揭秘量子密码、量子纠缠与量子隐形传态

施郁

（复旦大学物理学系）

3. 量子纠缠违反相对论吗？

现在我们开始讨论量子纠缠。这是复合量子系统（由2个或以上的子系统构成）的量子态的性质。

我们还是用偏振态作为例子。 考虑两个光子a和b的偏振量子态, 记作 $|\psi\rangle_{ab}$。 下标代表这个态的载体。有一种可能是这两个光子a和b的偏振分别由一个量子态描述，也就是说，两者是互相独立的。这可以写成
\begin{equation}
|\psi\rangle_{ab}=|\phi\rangle_a|\phi\rangle_b.
\end{equation}
这种情况下，对a光子作任何测量或操作都不会影响b光子的量子态，二者相互独立。无论你将$|\phi\rangle_a$或者$|\phi\rangle_b$用什么样的一套基矢态分解，都改变不了$|\psi\rangle_{ab}=|\phi\rangle_a|\phi\rangle_b$。 这样的量子态称作可分离态。

但是还有一种情况，每个光子的偏振没有独立的量子态，也就是说$|\psi\rangle_{ab}$ 不可能写成$|\phi\rangle_a|\phi\rangle_b$ 的形式。 对于光子a的偏振，或者光子b的偏振，不管选择怎样的一套基矢态，$|\psi\rangle_{ab}$ 的展开式中总是至少有两项相加。这样的量子态称作量子纠缠态。比如，
\begin{equation}
|\Phi_+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\leftrightarrow\rangle|\leftrightarrow\rangle +
|\updownarrow\rangle|\updownarrow\rangle). \label{psi1}
\end{equation}
这里左边是两个光子组成的复合系统的态，右边每一项中的两个态依次分别是两个光子a和b 的基矢态。每个态的载体省略未写，一方面是为了简洁，一方面也为了后面将这个表达式用于另外的光子。如果这两个光子都用$|\nearrow\rangle$和$|\nwarrow\rangle$这组基，那么$|\Phi_+\rangle$ 就改写为另一种形式
\begin{equation}
|\Phi_+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\nearrow\rangle|\nearrow\rangle +
|\nwarrow\rangle|\nwarrow\rangle). \label{psi2}
\end{equation}
上两式代表的是同一个双光子态$|\Phi_+\rangle$。

为了讨论方便，我们假设光子a被A所控制，光子b被B所控制。现在A测量a的偏振，假设偏振片的透光轴沿着x方向，那么根据上面$|\Phi_+\rangle $的第一个表达式，可以知道有1/2 的几率测得它的偏振沿着x，测量之后其量子态变为$|\leftrightarrow\rangle$。两项之和变为第一项，也就是说整个系统的态变为$|\leftrightarrow\rangle|\leftrightarrow\rangle$。 在这个态中，光子b 的态显然是 $|\leftrightarrow\rangle$。另一方面，如果a的偏振测得是沿y方向， 也就是说它的量子态在测量之后变为$|\updownarrow\rangle$。两项之和变为第二项，也就是说整个系统的态变为$|\updownarrow\rangle|\updownarrow\rangle$ ，在这个态中b的态是$|\updownarrow\rangle$。因此，A通过对两个纠缠光子中一员a的偏振进行测量，可以预言另一个光子b的偏振。

这一点奇怪吗？其实经典几率中也有类似的情况。量子态是一种描述，经典几率也是一种描述。假设有一个容器里装着红色的球，另一个容器里装着蓝色的球，但是从外面看不出哪个容器装着什么颜色的球。现在随机选择一个容器，从中拿出两个球分别放在密封的盒子里，交给A和B。A和B只知道它们来自同一个容器，所以颜色一样，但不知道颜色究竟是什么。然后A和B 分别到相距很远的两地。在A打开盒子之前，她的球是红色和蓝色的几率各为1/2。 A 打开盒子，知道了她的球的颜色，所以也立即知道了B的球的颜色。 对此，没有人觉得奇怪。所以在这一点上，量子纠缠还不奇怪。

与之相比较，量子纠缠的不同或者说``奇怪''如下。这个不同来自量子态具有超越几率的涵义，而测量可以选择不同的基。A完全可以用另外一个基来测量光子a 的偏振态。比如可以用$|\nearrow\rangle$ 和$|\nwarrow\rangle$ 这组基。那么将$|\Phi_+\rangle$ 写成第二个表达式比较方便。 从中可以看出， A有1/2的几率测得光子a的偏振沿着$45^o$ 方向，也就是说，测量之后a的量子态变为$|\nearrow\rangle$。两项之和变为第一项，也就是说整个系统的态变为$|\nearrow\rangle|\nearrow\rangle$。 其中光子b的态是 $|\nearrow\rangle$。 另一方面，如果光子a的偏振测得是沿$135^o$ 方向， 也就是说它的量子态在测量之后变为$|\nwarrow\rangle$。 两项之和变为第二项，也就是说整个系统的态变为$|\nwarrow\rangle|\nwarrow\rangle$ ，其中光子b的态是$|\nwarrow\rangle$。

但是，这并不意味着违反相对论。虽然A通过对光子a的测量，确定或者说预言了光子b的偏振，但是如果A不把测量结果告知B，B是无法确认的。如果这时B测量光子b，结果确实与A的预言一致。但是，原来的纠缠态也预言了B是有1/2几率测量得到b的这个偏振态的，所以B无法觉察A作过测量。而如果A分别对处于同样的$|\Phi_+\rangle$的N个光子对a和b作测量，N个a的测量结果是随机分布的，由此导致的A对b的态的预言也是随机分布的。对于光子b来说，两种情况，一个是在纠缠态$|\Phi_+\rangle$ 下测量，一个是在a已经被A测量但是B不知道，多次测量的几率分布和相关物理量的平均值，结果是完全一样的，也就是说单靠B对于b的测量，是无法分辨的。 而如果A将测量a所得的结果告诉B，这个通讯过程就受到物理定律的限制，不能超过光速。对这一点的忽略使得很多人觉得量子纠缠很神秘。

我们再列举3个纠缠态的例子：
\begin{equation}
|\Phi_-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\leftrightarrow\rangle|\leftrightarrow\rangle -
|\updownarrow\rangle|\updownarrow\rangle).  \label{bell2}
\end{equation}
\begin{equation}
|\Psi_+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\leftrightarrow\rangle|\updownarrow\rangle +
|\updownarrow\rangle|\leftrightarrow\rangle). \label{bell3}
\end{equation}
\begin{equation}
|\Psi_-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\leftrightarrow\rangle|\updownarrow\rangle -
|\updownarrow\rangle|\leftrightarrow\rangle). \label{bell4}
\end{equation}

$|\Phi_+\rangle$、 $|\Phi_-\rangle$、 $|\Psi_+\rangle$和$|\Psi_-\rangle$ 这4个纠缠态的结构类似，有时统称贝尔（Bell）态，其中$|\Psi_-\rangle$又称爱因斯坦-波多尔斯基-罗森- 玻姆（EPRB）态。它们都是最大纠缠态。上面与$|\Phi_+\rangle$相比较的经典情形也适用于与$|\Phi_-\rangle$作比较。而可以用来与$|\Psi_+\rangle$和$|\Psi_-\rangle$ 相比较的一个经典情形是一双手套（一左一右）分装在一个密封盒子里，被A和B随机拿走其中一只。A打开盒子知道自己的是哪一只之后，立即知道B处的手套是哪一只。而量子纠缠超越这一点，因为可以在另一个基上测量。

贝尔态也可以作为两光子偏振态的基矢态。将贝尔态的表达式反过来，可以得到
begin{eqnarray}
|leftrightarrowrangle|leftrightarrowrangle &=&frac{1}{sqrt{2}} （ |Phi_+rangle +
|Phi_-rangle), label{e1}  \
|updownarrowrangle|updownarrowrangle &=&frac{1}{sqrt{2}} （ |Phi_+rangle -
|Phi_-rangle ), label{e2} \
|leftrightarrowrangle|updownarrowrangle &=&frac{1}{sqrt{2}} （
|Psi_+rangle +|Psi_-rangle), label{e3}  \
|updownarrowrangle|leftrightarrowrangle) &=&frac{1}{sqrt{2}} （
|Psi_+rangle +|Psi_-rangle). label{e4}
end{eqnarray}