数学上的 PBL (Problem-Based Learning) 怎么做？

王永晖

数学教学上的PBL (Problem-Based Learning) ，我感觉是很难做的，所以，这里做一下初步的探讨，抛砖引玉。

数学教科书，一般都不是按照PBL (Problem-Based Learning) 的方式写的，我来说一个笑话吧，我们从很小就知道，圆的面积是最大，但是，很多大学生都毕业了，甚至是数学系的硕士生，也不见得会解决这个问题，因为当前的教材里很少写，不写，学生就不看，也不主动去想了，人之常情，真正优秀的人，还是很少的。

圆的面积最大，就可以是一个很好的PBL学习项目，圆的讨论，是非常困难的，很容易就超过了中学生的知识范畴，这方面的资料不多，我也是在慢慢找。

普通数学教科书，是按照树状目录写的，PBL (Problem-Based Learning) 则讲究一条龙。数学教学这块，不可能只用一条龙的教学方法，那么在实践中，很可能是，同学们把书都学过了之后，再把已经学过的知识，整理成群龙。

其龙头，是某一个很容易引起直觉共鸣的问题，为了解决这个问题，把排兵布阵的地图画出来，画的过程中，尽量要简洁，不牵扯到不必要的其他内容，尽量汇成一条线，称为一条龙。

那么，一门课程，很可能就会被这样的几条龙所覆盖住，几条龙可能会有缠绕的地方。

所以说，数学上的PBL (Problem-Based Learning)，在数学教学上，很难完全地取代传统的教科书，恰恰很可能是，在孩子们把教科书读过之后才做的事情。重新整理出来的内容，看上去应该更像一篇小论文，只有一个主定理，其他引理和命题，都是串在一起，为主定理服务的，无关知识尽量减去。

这种做法，对孩子们理解数学，当然是很有意义的，他会知道，不光是做“加法”，越学越多，还要做减法，为了证明一个主定理，其实只需要哪些知识，而“不需要知道”教科书上的全部知识，这里的引号，表示假装不知道。

当然，中学数学，没有那么多大龙，平面几何课程中的大龙相对多一些，所以，另外一种可行的组织方式，是按照由易到难，由简到繁的顺序，来连接相关类似问题，形成一些小龙。

我们的平面几何讨论课，只剩最后一次（第一编基本弄完），我会告诉孩子们，这学期的讨论课，是让他们知道按照什么样的标准去学习：

1. 每个定理要能自己证出来，而不是一晃而过，以为懂了，却自己证不出来，那不叫懂。

2. 定义，公理和定理的来龙去脉，就是本文所说的PBL (Problem-Based Learning) ，要画出地图，我们在小教室的代数学教学阶段，当时称作星际航图。

3. 这点一般到大学生才有，但不排除某些数学天赋较高的小孩子也有：即使做到了1和2，但仍然觉得有不懂的感觉，很难受，觉得自己怎么还不懂啊。恭喜你，这说明你对自己有更高的要求，不仅仅希望知识上懂，也希望直觉上懂。我们小教室，将之称为”焖数学上的感觉“。

下一阶段，这些孩子们怎么学，两周以后家长记录会推出。