲目反卷积也要求估计目标支持域。我发现，虽然分配函数论中系统地研究了卷积的支持域计算问题，由于表达不直观，许多研究者仍然难以将两个卷积因子的支持域和卷积结果的支持域直接联系起来。（前一篇博文后的计算例子，你不妨试试！）。当我将不卷的计算方法解说给R.Unbehauen教授时，他开始是诧异，然后说：看来一些基础和经典概念不用也会给忘记的。利用这个概念，我们提出了卷积支持域的可嵌入性理论，即两个卷积因子的支持域一定可嵌入到卷积结果的支持域，而移动任何一个因子可以完全覆盖结果的支持域。据此发展了支持域估计算法。二维“不卷”的算法正式在论文中被介绍，该文顺利发表于J. Opt. Soc. Am. A. , vol.13, no.2, 243-252, 1996。两点可以提到：（1）此后至今，还没有人报告更“紧”的支持域估计算法；（2）将代数几何中Eisenstein关于强制不可约性的经典结果大大扩展，并提供了继续研究的思路。给我的感觉是，国外的研究者容易承认事实，而国内却不是。这是悲剧。

（5）“不卷”的一维算法完全不是新的，在80年代就出现了数字卷积器。相信不卷的算法被更多人了解后，会给物理和工程应用方面带来直观。作为教师，有责任启迪学生多样性的思维。还是那句话：学习理论时不要受传统和思维定势的束缚。