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解析数论的机会
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解析数论，一直以来有两大问题，素数方程与L-函数。
素数，即我们中小学学到的质数，从乘法角度讲，相当于构成整数的“原子”。Goldbach猜想，即是一种素数方程问题，即方程的解集在素数集合里考虑。
Fields奖得主Bombieri在大筛法方面做出了重要工作，从而给陈景润等一批中国数学家带来机会，先是我的师爷潘承洞解决了1+5型问题，王元解决2+3型的同时构造出了后续攻击路线的解决框架，包括1+4和1+3，最后由陈景润解决了1+2型问题，一直到现在都无法改进，是中国数学家目前为止最拿得响的工作，因为目前谁也做不出最难的1+1型。
王元先生跟我说过，大义是，数论就有这个特点，不容易做出好工作，但是一经做出，就会名动天下。
此处的1+2型，指的是1个素数+不多于2个素数，并不是某些庸俗的理解，要去研究什么1+2等不等于3。类似的有罗必达法则的0/0型，并不是说我们突破了小学数学，可以将0放到分母上了，而是有代义，专有特指。
素数方程方面，1998年Fields奖得主Gowers获奖之后，紧接着在整数方程做出了开创性的工作，然后由Terence Tao（陶哲轩）和Ben Green推广到素数方程方面，这个推广，很不平凡，陶哲轩获得了2006年Fields奖，获奖介绍中，这个工作是排第一位的，我们或许可以猜想，如果陶哲轩没有这个工作，可能Fields奖还要等几年才能拿到。
Gowers-Tao-Green的思想，将素数方程做了系统的突破，可以解决绝大多数的线性方程组问题，唯独不能攻击Goldbach猜想。
我们不知道这个机会，是不是跟当年Bombieri的情况类似，他做出了基本工具的突破，能解出1+3，但是就是做不出1+2，最终是由陈景润想出了一个妙法攻克的。
即使不谈这种“偷机取巧”的机会，Gowers-Tao-Green的思想也非常值得踏踏实实地学习，真是很有可能值得后辈数学家们学习和应用三四十年。
为什么这样讲呢，素数方程方面，一直以来有两大方法：筛法和圆法。前者自古希腊时期就被发现，陈景润的工作，就是动用此法。圆法，则是英国剑桥的Hardy-Littlewood-Ramanujan发明，至今也应用了90多年了。
Gowers-Tao-Green，其价值地位相当于第三种方法出世，正是因为增加了新的理解，才有可能得到新的突破性结果。
我们稍做解释，Gowers-Tao-Green增加的是哪种新思想，这种新思想，除了素数方程的数论问题之外，亦很可能对其他数学领域也产生深刻影响。
经典解析数论在素数方程方面的研究思路是：
A-Step 1. Summation Formulas (各种求和公式)
A-Step 2. Equations Detect (方程探测)
经典数论分为代数数论和解析数论，一些懂解析数论的代数数论专家会笑说，你们解析数论就是成天“求和”，一个和式，可能有3、4个Sigma号，说到点子上了。
求和并不容易，但是相对于更难的问题来说，又相对容易，所以“求和”就相当于一个台阶，万里长征的第一个台阶，有简单的，懂微积分就行，也有深刻的，需要复分析和傅立叶分析，甚至自守表示理论才能预见和证明的。
Gowers-Tao-Green在A-Step 1之后又增加了一个新的台阶，即考虑整数、素数的随机分布性质。
我们一直认为，素数分布具有相当大的随机性，但是这种随机性如何定义，如何应用，却是Gowers-Tao-Green才开始有严肃的数学解释，说起来，也就这十年间的事。
整数集合、素数集合的一致分布（Uniform Distribution），其实早就是解析数论研究的一个主题，Hermann Weyl自言其年青时候的成名之作，即是关于一致分布的Weyl's Criterion。
这个主题，一致分布（Uniform Distribution），虽然历史也有90多年了，跟圆法出现的年头差不多，可是一直以来并未像“求和公式”那样，应用于方程问题，多看作是一个有独立价值的问题。
确实很美！
中国解析数论专家，以前对这个主题有所忽视，我上学的时候，老师们都不太谈及，我还记得当年初次查到这个文献的情况，是在我们读模型式的讨论班上，为解决一个注记才查到的。
国内对这个主题最熟悉的，恐怕是王元先生，因为他将这个主题中蕴含的思想，应用到计算数学和统计数学方面，思想是数论的，结果不是。
现在，Gowers-Tao-Green的洞察，将这个主题思想联系到数论本身的方程问题，从而相当于在中间多制造了一个台阶，台阶多了，自然就把终极目标的难度降低了，思想贯穿了，自然容易获得结果上的突破。
解析数论的第一个台阶，求和公式，不容易让外人看出“美”来，我同级的一位研究生，选方向时，鼓动我跟他一块报解析数论方向，临到终了，他自己反而退缩不报了，原因是他去图书馆查了解析数论的文章，看到那么一大堆求和号，深感不对口味，弃之。
我只管方向，认为林子大了，什么样的“美”都可能存于其中，后来又幸遇诸位明师，将一个个求和号，能解说出内在的含义，含义明了，外形只是表象而已。
现在就更好了，在数论方程问题的研究之路上，第1层是求和公式，现在又新加一个中转站，第2层换作一致分布/随机分布公式，就比较容易让外人看出“美”来，最简单的一个例子，就是台球在台球桌上运动的遍历性，就是一致分布的习题。
Gowers-Tao-Green对一致分布的思想，有深入本质的推进，因为一致分布可以看作是0-阶的随机，要深入解决方程问题，0-阶自然不够，因此就要去研究和定义1-阶、2-阶、k-阶的随机。
这是一个好东西啊，能让人馋得流口水，可以预见，其应用将不止于数论，因为，随机性的研究，可以应用的领域太广了，密码学、图像处理、模式识别。。。
素数是随机的，从这个意义上，可想而知素数方程会有多难。所以，前面说到的这三种素数方程的研究方法，其共同点都是，先将素数方程，转化为整数方程。
这是经典思路：
B-Step 1. 先将素数方程，转化为整数方程。
B-Step 2. 然后求解整数方程，即，解集在正整数集上找，这个问题是较为简单的，属于高中奥数的入门级题目。
这个经典思路的法宝是，化难为易，求解未知必须靠较容易的已知，这是数学研究的基本之路。
Gowers-Tao-Green将这个过程中又做了一大改进，其中一个高招是，把素数方程转化到整数方程时，将整数方程的解集，不是转化到全部正整数集，而是转化到具有正密度的正整数子集。
我们仍然列一下：
B'-Step 1. 先将素数方程，转化为正密度整数集上的整数方程。
B'-Step 2. 然后求解正密度整数集上的整数方程，难度相当大，Gowers的开创性就在此处。
不知大家看出来没有，B'-Step相对于B-Step的高妙之处，B-Step 2的难度太低了，只相当于高中奥数入门题，结果就导致所有的难度都集中在B-Step 1上面，现在B'-Step 2的难度升上去了，但是仍然是能做出来的，有Gowers的结果在那顶着，自然，B'-Step 1的难度就降低了。
B'-Step 1所动用的经典解析数论结果，其实并不强，比起我博士论文阶段学到的那些来说，可谓弱了很多，就是因为思想突破，胜过了技术改进。
当然我们可以想到，思想突破+技术改进，就是机会，现在阶段尚只是思想突破，大数学家们勇往无前，忙得很，新领域往往如此，就给年青人们留下很多机会，技术改进级别的结果，或许谈不上伟大，但要说对得起博士学徒时期的辛苦，以此谋职业数学家之门，却是绰绰有余了。
说完了素数方程，现在再谈L-function，这个名词，就不那么妇孺皆知了。
很多学过微积分、复分析的大学生，甚至包括很多科学家们都会奇怪，数论研究的都是整数集合上的问题，也就是离散集合上的问题，怎么会用到分析学呢，还成了专门一个学科方向，解析数论。
其诀窍就在于L-function，它将离散对象，“粘”在一起，本质上也是求和，但是这种求和，不像黑沙子和白沙子混在一起后就再也不容易复原，数学上有更聪明的操作，可以把它粘在一起后，还能再复原回来。
学过傅立叶分析的人，就会知道，这个想法其实也就是傅立叶级数的妙处之一，当今的手机，一个无线频道有那么多人能够共用，就是这个道理，能合也能分。
L-function，确实可以跟傅立叶级数，进行一一对应，互相转换（L-function的系数就是傅立叶级数的系数），转换公式叫做Mellin Transform。不过，因为这种傅立叶级数的系数，都来源于数论对象，所以这种傅立叶级数，性质比较好，不仅仅满足平移不变性，还满足更多的群变换下的不变性，所以数论中就用另外一个名词来说，叫做模型式或自守形式。
L-function中的最大数论问题，自然是Riemann Hypothesis（黎曼猜想）了，猜想L-function的那些未知的零点，都是排在一条直线上，乖乖的。
这个猜想，是数学界最顶级的猜想之一，列为数学千禧年七大问题之首。
数论对象，浩如星宇，但是我们猜想，这些对象生成的L-function，都满足Riemann猜想，可见这个猜想的魄力。
遗憾的是，至今证不出最简单的情形，也就是说，证不出来数论对象集合={a_1=1, a_2=1, a_3=1, .., a_n=1,...}时的情形，这个最简单的情形，就是当年黎曼的猜想原始形式，让后世数学家们极为叹服他的发现力。
我们有理由相信，假定Riemann猜想应该是能推出Goldbach猜想的，但是目前谁也做不出来，或者还需要加上更深入的零点信息的猜想，但目前也是没人能推出来。
L-function还牵扯到另外一大类的重要猜想，或者曰，Langlands Program，就是要用“高维化”的观点，来重新审视数论对象跟分析对象、几何对象之间的关系，这些关系，还有很多只是猜想，即，有公式无证明。
前面说过，做方程问题，第一个台阶是求和问题，而求和问题，动用到高深之处，就是需要L-function的相关性质，所以可以说，L-function的性质，是整数方程研究的第0步。
这个第0步中，就已经蕴含了数学界的最大猜想和最大纲领。
我们有一种信念，数论对象的所有性质，已经蕴含在它的L-function之中。
自守L-函数的Riemann猜想方面，是否存在机会，不是特别清楚，情况并不明朗，有一点可以非常清楚的是，它要动用相当高深的数学工具。经典数论，可以分为代数数论和解析数论，但是到了现代数论，一般就不能再这么分了，相比前两者，有两个更高深的方向，代数几何与自守表示，都是分析和代数兼具的。
这两个学问，论及深度和难度，可以粗浅地类比一下，大学数学分析和高等代数，总共算作500页纸的工作量吧，每页纸要读1个小时，那么代数几何与自守表示，其中一个方向，光读懂基本知识，以大学本科数学为基点，就还需要再读4000页纸的工作量，每页纸的难度，据我个人体会，是大学课本的4~6倍。
这两个学问，因为如此，难也有难的好处，打个比方吧，跑道长了，才能起跑大飞机，大飞机只有在长跑道上才能飞得起来，如果你想成为数学上的“大飞机”，或者起码想试一下自己是不是数学上的“大飞机”，这两个学问就是非常适合的“长跑道”。
我曾经跟本系系主任一块出差，歇息的时候闲聊，他说自己很遗憾没有读下来一本“抽象派”名著，我当时尚是年轻，觉得无法理解，做论文做不到一流，但是读书，书是“死”的，就放到那里让你读，总有一天能读完吧。
现在，年纪大了方知系主任的感叹，数学上的集中注意力，是难得之物，集中不下来，书虽“死”也读不下来。
如果年青人有拼劲，就可以趁着年轻火力壮，把这些高深的学问攻下来，试一试自己的能力有多大。
Langlands Program方面一直有新的进展出现，但是涉及到Riemann猜想，却少有推进。一些数学家认为，Riemann猜想在最近都不会有特别大的突破，原因是，要解决一个“大”的猜想，基本之路是，把它分解为数个“中等”难度的猜想，但是目前来看，这条基本之路上的人类足迹太少了。
凡事都得试试，没有足迹，可以自己往上踩啊，何况是这么重要，已经被数学界公认出顶级价值的猜想。再者说，若是有人能够一刀下去，把Riemann猜想分成数段，这一刀，已经足可以笑傲江湖了。
我们有理由相信，不仅仅是Riemann猜想的零点信息，L-function的高维化之路，即，Langlands Program，亦会有作用于素数方程问题，比如Goldbach猜想。
高维化，会带来更多的求和公式啊，会带来更多的对随机性的理解啊，此处不能多说了，大家会意即可。
这些解析数论方面的机会，不可谓不大，是每个有雄心壮志的年青数学工作者都应该关注的。
中国年青学者，在这条道路上应该是非常有潜力的，一者是，我们的前辈，华罗庚、陈景润、潘承洞、王元，已经给我们开创了直指高峰的胆魄，在我们的灵魂中打下了基因。
另外一点是，中国的数学传统，还是比较偏于分析的，中国的年青人在分析方面，相对还是有很好的训练，而在代数方面则普遍欠缺（是一个问题，本文不述）。
Gowers的Fields奖工作，是泛函方面的，陶哲轩则出身于调和分析，跟前辈Hardy一样，他们都不止是数论大师，更可以说是分析学大师，他们将分析功底，应用在解析数论方面，正是英雄找到用武之地，找到试金之石。
我曾经问过张寿武教授一个猜想，请他判断对不对，即，“大学本科时没有学到足够的代数课程，就意味着已经失去了机会，无法从事算术代数几何”，他的回答是“对”。
他本人的例子，也验证了这个猜想，他虽然是80年代初的大学生，但是他本人有一个极好的机遇，从大一开始，就给他的老师汇报抽象代数，他来讲，老师来听，一对一，小灶中的小灶。这个份量，估计就是现在的中国数学系大学生，也很少有人达到的。
解析数论，如果结合自守表示方向，也会用到相当多的代数知识，不过具体到关键之处，还是分析的居多，不用拼太多的抽象代数功底。
这也是最近一些中国解析数论专家，在自守表示方面获得进展的诀窍所在，主要是我博士时候的老师，刘建亚和叶扬波领导的团队。不是解析数论专家们一下子在抽象代数方面获得了突飞猛进式的进步，而是掌握了新领域的基本语言之后，关键桥段，还是在原来的解析数论功底。
所以，解析数论相比来说，门槛对于中国数学系大学生来说，要低一些，重要性和机遇算在一起，性价比在我看来非常高，值得推荐给正在选取研究方向的年青人们。
写到这里，大家恐怕看出来了，本文算是一个科普级的广告，之所以做广告，实在是进入解析数论领域的年青人，最近这十几年里，相比于其他数学方向来说，人数是太少了。国内各数学系，基本上都有分析学和微分方程的老师，可是即使是国内各名校的数学系，也很多是没有数论方向的老师，算到解析数论方向则更少，人才缺口很大，这与数论在整个数学领域的地位，中国数论尤其是解析数论在整个数学界的地位，很不相称。
为什么会有这种情况呢？不知道是胆子小了，还是眼界高了，我感觉这两种情况可能都存在，稍微修正一下，兼听则明，选好自己的研究起点，可能后面的路会有很大的不同。
附注：文章写到最后，才想起以前的本科生反映，本系的一位资深教授（现已退休），教他们的时候，告诉他们“解析数论已死”，当时听了觉得很好笑，亦有无奈之感。
我们说一个学科“死掉”，都是意味着这个学科中的基本问题已经解决完了，剩下的难题也找不到新工具来处理。解析数论远远不是这种情况，270岁的Goldbach猜想，150多岁的Riemann猜想都尚未解决，最近几十年来又不断地增添了非常深刻的新猜想和新工具。
很有可能的是，这位资深教授已经不再阅读最新的数学文献了，因为那年的Fields奖就是给陶哲轩的，工作排在第一位的就是他的解析数论文章。
本科生们，恐怕都没有机会直接阅读最新数学文献，这篇博文，算作是一个二手的科普级读书报告，告诉大家一个真理，数论是数学中的一个极大分枝，跟几何学一样，都是很早就产生了。这种大分枝，最多只有可能某个小树杈会枯枝败叶，却始终会是数学中的主流方向。
至于解析数论，就是主要以分析学的方法（现代会越来越多地动用矩阵等代数工具），尤其是Fourier-Analytic方法（傅立叶分析和复分析），研究数论问题，说到这里，稍微有点常识的人也会知道，这种级别的学科，永远都没有“死”的可能性，这不，Gowers-Green-Tao的巨浪就正在打过来。
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