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高等代数教学计划与方案

已有 1736 次阅读 2019-4-27 09:29 |个人分类:大学数学|系统分类:教学心得

高等代数教学计划与方案

王永晖


高等代数,我是分别采用三本书,对应了学生的三个阶段,也分别对应地解决了高等代数、即线性代数的三大问题。


一 线性方程组的求解问题

这个阶段,使用同济大学的《线性代数》教材,好处是,这本书很薄,但实际上它的很多证明很精妙,简洁。这对于大一新生第一学期的入门来说,实际上是很有必要的。


这本书的内容,其实就第一阶段的范围之内来看,并不比数学系相应教材少,而且因为突出了矩阵思想,更适合入门。


我当年也是因为曾经教过非数学系的线性代数课程,才了解这本书的,使用之后才发现这个特点。


我在2011级数学系实验班的教学中,第一学期就采用了这本教材。可能当时数学系的一些同事,还私下里(善意地)笑话我了一下。不过,当时的院长李庆忠老师非常尊重老师们的个人决定,同意了我的这种做法。


其实,我们首师大数学系的大一新生,跟其他系的学生,在数学水平上并无区别,对于他们来讲,直接上过于抽象的体系,会非常痛苦,基本上就打趴下了,什么也学不到,虚度四年大学时光。


到了大三的时候,问他们那些基本概念,基本定义,就全忘光了。其中还有不少是想考研的。


二   什么是维数。

这个阶段,则使用传统的数学系教材,北京大学的《高等代数》,石生明,王萼芳两位老师所写。要说的是,石生明老师从90年代就调到首师大数学系工作。


第二学期采用这本书,会跟第一学期教材有一定的重复,正好当做复习,也是很有必要的。讲的时候,第一章,多项式理论,是一个难点,以往消耗课时过多,容易耽搁大一新生第一学期的进度。现在放到第二学期,同学们已经经过第一学期的大学数学思维锻炼,情况会好很多。


维数问题,对应书中的线性无关性和线性空间,章节讲授顺序,见下文微调部分的第1项。


三  特征值问题(谱理论)

这个阶段,我们使用国外大学教材,是专门为数学系学生所写的线性代数教材,《Linear Algebra Done Right》.其假设也是学生已经学过了普通的线性代数之后,进一步深造才学的。


这个教材,把国内传统的特征值这一块内容,接轨于现代数学的想法,叫做谱理论,学了这一块儿内容之后,到高年级的时候,接触泛函分析,就会自然得多。


很可惜的是,国内高等代数教材,出了很多,大多只是新瓶装旧酒,内容搬来搬去,或者最多做一些微调而已。Linear Algebra Done Right这本书,是在内容覆盖上,远远超过了国内教材,写的东西,处理的方法,国内教材就没有。


这本国外教材,虽然也有中文翻译版了,但是我们使用的时候,还是提倡学生直接看英文原版。毕竟是大二学生了,很多学生还想着出国,或者考研,数学学习方面,还是要学会看英文原版书。


不过,不建议大一新生一上来就使用英文原版,效果不会好,因为,数学难度,和英文阅读难度,两个加在一起,就超过大一新生负荷了。


因为首师大第一学期的课时比较少,所以,我往往只能是在第三学期完成这部分内容,或者由学生自愿组织起本科生讨论班,私下里进行。


可能会有某些老师不希望增加低年级基础课的课程时间,但是,我觉得有两个理由,

一、我们增加的内容,不是传统教材上的内容,本身就是新的,是可以承接高年级课程,如泛函分析等,只不过是有限维空间上的而已,正好可以作为高年级课程的例子。再者,相对于抽象代数,其实线性代数的很多知识,更具有现代性。我们就已经有老师,在研究生抽象代数基础课上,增加了其中线性代数部分的比例,如果有本科内容去衔接,效果肯定就更好。

二、首师大数学系的学生,水平只能慢慢地一点一点儿往上涨,而且很多是师范生,他们能把东西一点一点儿吃进去就行了,不必求在速度了。

我想,老师们所最注重的,应该都是一致的,大家还都是有共识的,那就是学生真正养成数学能力,把学到的东西,真正学会了,对于首师大的生源水平来说,低年级阶段的攀爬时间,是必要的。


鉴于上面的框架,有几个微调,

1a. 第二学期的课程,如果课时有限的条件下,可以先不讲高代书上的特征值内容,即第7章和第8章。等到第三学期,直接使用Linear Algebra Done Right上的讲法就可以,而且,Linear Algebra Done Right讲的时候,必然跟第二学期又有一些重复,即线性空间这一部分。

       这种重复是必要的。同样的定理,不同理念下的处理方法,会让学生大开眼界。

1b. 多项式理论,在书中的用处有两个地方,一个是特征值,一个是欧氏空间。所以,第二学期讲课的时候,也可以不按照原书顺序来讲。可以直接先讲线性无关性(复习),线性空间,然后再是多项式理论,高代书的第一章和第五章,最后是欧氏空间。

2. 行列式的定义,为什么要那么定义,中国教材中一般都没讲到,我查到的书中,好像只有中科大的线性代数讲到了。国外教材,则可见于Serge Lang的本科生教材 Linear Algebra。

       即行列式的唯一性定理,一个函数,满足行列式的那些基本性质之后,这个函数只能是行列式。其几何解释是体积,那么如何利用这种体积的理解,去证明Cramer法则。


以往教学,第三学期的尝试,或者是使用抽象代数课堂的一部分课时,或者是只能在学生自愿组织的本科生讨论班里进行,已经进行过两届学生,第一届40人,第二届7人。


希望以后进一步教学改革的时候,能够更顺畅些。谱理论这块内容,怎么说都还是值得加入的。










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