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研学小记： 卷积不“卷”
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研学小记： 卷积不“卷”
邹谋炎
卷积是由两个函数h(t)和f(t) 产生出第三个函数g(t) 的一种运算，按以下公式实施：
∫-∞ ∞h(t-τ )f(τ)dτ = g(t)
对卷积运算的历史源头缺乏考证。至少从1903年起，德国数学文献中就有Faltung和convolution这些称呼，其中含有“卷摺”的含义。也许从那个时候起，老师们就这样教导学生做卷积运算：为了计算每个时间点 的卷积结果，需将h(τ)翻转为h(-τ)，再平移为h(t-τ)，与f(τ)乘积的结果，求面积。这个解说是没错的，并且因为h(τ)要被翻转，成为“卷积”这个称呼的来源。但问题是，当卷积用于工程时（例如信号处理）这个解释符合物理事实吗？例如，一个线性系统的脉冲响应是h(t), 输入信号是 f(t), 在获得系统输出的过程中，必须要求h(t) 或f(t) 在时间上（或空间上）必须被翻转吗？这显然不是事实！现在的问题出在哪里？
问题出在刚才的解说仅仅是一个数学解说。另一种解说就没有这样的困难：将h(t)平移一个时间量τ成为h(t-τ)，乘在τ处的函数值f(τ)，取遍所有τ，将乘积累积起来，就得到卷积的结果。后一种解释其实是最老的解释：叠加原理。按这种解释，卷积不必“卷”。
不“卷”的理解给卷积计算上带来直观性的方便。以两个有限长序列的有限卷积为例，卷积计算可以和多位数乘法的做法完全类似。
例：h(n) = { 2 5 3}; f(n) = { 3 0 12 4 }。 计算格式可以如下：
h(n): 2 5 3
f(n): 3 0 12 4
-----------------------------------------------------------------------------
6 15 9
0 0 0
24 60 36
+ 8 20 12
---------------------------------------------------------------------------------
g(n): 6 15 33 68 56 12
事实上，不“卷”的计算方法已被用来构造数字化的卷积器。
不“卷”给多维卷积计算和分析带来更多直观的好处。作为例子，下面随便构造了两个几何图形，假定这是两个定义在二维平面上的函数，图形内是1，图形外是0。现在希望计算这两个有限支持上的二维函数的卷积，只要给出卷积结果的支持域就好（这是分配函数论中关心的问题）。这留作问题，有兴趣者，不妨练习一下，把结果放到网上。这个问题保留一个星期。
结论：学习理论时不要受传统和思维定势的束缚。
大话卷积
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