----写在论文《二型模糊集合的一些基本问题》发表之际

    由于二型模糊集合的图形没有很好的直观性，因此，人们很难给出其相应的解析表达式。为了给出并简便写出二型模糊集合的表述式，我们将次隶属函数的所在定义域的取值范围限制在其支集的闭包(closure of support,CoS）上，同时将CoS的表述式写成包含主、次变量x与u笛卡尔积的显式表达式，这样，对于一个给定的二型模糊集合，通过限制其主、次变量的取值范围来确定主隶属度与CoS的表述式,进而确定其对应的次隶属度函数并给出一般二型模糊集合的解析表达式。

   我们的工作主要在以下几个方面：

1）从两个方面给出了二型模糊集合的新定义，由新定义，二型模糊集合的表述式主要给出次隶属度大于0的部分，以简化二型模糊集合的表述，即次隶属函数的定义域为CoS，就是说，除了在CoS的边界，次隶属度可能为0；

2）提出了二型模糊集合的次隶属函数的支集的闭包 CoS取代不确定覆盖域（footprint of uncertainty,  FOU，或 domain of uncertainty, DOU)，这样读者无需区分DOU与FOU，当主隶属度连通时，区间二型模糊集合可以由CoS的上下边界唯一确定；

3）定义了单位模糊集合(论域为单位区间[0,1]或其闭子集的一型模糊集合)，嵌入单位模糊集合，分析单位模糊集合支集的闭包与对应的主隶属度之间的关系，从而由单位模糊的隶属函数来确定二型模糊集合的隶属函数；

4）将CoS又可以表述为论域上一点与该点的主隶属的笛卡尔积之并，对应公式写为

                            $CoS(\omega )=\bigcup _{x\in {X}}x\times L_{x}$

将CoS写为两个变量x与u的显式表达式，对于一个具体的二型模糊集合，有助于写出其表达式。

5）定义次隶属支集的闭包CoS 与主隶属度Lx均为闭集。由支集的定义，单位模糊集合的支集是单位区间的一个开集，有多种表述形式，对支集取闭包可以使表述简单，尤其是当主隶属为一个闭子区间时，无需做各种讨论，从而可以方便写出一个具体二型模糊集合的表述式；

6）对二型模糊集合及其主隶属度、CoS分别进行分类，并给出相应的表述式，采用CoS划分法表述区间二型模糊集合，采用CoS二次划分法表述单连通一般二型模糊集合、采用CoS三次划分法表述多连通二型模糊集合；（Mendel在文Type-2 fuzzy sets andsystems: a retrospective  (Informatik Spektrum, 38(6):523-532, 2015) 提到论域划分法，对表述一型模糊集合、区间二型模糊集合适用，但是对于一般二型模糊集合不可行，我们提出的CoS二次、三次划分法合适，因为区间二型模糊集合作为一般二型模糊集合的特殊形式，所以可以采用CoS划分法来表述区间二型模糊集合。

关于二型模糊集合的应用，读者可以参考即将出版的学术专著《二型模糊集合与逻辑》（王飞跃、莫红、赵亮、李润梅著，北京：清华大学出版社，2017），对二型模糊集合在智能交通、Mealey自动机、管理评估等方面的应用进行了全面的介绍，欢迎大家多指导！

本博文不当之处，敬请大家批评指正！

参考文献：

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