小学数学：为什么200+300=500, 为什么2+3=5，为什么12+13=25？

王永晖

上周六工作坊小教室的数学课程上了本学期第一次，终于把研讲环节开始用于正式系统的数学内容。结果很吃惊，看来我们给孩子们进行补充教育是非常正确的。

小学三四年级的同学，我怀疑其中有大量比例的不知道，为什么200+300=500, 为什么2+3=5，为什么12+13=25？

其中第二问比较难，小孩子答不出来很正常，非数学系的中国大学生一般来说恐怕都答不出来，Fields奖得主Bombieri给小孩子写了篇数学科普，十几页的文章，其实说的就是这个问题，西方哲学的特色，在中国人看来，似乎总是把简单的问题搞复杂，不过人家确实建成了比较固实的社会，所以我们不得不学。

第三问是前两问的技巧性应用，主要是检查孩子们掌握了前面的讲述没有。第一问，可联系到数学最基本的第一课：数数，所以对于很多孩子来说，应该可以成为小学数学的第一次发现，但可能很可惜地都被具体的教学过程抹杀掉了。

如果您家的孩子上过了小学三四年级，看看他们怎么答，如果他是胡答，里面没有建立在数学本身的基础知识 ，即数数，加减乘除之上，而只是记住了一些形式操作，我觉得真就说明小学数学教师里面可能这个问题是普遍存在的。

科学网博主们如果感兴趣，可以看我们的教学记录幻灯片，每两周一次，会比较慢，但还是欢迎科学家们都来看。

http://blog.sina.com.cn/s/articlelist_2947836487_6_1.html

记录里面会有案例，说明什么样的答案是胡答，当然，也欢迎科学家们提供见到的各种小孩子胡答案例。

附记.  这里自然也可以考虑问题为什么 2+3=3+2，让孩子明白交换律，我先前的教案设计里没有这点，主要是因为要从哪个角度来说的，而不是光让孩子记住一个事实。前面第二个问题2+3=5需要确定什么是原始定义，然后从原始定义推过来，交换律其实隐藏在这个推理之中，如果不点出，恐怕没有一个孩子会意识到。

这就是发现的过程，对于聪明的孩子，教学应该体现发现的过程，激发孩子们不断提问，先提问再求解。

交换律在数学的讲法里面算是公理，乘法的交换律，其实还是可以作为一道很好的题目来考孩子，但是加法的交换律，从题的角度来考没什么意义，因为在数学上这是公理。

如果不是光用数学的公理角度来说的话，倒是可以借用物理学的思想，譬如，拿天平称一下，左边天平是2+3，右边天平是3+2。

人类做科学，主要是两大思想，一个是数学的推理精神，一个是物理的实验精神，所以，这里称一下是后者的体现。

让孩子思考这些问题，首先是他们年龄到了，小学三四年级的学生，已经具有一定的表达能力，那么怎么把数学表达出来，就可以教给他们了，但很遗憾，有些表达是胡表达，或者只表达出形式操作，而没有道理本身。其实就我所见，这些孩子们一年级开始学的时候，在数学思想上倒更接近真谛，但公立小学教上两三年下来，反而胡答，恐怕公立小学在“概念引入”上都有很大的缺陷。

不过，有时候成年人的答案，可能比孩子们更差，像楼下的张能立博主的答案，其实也算是一种胡表达，缺少数学的推理精神，只是像政治家一样。

很遗憾，这种现象虽然小孩子们一般没有，但在年轻大学生里却也不时出现，这些人从小数学还学得蛮多的，但是上了大学以后，像一个政治家一样搞数学，嘴里扯得都很大、很玄，刚开始让同学们很害怕，但没过几个学期就像黔之驴一样，远远地落在那些踏实的同学们后面。

数学的表达方式，要从日常的语言变过来，从日常的几何直观(物理直观)变过来，然后再变回去。这三种互相能变，是我们的教学目的，从小就练，而不是像我教的很多大学生们，上了大学才练。

那么2+3=3+2，作为物理直观，还需要动用精准的设备，如果找不到的话，可以动用几何直观，画图做分割就是了，这个交换律对于孩子来讲，考察的不是数学推理本身，而是考察孩子们的表达能力，或者说数学公式和几何直观的转换能力，有没有这个意识。