---写在《二型模糊集合的一些基本问题》发表之际

在论文《一一映射下区间二型模糊集合下的语言动力学轨迹》（《模式识别与人工智能》，23(2):144-147,2010.）之后，经常收到读者邮件，问：区间二型模糊集合的表述式是如何给出来的？在和研究生讨论时，也总提及这个问题。很能理解读者及学生们的心情，对于一个给定的一型模糊集合，人们能直接、方便地给出其表述式及对应的图形，但是，一个一般的二型模糊集合到底是一个什么形状，我们能给出类似于一型模糊集合的表述式吗？

在意识到这个问题的重要性之后，我们重新对Mendel的论文进行梳理,发现在二型模糊集合的相关论文中，除了离散二型模糊集合外，再无其他一般二型模糊集合的表述式及对应的图形，也没有主隶属及FOU的表述式。且二型模糊集合的研究集中于区间型，其通常的做法是将对区间二型模糊集合的研究转化为对应FOU的上下边界(即两个一型模糊集合)的研究，所以从一定程度上来说，现有二型模糊集合的工作主要归功于相对较为成熟的一型模糊集合理论。

二型模糊集合的相关定义如下,见[On clarifying some definitions and notations used for type-2  fuzzy  sets  as  well  as some recommended changes, Information Sciences, 340-341:337-345, 2017.]：

Definition 1:A T2 FS denoted ω is characterized by a type-2 membership function $\mu _{\omega }(x,u)$ , where $x\in {X}$ and $\forall {u}\in {J_{x}}\sqsubseteq {[0,1]}$ , i.e.,

                  $\omega =\left \{ \left ( \left ( x,u \right ),\mu _{\omega }\left ( x,u \right ) \right )\mid \forall x\in X,\forall u\in J_{x} \sqsubseteq[0,1] \right \}$                    (1)

in which $0\leq \mu _{\omega }\left ( x,u \right )\leq 1" style="font-family:楷体;$ , $\omega " style="font-family:楷体;$ can also be expressed as

                    $\omega =\int _{x\in X}\int_{u\in J_{x}} \mu_{\omega } \left ( x,u \right )/\left ( x,u \right ),J_{x}\subseteq [0,1]$                         (2)

where $\int \int " style="font-family:楷体;$ denotes the union over all admisible $x" style="font-family:楷体;$ and $u" style="font-family:楷体;$ .

Definition 2：The domain of a secondary MF is called the primary membership of $x$ . In Eqs.(1) and (2), $J_{x}$ is the primary membership of $x$ , where $J_{x}\subseteq [0,1]$ for $\forall x\in X$ .

Definition 3: Uncertainty in the primary membership of a T2 FS, $\omega$ consists of a bounded region that we call the footprint of uncertainty (FOU). It is the union of all primary membership, i.e.,

$FOU\left ( \omega \right )=\bigcup _{x\in X}J_{x}$

FOU对应的图形如下：

   由定义2，3知， $J_{x}\subseteq [0,1]" style="font-family:楷体, 楷体_gb2312, simkai;text-indent:32px;$ ,又

$FOU=\bigcup _{x\in X}J_{x}" width="105" height="38" border="0" hspace="0" vspace="0" style="text-align:center;width:105px;height:38px;$                

则 $FOU\sqsubseteq [0,1]" style="font-family:楷体, 楷体_gb2312, simkai;text-indent:32px;$

    很明显，这与图1图形不一致。类似地， $J_{x}\subseteq [0,1]$ 也与图1中的 $J_{1},\cdots ,J_{5}$ 不符，因为图1中，

                                    $J_{x}=x\times [0,0.8],x=1,2,4,5$

                                          $J_{3}=3\times [0.6,0.8]$

且

                                    $J_{1},\cdots ,J_{5}\subseteq \bigcup _{x\in X}x\times I$

这里，“ $\times$ ”表示笛卡尔积。

   由图1可见，二型模糊集合的次隶属函数定义在FOU上。换句话说，要给出一个二型模糊集合的表述式，就需要先限定FOU所含变量 $x,u" style="text-indent:32px;font-family:楷体;$ 的取值范围,而 $u" style="text-indent:32px;font-family:楷体;$ 的取值又随 $x" style="text-indent:32px;font-family:楷体;$ 的变化而变化。

因为Mendel在其系列论文中将主隶属定义为单位区间[0,1]的子集，Mendel又将FOU表示为对应的主隶属之并，因为主隶属为单位区间的子集，因此，主隶属的并集FOU亦为单位区间的子集，但是给出FOU的图形一般为平面的子区域，单位区间只需要一个变量进行限制其取值范围，而FOU的直观图形需要两个变量进行限制其取值范围，这显然是矛盾的，从而导致了人们无法给出主隶属、FOU及区间（一般）二型模糊集合的表述式。

其实，在2007年，王飞跃教授和我讨论二型模糊集合时，就指出了FOU表述公式中的问题：如果主隶属是单位区间的子集的话，那么主隶属的并集FOU也是单位区间的一个子集，而给出的FOU直观图是一个平面图形。在当时，我们觉得只是一个普通的失误，也是每位作者即便竭尽全力难免的小失误，因此觉得没有必要在发表的论文中明确指出来。

后来，回过头来发现不是这样的。因为要给出二型模糊集合的主隶属度、FOU、（区间）二型模糊集合的具体表述式，就需要对区域FOU进行划分，而划分的一个前提就是给出FOU的两个变量（一个是论域上的变量x，另一个是表征主隶属度的变量u）的变化范围。既然“主隶属为单位区间的子集”与“FOU为主隶属之并”两者相互矛盾，就需要对该公式进行修正完善，有两种方法：第一种方法是保留“主隶属为单位区间的子集”这一个公式，将FOU的定义修改为论域上任意一点与该点的笛卡尔之积的并集，这样，二型模糊集合相关的定义与公式能最大程度地予以保留，第二种方法是保留“FOU为主隶属之并”，将主隶属修改为 $J_{x}\subseteq x\times I$ 或 $J_{x}\subseteq X\times I$ 。

选择第一种方法确实可行。首先，如果选择第二种方法，大量关于二型模糊集合的定义与术语与主隶属 $J_{x}\subseteq [0,1]$ 相关，在修改主隶属的同时也对二型模糊集合理论中相关的公式及定义进行修改，容易导致该理论的混乱；其次，从事二型模糊集合理论研究的科技工作者来说大多数熟悉以 $J_{x}\subseteq [0,1]$ 为基础的理论体系，引入新的专业术语，需要他们重新了解主隶属及整个二型模糊集合的定义与公式；第三，修改主隶属，就需要再给出一个专业术语，取代并满足定义1中的 $J_{x}\subseteq [0,1]" style="font-family:楷体;text-indent:32px;$ ，因为定义1中相应的量确实包含于[0,1]；第四，最重要的，也是最关键的原因，重新定义的主隶属是否方便给出其相应的表述式，进而给出一般二型模糊集合的表述式？J.M.Mendel在“On clarifying some definitions and notations used for type-2 fuzzy sets as well as  some  recommended changes”(Information Sciences,340-341:337-345,2017.)给出修改后的 $J_{x}$ 及引入新的 $I_{x}$ 是不能的（详情将在下一篇博客《二型模糊集合与逻辑的十年研究路（三）：我们与J.M.Mendel的分歧》进行介绍。）

因此，我们选择了第一种方法。具体的做法是：将主隶属看成定义为主隶属函数在论域上一点的主隶属度，为单位模糊集合的支集的闭包，为含于FOU中全体一型模糊集合在该点的隶属度构成的集合；将FOU定义为论域上任意一点与其主隶属度的笛卡尔之积的并集，为次隶属函数支集的闭包，并提出了FOU划分法来表述主隶属度，FOU，区间二型模糊集合，讨论二型模糊集合各要素之间的关系，在此基础上，给出了区间而二型模糊集合下的词计算及并、交、补的计算结果。我们在给出了二型模糊集合表述方法的同时，最大限度的保留了原有二型模糊集合理论的定义与公式。

我们将相关结论撰文《footprint ofuncertainty for type-2 fuzzy set》在2013年投稿到《Information Sciences》于2014年发表。

参考文献：

1 HongMo, Feiyue Wang. Representation of type-2 fuzzy sets and operations. 2009年中国智能自动化会议论文集（第一分册）

2 莫红,王飞跃,赵亮. 一一映射下区间二型模糊集合的语言动力学轨迹. 模式识别与人工智能.  2010,23(2):144-147.

3 莫红,王飞跃,肖志权,陈茜.基于区间二型模糊集合的语言动力系统稳定性.自动化学报. 2011, 37(8):1018-1024.

4 莫红,王涛.广义区间二型模糊集合下的词计算.自动化学报, 2012, 38 (5):707-715.

5. H Mo,M Zhou. On the definition of type-2 fuzzy set. Proceeding of the 10^th World Congress   on Intelligent Control and Automation. PP: 601-605, Beijing, 2012.

  6.莫红.时变论域下的语言动力学轨迹.自动化学报,2012 ,38 (10) :1585-1594.

  7.莫红,王飞跃. 语言动力系统与二型模糊逻辑. 北京:科学技术出版社, 2013.

8.H. Mo, Feiyue Wang, M. Zhou,etal. Footprintof uncertainty for type-2  fuzzy sets.  Information Sciences,   2014, 272:96-100.

9. H. Mo, J. Wang, X. Li,etal. Linguistic dynamic modeling andanalysis of psychological health state using interval  type-2 fuzzy sets.IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica, 2015, 2 (4):366-373.

 10. 王飞跃,莫红. 二型模糊集合的一些基本问题. 自动化学报, 2017, 43(7):1114-1141.

11. F Peng, H Mo, D Tan. Satisfaction assessment and analysis forpower customer based on interval type-2  fuzzy        sets.  International Conference onInformative & Cybernetics for computational social systems, 2014:1-6.

12. X Li, H Mo, F H Zhu. Interventions of trafficflow for intersection based on interval type-2 fuzzy sets.                  International Conference onInformative & Cybernetics for computational social systems, 2014:18-23.