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一元二次方程:玩具级模型 精选

已有 6195 次阅读 2018-4-11 23:05 |个人分类:Book-W|系统分类:教学心得

 一元二次方程:玩具级模型

王永晖


Toy Model 玩具级模型, 我印象中这个词是天才数学家陶哲轩博文里时常出现的,这里用来形容一元二次方程在中学数学中的作用倒是很恰当,就是当做一个玩具,给孩子们玩的。不是因为一元二次方程就比别的方程更重要,更有用,而是因为简单,就像乐高积木一样,拼不出来真实的大楼,但是作为一个玩具,拼出孩子们意象中的大楼,就够了。


我们小教室的5个孩子这学期开始学因式分解,顺带着把一元二次方程就学了。我这才了解到,中国教材教法,跟美国教材教法,不是太一样。


美国教材,是先教函数的,包括函数的图形性质,有了这个基础,再去学一元二次函数,及一元二次方程,就可以从图像上看,很直观。不过,存在的缺点可能是,没给出证明,根的公式是让孩子背下来的,也许后面会证吧。


中国教材,我看到的,即使是上海专攻奥数的市北中学的自编课本,也是先讲因式分解,然后隔几章才讲一元二次方程,完全没有图像,因为函数是后面才讲到的,一元二次函数的图形性质,要到下一年级课本才出现了。


人教版的一元二次方程,也是在一元二次函数之前,不过两章是紧挨着的,也还可以,就看老师讲课时候的意识了,先用代数方法,再来几何解释,好像我们当年也是这么学的。人教版的问题是,因式分解和一元二次方程,又差了整整一个年级,隔得太远,恐怕就不是授课教师的主观能动性可以克服的了。


美国孩子的平均数学水平要比中国差一个档次,不过,美国的数学教材,从这个意义上来说,不见得就比中国的教材差,至少立意不错,教材讲究的不是难度,真正做题还得靠另外的习题书。


我们因为人数少,可以单刀直入,更综合些。因式分解的初始阶段(还没有到难题的时候),配方法就可以讲到一元二次方程的求根公式,孩子们花了两三个小时推出来了。接着,因为有孩子已经学过函数及其图形性质,就可以把这些内容揉在一起讲,先由会的孩子介绍那些函数图形的知识,然后再由我启发他们,把这些知识跟一元二次方程联系起来。


华罗庚将这种代数和几何揉在一起称作“数形结合”,我们总结的时候,就可以左边一栏是代数性质及其推导,右边一栏是对应的几何性质。


这样讲,当然对孩子的理解力是个挑战,所以美国的讲法注重单边的图形,中国的讲法注重单边的代数,也可能在教学上容易一些,也有其好处。不过,教学中体现“数形结合”是非常重要的,只要在孩子们有能力的前提下,还是应该尽量一开始就这么揉着讲的。


教学记录太粗糙,就不放上来了,也许研究生助教,将来可以整理得更好些,形成课件再放到网上,将来内容也可以注入到她的硕士论文中。


因式分解,是中学数学整个六年中最难的两关之一,另一关是平面几何。当然,现在的孩子们会接触到技巧性很强的奥数题,就不见得因式分解是中学代数方面最难的了,但从教材上去理解,从学习顺序上去理解,把它当作最难的一关,还是成立的,此关一过,别有一重天。


大学生里面,虽然号称是上了大学,但其实可能一辈子都没过这一关的也是大有人在。展望未来,可以确定的是,不管有多少人花了那么多时间和精力去上奥数班或数学课外班,数学人才仍然会是稀缺的,因为这玩意儿不好入门,登山而行,一望一重天。



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