关于数学教育中的实验之我见

尹裕

关于数学实验的认识误区

一种非常普遍的观点是: 数学是“理论科学”, 只是动动脑子的事, 内容都是“抽象的”, 至多只需要纸笔等简单工具。更有些极端的看法, 否认数学是科学, 是研究自然规律, 认为自然数纯粹是人脑子里的东西, 等等(可怜都是二元论唯心主义)。

离开自然界, 数学根本不可能存在 ---- 不可能产生。最早的数学研究对象 ---- 自然数的客观存在,

是一个物理事实, 人类只是“发现”而不是“发明”了自然数。

在数学中自然数只是作为一个基本事实和出发点, 其存在性在数学中是没有证明的。自然数的

皮亚诺公理用范畴论的语言可以简单地表述为自然数的存在性。

在今天数学的大部分内容可用文字表述, 这是数学作为人类文化的积淀。很多人由此认为数学就是这些

文字和符号的游戏, 这只是表明他们不懂数学, 恐怕只能归咎于他们所受的数学教育质量之差。

作为科学, 数学产生于实验, 在这一点上与物理、化学等都是一致的。但是数学产生于数万年前, 那时的实验手段, 在今天看来很原始; 而人类认识自然数的过程经历了数万年, 可以说历尽千辛万苦。但不能因此否认实验在数学的产生和发展中所起的作用。

还有很多二元论者将“理论”和“实验”完全对立起来, 例如在人教版初中数学七年级下册 7.2 节

的“为什么要证明”一段文字:

李老师: 小明, 我们知道三角形的内角和是180度, 你能根据已学的知识证明这个结论吗?

小明: 我们观察任意一个三角形, 量出它的内角, 都能得出它的内角和等于180度, 为什么

还要证明这个结论呢?

李老师: 通过观察、试验等可以寻找规律, 但是由于观察可能有误差, 试验可能受干扰, 考察对象

可能不具一般性等原因, 一般说由观察、试验等所产生的“结论”未必正确, 例如, 让一个班的

学生每人任意画一个三角形, 再量出它的每个内角, 计算三个内角的和, 得到的结果未必全是

180度, 可能有的会比180度大些, 有的会比180度小些。

小明: 如果观察细致, 仪器精确, 不产生误差, 还需要证明吗?

李老师: 仅通过观察、试验等就下结论有时也缺乏说服力, 例如, 即使不考虑误差等因素, 当

上面观察的所有结果全是180度时, 人们还会有疑问: “不同形状的三角形有无数个,

我们画出并验证的只是其中有限个, 其余的三角形的内角和是多少呢? 能对所有三角形都进行

验证吗?” 事实上, 不管我们经历多长时间, 画出多少个三角形, 观察、试验的对象也是有限个。

由此, 要确认“三角形内角和等于180度”, 就不能依靠度量的手段和观察、试验、验证

的方法, 而必须进行推理论证 ---- 从道理上得出“无论三角形的具体形状如何, 它的内角和一定

等于 180度。

姑且不谈有多少学生会接受这样牵强的需要证明的“理由”。不难看到文中表现出作者的一个

观点: 有些科学研究是直接实验, 有些则是通过逻辑推导, 而这是两种截然不同的途径。

如果一个人做过一些实验研究, 就会知道在实验过程中, 包括实验的设计、实验过程中的调整、实验结果的分析、实验结论的建立等等都有逻辑推理; 所有科学实验都有误差, 受干扰, 而且都是在特殊的条件下做的,但并不能由此否定实验科学的可靠性、精确性和普遍性。另一方面, 如果一个人做过一些理论研究, 就会知道在理论研究中经常需要实验, 只是有时可以利用前人已经完成的一些实验。

就以“三角形内角和等于180度为例说, 在中学几何中证明这个定理是纯粹的逻辑推理吗? 否,

因为其关键在于作一条平行线, 而这就是实验的结果。找出这条辅助线, 古人不知花了多大的功夫, 做了如何艰苦的探索。这样就可将“三角形内角和等于 $180^{\circ}$”转化为与之等价的平行公理, 而平行公理是可以通过实验精确验证的。至于“度量的手段和观察、试验、验证”不能解决问题, 只是因为实验设计太笨。

对于这些哲学上的混乱, 数学界是难辞其咎的。

在大约一百年中, 很多数学家致力于将数学打造成一个独立封闭的逻辑体系, 使其脱离自然界, 与其他科学隔离开, 藐视数学的应用。其中极端者甚至认为应用是对于数学的“污染”。其实在 1930 年哥德尔的工作已经将这种企图从哲学上彻底摧毁了, 但仍有很多数学家没有放弃,

甚至至今还有人坚持。

在这一时期产生的教科书, 颇有一些受到这种哲学的影响。例如对于物理上并不很深奥不很复杂的事实做

冗长的、推理技术性强的、远离直观的或费解的论证, 却不愿采用物理上更直接更简单的方法。这样就难免

使读者对于数学有“纯粹理型”之类的看法。

不过近五十年来, 这种状况已经显著改变, 数学逐渐回归自然。只是教科书的改变相对滞后, 特别是还没有重视数学实验。

2. 历史上数学教育中的实验及其变迁

其实在数学教育中一直有实验, 除了不成系统的和不普遍采用的实验外至少有两种成系统和普遍采用的

实验手段, 即小学的珠算和中学的圆规直尺作图。现代人可能看不上这样简陋的实验, 但不能否认它们是实验。

算盘作为一种计算工具, 已经完全淡出经济生活。圆规和直尺的使用, 也比以前少多了。而它们原有的数学

教育功能, 随着在小学取消珠算和在中学取消圆规直尺作图, 都已成为历史。

我并非主张在数学教育中恢复算盘或圆规和直尺的使用 (但也不反对)。问题在于, 原来这些实验手段在

数学教育中所起的作用, 在取消它们后没有替代, 使得数学教育中的实验水平显著下降, 从而使数学教育的水平下降。

就以尺规作图为例, 它除了培养几何实验和工作能力外还有几个重要的作用, 一是培养几何直观, 二是培养发现图形中的奥秘的能力, 三是有助于培养科学的严谨性和逻辑性。现在中学生的几何直观普遍较弱, 与缺少作图很有关系。

近二十余年来, 中学数学教程的变化非常频繁, 很多内容说砍就砍, 而很多必要的数学教育功能也随着被砍掉,却都没有替代。

我历来反对“先破后立”, 认为这是一种“土匪哲学”, 实际上总是“破”了就完, 并没有什么“立”。

(文化大革命中破了那么多立了什么?)例如, 现在我国中学几何教程已大为弱化而且碎片化, 没有了系统性也就不能承担原有的逻辑训练功能, 但没有人给出逻辑训练的替代途径。

3. 数学教育中的实验的现状和存在的问题

关于数学教育的实验, 一些有识之士已在教学实践中进行了深入的探索, 取得了显著的效果和宝贵的经验, 并对其作用有了深刻的认识和卓越的理念。可惜这样的有识之士还太少, 影响也还太小, 亟待大力支持和推介。

尽管现在的数学课程标准中已将实验作为一个必修的环节, 但实施很不到位。由于在升学考试中没有地位, 很多学校在数学教育中仅仅将实验作为一种可有可无的辅助手段。

在这方面, 灌输式教育也是一个影响因素。满堂灌当然是和实验完全抵触的。纯粹灌输的教育方式与社会背景有关, 但恐怕主要还是因为传统和习惯, 再加上懒惰。

很多人, 包括很多教育者认为, 数学中的事实如“三角形内角和等于 $180^{\circ}$”, 让学生知道并且记住就行了, 没必要做实验。这里涉及科学教育中的一个深刻问题: 为什么在科学教育中需要实验?

举例说, 中学生学化学要做制造氢气的实验 (在稀硫酸中加锌), 这样做有什么意义呢? 不会发现新的事实,教科书上写得很清楚; 这实验是成千上万人做过的, 不会有意外; 操作很简单, 不会提高什么技术。那么, 通过实验接受关于氢气的化学知识和仅通过读书、听课接受它有什么不同呢?

阅读和听别人讲, 只是接受信息, 而且只是一个学习者所接受的全部信息中的很小一部分。尤其是在信息爆炸时代,读书上课所接受的信息占的比例已经很小, 而且还会越来越小。但科学与其他信息相比有很大的特殊性和重要性,一是其正确性, 二是其精确性, 三是其实用性。如果仅仅当做信息来接受, 那就很容易被淹没在海量的错误信息、虚假信息、模糊信息、垃圾信息等等的海洋里。通过实验的学习却不同, 是学习者直接与自然界交流, 获得可靠的和准确的第一手信息, 其价值远非普通信息 (如新闻或常识) 可比。由此学习者可以逐渐培养出科学的客观性、

严谨性、逻辑性、洞察力和理论联系实际等素质, 进而建立对于科学的信念和敬畏。

数学教育也并不例外。上面所说的加辅助线证明“三角形内角和等于180度，就是重复前人的实验,其意义与制造氢气的实验类似。欧几里德将这条辅助线写进教科书, 使得后人受惠两千多年, 不用再辛苦探索,只需要照此验证即可, 就如在化学教科书中说在稀硫酸中加锌可以产生氢气, 学生只要照此做实验即可。

缺乏实验的数学教育导致的后果是非常明显的, 有大量的实例可以说明。上面所说到的对于数学的各种

偏见就是一个方面, 几何直观的薄弱也是一个方面。另一个方面是将数学应用于经济生活的能力和自觉性 (很多人只会用加减乘除, 不会运用方程、函数、优化等)。常见学了很多数学的人, 在工作中只会运用很初等的数学。逻辑性的欠缺也是一类很常见的后果。

由此可见, 反复灌输、强制学习和功利性的引导等教育方式, 对于科学素质包括数学素质的培养不会有什么好处, 而且影响将会越来越小。

4. 数学基础教育中的实验手段的需求和供给

各种强制性的手段和功利性的诱导都不可能成为学习数学的动力。唯一的学习动力是兴趣, 而兴趣需要通过

实验来培养。幼儿的数学实验基本上是“玩数学” (参看 [5]), 有很强的游戏性, 通过游戏接触自然。但随着年龄的增长, 这样的实验日益显得不足和幼稚, 需要更高水平的实验。

对于数学的普及教育, 实验的需求是很大的, 目前“供给侧”明显不足, 对于小学教育有一些但尚不足, 对于中学教育短缺尤为明显, 很多认真的中学数学教师仍不得不使用很原始的实验手段。例如, 对于全等实验, 现在还没有比用两张透明胶片滑移更好的手段; 对于长方体实验, 现在还没有比叠纸盒更好的手段; 对于圆锥切割实验, 现在还没有比用手电筒照墙面更好的手段, 等等。如上所说, 小学用的算盘、中学用的圆规直尺等都需要更好的替代。

另一方面, “需求侧”也有明显的不足, 大部分需求还只是潜在需求, 而且功利性的引导 (如统考) 对于实验的需求很少刺激。我在某小学看到花钱买来的几十套实验设备从来没有打开过, 这种现象恐怕很普遍。

不过我认为现在应重点关注供给侧, 一旦有了高质量的创新产品, 即使只有占比例很低的用户, 也是不小的市场;反之, 如果没有高质量的创新产品, 一般人想不到需要什么, 因为这种需要是较为专业的。

高效率高质量的数学实验新手段, 需要一线教师、数学家和教育技术专业人员中的有识之士相互合作

才能创造出来。

这方面的工作力度现在还远远不够, 主要是参与者还太少。本文的主要目的是指出在数学教育中实验的意义、价值和重要性, 希望更多的有识之士参与这方面的建设。

黑致谢

作者在准备本文过程中多次与焦宝聪教授深入讨论, 获得很多启发和建议, 谨此致谢。

vskip 20pt

flushpar {黑参考文献}

vskip 10ptparindent=0pt

[1] 严士健主编: 《面向 21 世纪的中国数学教育》. 江苏教育出版社 (1994)

vskip 10pt

[2] 姜树生: 谈数学教育的特殊性 ------ 兼谈如何处理数学与教育学的关系. 《数学通报》 2008 年第 4 期

vskip 5pt

[3] 尹裕: 精英教育的迫切性与中国教育危机. 《数学通报》 2009 年第 4 期

vskip 10pt

[4] 张景中、王鹏远: 《小学数学实验》

vskip 10pt

[5] 彭志祥等: 《玩数学: 小学数学课程整体转型的研究》

vskip 10pt

[6] 姜树生: 可怕的幼儿数学教育 (2011)

vskip 10pt

[7] ljry8044: 当年，我们的才华就是这样被高考扼杀掉的

vskip 10pt

[8] 尹裕: 数学启蒙教育之我见 (2013)