平面几何课程的重要性

王永晖

我们的《三S平面几何学》课程，已经上了四次，现在是6位同学，感觉他们应该都能学下来。小学六年级，5位是12岁，其中还有一位是10岁多一点的，这位10岁的，反应还很不错，属于这几个中靠前的。

平面几何，锻炼的是孩子们的推理能力，借助的是平面上的几何图形，我们这学期主要就是三角形了。从孩子们的反应来看，他们很喜欢这种锻炼方式，这对他们的大脑发育，应该是有很大好处。

12岁，是大脑发育的一个分水岭，这个时候上平面几何课程，而不是拖几年到中学，中学新课标下面再拖拖拉拉的、三瓜俩枣的上，我想，意义还是很大的。

配套的代数学讲座，也已经有4次，孩子们大概知道了为什么要使用公理到定理的证明方式．不过，他们掌握的还不够好，上次讲过的，下次其实还是忘了，需要我来提醒，不是不聪明，还是没有从思路上去理解，没有真正很好地理会，我们要干什么。

我们学习数学，就是要搞清楚来龙去脉，从孩子们的反应上来看，不是所有的同学，都能够非常好地理解并执行这一原则的。讨论班上表现最好的一个孩子，能够回答出我提出的问题，但是，他自己尚不能主动想到提出这些问题，从这个角度去思考，至于其他孩子，就相对更慢一些。

我今晚问的问题非常重要－－－同学们，你们从66号看到81号，请问，在66号到81号之间，除了做题之外，你们还需要注意什么，还需要琢磨去思考什么？

孩子们刚开始一脸茫然，不知道，读书跟做题，还是有细微的区别的，不知道，琢磨书本是需要把它搞透，有三位同学，可以迅速领会我的意思，自己开始在纸上画路线图，找到公理推定理，定理推定理之间的逻辑线条．

66号，跟69号什么关系，其实是没关系，但是有同学为了硬凑，以为它俩有关系，说明这位同学，虽然知道要找逻辑线条，很聪明很不错了，但是真正去找的时候，他还不能做到实事求是地去找。

我们今晚又相当于把这些定理重新缕了一遍，因为是一周多之前弄的，有些定理，孩子们已经忘了，这时候就显示出数学天赋的高低了，有些同学，可以更容易地重新想出来，那是因为他理解了，或者说，底下可能多花功夫去琢磨了。

定理，不能光是看会，看完了之后，忘了，仍然自己能把它证出来，要达到这个标准．

这种方法，我对本科生叫做“忆筛”，华罗庚叫做“复盘”，一定要把“来龙去脉”复盘清楚。

我们在教学过程中，还发现有些同学已经养成了不太好的习惯，喜欢凑，而不是在那儿推理，如果他们继续这么成长下去，就会像我在首师大数学系遇到的一些大学本科生那样，到了大学，就很难改过来。

我在首师大数学系，遇到的有些北京市学生，学不下来数学，不是因为他们智商不高，其中一个，还刚刚给我们表演了魔方，在没有预热练习的情况下，33秒解决战斗。这位在初中就能够沉迷于魔方游戏的孩子，智商应该不低了，人看着也是一个很健康的大小伙子了，但是，他在数学上的问题很严重，表达不清楚，就思路不清楚，一直没有改过来，现在再改，跟如果当初小学高年级阶段或者初中阶段就改，意义是完全不一样的。

从这个角度来说，讨论班上这几个孩子是非常幸运的，尤其是表现略差的同学，可以说，因为遇到了我，有可能改变了他的生命轨迹。否则再这么瞎凑数学下去，真就一辈子也学不了数学了。

数学有天赋，也仍然需要知道，往哪里去使力．

平面几何课程，是中学阶段锻炼逻辑能力最有力的课程。我们之所以本学期启动这个讨论班，一个原因是，正好我们小教室已经做了代数学方面的基础工作，见张亚杰论文和我们后继的代数学讲座的教学记录，另一个原因是，有李克正老师倡议的最佳弹药，《三S平面几何学》，他本人学问高，看得远，这就让我心里有底，敢做这件事情了。

还不错，看来能够正常运行下来，孩子们完全有能力把这本书读下来，我稍加点拨，让他们走上正道即可．

学生虽然被我限定的人数很少，但能够真正改变他们的命运，我的内心还是很喜悦的。数学之路，不光是比谁更聪明，有可能智商都差不多，但是，做法不一样，有些孩子光是刷刷刷做题了，而不知道，最重要的是书上的定理，能不能不看书，就自己把定理证出来，并且把定理和定理之间的关系，来龙去脉弄清楚，从而窥见其内在之义。

我们博客上曾经说到过＂数觉＂，其实，这种功夫，最终也是为了培养＂数觉＂，级别更高一些的数觉．所以，有时候稍微笨一些的学生，反而可能学得更好，因为他的笨只是表面的，这种笨孩子，是因为把很多精力放在数学的直觉追求上了，光题做出来满足不了他们的内心，还需要有直觉，有直觉上的那种明白的感觉．

今晚的课，就是想让他们明白这个，非常重要，这三周一直在感冒，稍有好转，夫人建议我暂停今晚的课，以更好地恢复过来．但是，考虑到这一关键点上，最好还是让孩子们能够尽快知晓，不要耽搁，身体感觉也挺舒服，并无过度疲劳之感，所以，还是坚持上了，看到孩子们的真实反映，从茫然到开始慢慢知道，觉得很值得．我们作为老师，需要告诉学生的，是标准，你们有没有达到这个标准，然后，孩子们就知道怎么样去做了（可能那种天才不需要别人告诉他，没见过）。

小学六年级就知道，跟大学本科才知道，真的有很大的不同！

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附注. 有些家长想知道, 为什么有些孩子会容易逻辑混乱, 可能主要有两个原因: a. 家庭生活所影响, 如果家庭内家长的指令是矛盾的, 逻辑混乱的, 会影响到孩子的思维习惯, 所以, 我们专门提出, 孩子最早的逻辑课, 不是来源于数学, 而是来源于家教规则的实践, 获得了数学界不少前辈数学家们的赞同.

       b. 孩子可能会出现一个逻辑混乱的窗口期, 这可能也是大脑发育的一个正常现象, 大脑可能是在试探各种方式, 我们需要在这个窗口期非常注意, 及时提醒孩子.  很明显，平面几何课程，对此是非常有帮助的，有没有，是非常不同的，任何一个教育改革，如果以削弱平面几何课程为代价，其灾难对于所承受的学生来讲恐怕都是毁灭性的．

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