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【数学都知道】2016年1月2日
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作者：蒋迅
请我的读者先读一下我的说明。鉴于微信上出现了许多出色的公益账号传播数学文化，我将从下一期开始减少对中文的大陆数学资信的收集。以往的【数学都知道】在这里。在新的一年里，我希望读者们能谨慎使用你们的语言，因为“最深的伤害永远是：语言”。
美国数学会官网发布一个榜单，点评了2015年在数学界或者社会上产生较大影响的，关于数学或者数学家的事件。1，纳什获得阿贝尔奖但随后去世；2，新的五边形平铺方法的发现；3，数学教育，依旧是热门话题；4，美国队获得国际奥林匹克数学竞赛第一；5，陶哲轩，以及他的天赋；6，图同构问题的重大进展；7，3-14圆周率节的庆祝；8，张益唐和他发现的数论定理；9，一位职业美式橄榄球运动员的数学家；10，数学与马航MH370之谜；11，Ian Agol获得2015科学突破数学奖。
哆嗒数学网
数学和力学这两门学科在发展上的结伴而行的特点，不能不体现在这两个学科的代表人物的特点上。我们看出，历史上最著名的数学家，一般也同时是最著名的力学家。
顾险峰1989年考入清华大学计算机系，在1995年获得计算机科学与技术学士学位后赴哈佛大学留学，后来取得哈佛大学计算机科学硕士和博士学位，在哈佛期间，顾险峰师从著名的数学大师丘成桐学习微分几何学 ，同时致力于把一些微分几何中抽象的经典定理用计算机可视化 。为了激发大众对数学的热爱，远在美国纽约的顾险峰教授“操碎了心”，他开设了“老顾谈几何”这个微信公众号，并且坚持用中文写作，这个微信号正在吸引越来越多的读者关注。
豪斯多夫维又称作豪斯多夫-贝塞科维奇维（Hausdorff-Besicovitch Dimension）或分维（fractional dimension），它是由数学家豪斯多夫于1918年引入的。通过豪斯多夫维可以给一个任意复杂的点集合比如分形（Fractal）赋予一个维度。对於简单的几何目标比如线、长方形、长方体等豪斯多夫维等同于它们通常的几何维度或者说拓扑维度。通常来说一个物体的豪斯多夫维不像拓扑维度一样总是一个自然数而可能会是一个非整的有理数或者无理数。
科学工作者需要轻松一下时，不妨给这些图案上色。也许能从自己的作品中得到某种启发和享受。相关阅读：给图案上色你永远都不会太老，特别是数学图案。
本文通过圆包装向读者介绍几何、拓扑和分析中的一些重要思想，并在离散与连续之间建立桥梁。
与平面镶嵌相关的是几何分割问题。其经典的例子就是上面的将三角形变正方形。延伸阅读：几何分割 II。相关阅读： 脑力训练－几何分割问题。
本文说的是不等式：1 + x ≤ ex。全部的机器学习都可以归根到这个不等式及（从这个不等式证明出来的）切尔诺夫界。为什么这个不等式会在机器学习中频繁出现呢？
上期说到，Laszlo Babai在图同构问题上取得突破。这篇是他的结果的细节部分。相关阅读：Landmark Algorithm Breaks 30-Year Impasse，论文。
八个人围坐在一个餐桌前。他们发现虽然柜子里有很多各种各样的酒杯，但却不能找出八个一模一样的酒杯。然后他们发现，可以找出八个各不相同的酒杯来。这个现象与拉姆齐定理有关。
上期发了一篇“爱因斯坦广义相对论一百年”，现在这篇来自美国数学会。作者认为，爱因斯坦广的数学很好。他的大部分工作依赖于物理结果的数学推导。一个普通的例子是他在吉布斯讲座中的质量和能量的等价，更具挑战性的是他在时空奇点存在性的工作。他在《数学年刊》上有13篇论文。对於一个被认为数学不好的人来说，这个成绩挺不错的。本文要介绍的是“爱因斯坦流形”。
这是一组20个填空题。看你能填对几个？
珊瑚礁的自然之美吸引了无数的游客。但对珊瑚礁环境的定量评估还很缺乏。本文做了一个尝试。
理科狗的逻辑能力真的强于文科生吗？-厦门大学逻辑大赛告诉你！
“居然没有数学系的童鞋进入复赛！这是咋搞滴？数学系学生不屑于参加吗？”不过这些题倒可以试试：厦门大学逻辑竞赛题答案。
双相情感障碍一直困扰著波斯特，即使每天只工作三小时，即使用尽办法平伏情绪，每得到一些新的数学结果，这些发现和创造都让他激动不已，处於症状发作的边沿。对於数学家来说，这可能是最扭曲最恶毒的诅咒。数学家的使命在於发现新的数学，这种发现必然带来的喜悦，对於波斯特来说，却会危及他为了发现数学所必须的清醒头脑。
几年前，杰出的几何学家Eugenio Calabi在一次吃饭时主动说起了纯数学家和应用数学家的区别。纯数学家在卡在一个问题上时往往会把问题的范围缩小以避免模糊不清；而应用数学家则把被一个问题卡住看作是该学习更多的数学并发现新的工具的信号。我很喜欢这个观点。它在当今的大数据里表现明显。相关阅读：机器学习很棒，数学家不知道原因。
我们的时空有四维，三维空间加一维时间。要一下子建立四维的量子时空太困难，事情要从简单的做起，物理学家於是将目光投向了二维空间。要建立量子时空，第一步就是将时空分割成一个个很小的单元，也就是“时空量子”。量子力学的一大特点就是不确定性，在最小的普朗克长度之下，只有概率分布的存在。所以，时空量子的分割方式必须是概率性的，而量子时空在本质上必然不是一个确定的实体，而是不停改变的一种概率模型，这就是概率学家大显身手的地方。最简单的想法，就是将二维平面分割成一个个小三角形，这又叫平面的三角剖分。时空无限，所以这样的剖分必定包含无数个小三角形，而由量子力学的不确定性，不同的分割方式出现的概率应该相等。但既然小三角形有无限个，分割方式也有无限种，怎么确保它们出现的概率相等呢？概率学家先从给定个数的三角形出发，这时剖分只有有限个，自然可以给它们赋予相同的概率。然后，只要让三角形的个数趋向无限，可以证明，在某种意义上，这些三角剖分的概率分布会趋向某个连续的极限。概率学家将这个极限称为“一致无限三角剖分”，简称UIPT，这就是物理学家们需要的模型。
“做数学必须是天才吗？作者认为不是。但要在数学上做出有意义的贡献，你必须努力，努力学习别人的领域和工具，提问，与其他数学家交流，想一个大的框架。当然智力、耐心和成熟也是必须的。但你比需要一个与生俱来的天才基因。”真的吗？这是陶哲轩说的。
万精油墨绿(YOU志平)：四个中国数学家：张伟、袁新意、恽之玮、朱歆文。 四人搜北大数学系同班同学。现都在美国一流大学当教授。同学的友谊使他们能够无隔阂的合作。他们的最新成果解决了L-函数的泰勒展示算法。据说有助于解决七大千年问题之一的 Birch and Swinnerton-Dyer conjecture。他们的工作属於朗兰兹纲领的范围。同时懂数论与几何前沿工作的人不多。他们这个四人组合使得他们有别的单一数学家没有的能力。这个四人组合的能力很早就被著名数学家张寿武看好。中文编译（非翻译）：中国数学天才的华美四重奏: 统一数论与几何。
由罗伯特·朗兰兹提出的朗兰兹纲领在数论和代数几何之间建立起了联系，但追逐该问题面临的障碍是：单个的数学家需要同时在两个领域都有很深造诣，这很困难；两个领域的资深数学家需要密切配合，这也很困难。四名来自中国的数学家恰好能做到后一点，他们通过密切合作在朗兰兹纲领上取得了突破。他们的最新论文发表在arXiv.org上。袁新意 、Wei Zhang、恽之玮和 Xinwen Zhu在北大学习时成为了密友，他们都选择了出国，出国之后他们仍然密切合作。恽之玮和Xinwen Zhu的专业是代数几何，现在是斯坦福和加州理工的副教授，袁新意和Wei Zhang则精通数论，现在是加州伯克利的助理教授和哥伦比亚的教授。Wei Zhang谈及出国理由时说，在中国，数学家并不快乐，他们看来并不享受数学，他们释放出了数学是困难的和选择数学作为终身职业需要谨慎的印象。但哥伦比亚完全不同，数学是快乐和乐观，有动力的。
为世界上知名大学制定一个客观的排名很难。法国Franche-Comte大学的研究人员开发了一个类似Pagerank的算法，将维基百科文章中提到的每一所大学作为网络中的节点，指向它的链接被用于判断排名。研究人员将算法应用于24种维基语言，其中包括英语、德语、法语、荷兰语、意大利语、西班牙语、俄语、还有中文、希伯来语和匈牙利语，这些语言覆盖了全世界59%的人口。他们的全球大学排名是：剑桥、牛津、哈佛、哥伦比亚、普林斯顿、MIT、芝加哥、斯坦福、耶鲁、加州伯克利、柏林洪堡、康乃尔等。中国排名最前的大学是北大（62）、清华（92）、南大（126）、复旦（151）、上海交大（160），等等。详细名单可浏览研究人员的网页。
碳循环在全球范围内表现出新陈代谢。当通过数学镜头来看时，观测数据表明，循环显示出基本的数学结构。这篇是11月里在美国数学会网站上点击最多的文章。
纽约时报在2015年12月6日有一篇关于数学的文章：“让数学解救我们的民主”。文章用两个简单的统计测试作为杰利蝾螈选区的指标。它们提供了一种测量偏见的度量。
普渡大学计算机系教授 Greg N. Fredrickson写了一本书“Dissections: Plane & Fancy”。他介绍了如何把一些几何图形经过一定的变换变成另一个几何图形。
有没有可能，一个共同的特性是一个人们从不同角度观察所得的一个巧合的形式。我不知道怎么定义巧合，但可以给出一些例子来。数学与艺术MaA：【数式骗局】形在意料之外，实在意料之中。有趣！
Suman Vaze是一位艺术家。这里是他的一些与数学有关的油画作品。数学与艺术MaA：【几何定理画派？】漂亮经典的几何定理，一旦成了油画，无疑有了更深层次的美。如图定理：“若三个等圆交于一点，则另外三个交点又确定了一个圆，这个圆与原来的三个圆一样大。”有兴趣证证这些定理。 太阳太阳小太阳酱：右边那图是三年多以前刚去MUWCI，从数学老师那里拿到的第一个思考题。三圆切线延长线交点共线，当时还没学过梅涅劳斯定理证得头都昏了……
在越战期间，美国大学生发生了反战示威。警察开枪打死了大学生，引起了更大的示威。纽约大学的学生冲进了大学的计算机中心。在这关键时刻，请大学继续阅读。
去年受埃舍尔的不可能图形启发的视频游戏Monument Valley上市。现在有了一个免费的版本。博主一下子就花去了四个小时。你也试一试吧。
她出生后二百年，伦敦科学博物馆庆祝拜伦的女儿艾达洛夫莱斯，一位预言了电脑时代的妇女。她被称为第一位程序员。是的，虽然多数程序员是男性，但是第一位是女性。这里有一段视频 (需翻墙)。相关阅读：伦敦科学博物馆纪念科学的开拓者洛夫莱斯。
无论你在微观水平用数学多么精确的描述物质，你仍然缺乏足够的信息预测其宏观行为。研究人员在今天出版的《自然》期刊上发表论文，首次证明一个重要的基本量子物理学问题是无解的。谱隙是半导体等材料的一个关键属性，它描述了电子从低能态过渡到第一激发态所需要的能量。研究人员证明，不可能存在一个通用的方法能判断量子力学描述的物质是否有谱隙。谱隙问题是不可判定的。
大部分男士都曾在公厕里体会过某种程度的社会焦虑。我们天生就具有个人空间感，想要与陌生人保持距离。当有人走近我们的个人空间时，我们就会僵直不已。
陶哲轩：分离和维诺格拉多夫主要猜想的布尔甘-得墨忒耳- 古斯的证明 (需要翻墙)
维诺格拉多夫主要猜想作为分离定理的一个推论得出。相关阅读：二维情况。布尔甘 (Jean Bourgain) 1994年的菲尔兹得主。
关孝和（1642年－1708年12月5日），又名新助，字子豹，号自由亭。关孝和在日本史上有重要地位，是数学流派“关流”的开山鼻祖，被日本人称为“算圣”。他的主要贡献包括发展了笔算代数“傍书法”，提出求解理论并发展出、等概念，建立有关和的问题的理论（后来被称为“圆理”）等等。主要著作有《发微算法》、《括要算法》（死后由弟子出版）、《三部抄》、《七部书》（弟子间秘密流传）等等。
Francis Bitonti是一位喜欢高科技的时装设计家。他最新的项目是与众不同的鞋子。他用康威生命游戏作为一个鞋子算法的起点，制定一些规则，然后让算法来设计出鞋子来。
这是一个关于不可能几何学的入门教程的一部分。上面的现象在许多游戏里会出现。
有不同的定义的傅里叶变换的方法。所以当你看到的傅里叶变换时，你要知道你所处的背景是什么，以及如何从一种形式转换成另一种形式。
望月新一一直在抱怨没人能看懂他的ABC猜想的证明。但数学家们不是不努力。他们在牛津大学专门开了一个研讨会，仍不能肯定证明是对的还是错的。相关阅读：布莱恩·康拉德的牛津IUT讨论班笔记，证明ABC猜想：意义重大，却无人能识？，数论中的对比：世界数学家们，团结起来；除了你们的联系，你没有什么可失去的！
2012年，日本京都大学数学家望月新一（Shinichi Mochizuki）发表了一篇500页的论文，宣布证明了ABC猜想。ABC猜想涉及到质数、加法和乘法之间的关系，由David Masser和Joseph Oesterle在1985年提出，ABC指的是如a+b=c的方程式，它牵涉到无平方数概念。如果证明正确，将有可能在数论领域掀起一场革命。但论文公布3年之后，没人能给出证明正确还是错误的明确答案。望月对此非常不满。12月7日，一些世界上最知名的数学家聚集到牛津的克雷数学研究所讨论望月的证明。牛津大学的数学家Minhyong Kim是研讨会的一位组织者，他说，“人们正变得不耐烦、包括我，包括望月。”数学家并不期待会后能完全理解望月的证明，或能对证明给出明确的结论。他们想要被说服证明含有强有力的新观念，值得进一步探索。与会的数学家认为望月应该把他的证明写的更具有可读性，否则的话今天的状况还会继续下去。
我们都知道密码学与数学关系紧密。具体地说就是数学中的数论和椭圆曲线。这两项就是本文的中心。
达尼尔·诗温特是17世纪的德国东方学家、数学家、发明家、诗人和图书馆学家。1641年，他出版了一套书“Geometriae practicae novae et auctae tractatus”。其中描述了如何用几何来做大地测量。
本文给出了一些电影和与Pi有关的文章的链接。
《危险边缘》（英语：Jeopardy!）是由梅夫·格里芬在1964年创建的美国的电视智力竞赛节目。就像同一类的其它节目，节目涵盖了历史、语言、文学、艺术、科技、流行文化、体育、地理、文字游戏等多方面内容。然而，与这些节目不同的是，《危险边缘》采取一种独特的问答形式：参赛者须根据以答案形式提供的各种线索，以问题的形式作出正确的回答。2013年11月5日有一组关于Pi的问题。请大家都来测试一下。
用激光代替装饰房子的彩灯可以说是一个新的趋势。这篇文章更进一步解释了其中的数学。不过在室外使用激光还是要小心。已经有飞行员对此表达了担忧。
研究人员利用神经网络结构开发了一个声音传译系统，它可以识别一个路面有多么的潮湿。每年都有38万人因为路面太滑而受伤，4,789人死亡。
理由很多哦：数学揭示了深不可测的真理；从六边形的历史可以看到我们为什么如此优秀。那么推广到三维空间呢？结果有些令人意外。
你在阅读数学文献的时候遇到过什么困惑么？读不懂文章也许并不是你不够聪明，而是因为想要读懂数学也是需要一些技巧的。未经训练的人是无法读懂和理解数学的。
Zorich和Tarence Tao不约而同的花了大量笔墨去阐述人们如何建立起实数体系，Tao 甚至从自然数开始讨论问题，一次又一次的重构了减法，除法，极限，细致至极，在这个过程中，出现了非常多的经典的证明题，关于这样的题目，有一个词语可以显示他们的价值“基石”。以及，他们都在后面的篇章开始讨论了度量空间和拓扑的相关内容，所谓大师所见略同，大致如此。那么，为什么呢？
今年早些时候，在百度宣布在ImageNet的图像识别人工智能基准测试中取得了全球最好的结果之后，它被发现有违规行为。百度研究人员使用了至少30个账号在短时间内向ImageNet的测试服务器递交了至少200次，违反了每周最多2次递交的规定。通过向测试服务器递交许多个略微不同的方案，百度能直接根据测试数据对挑选出的方法进一步研究和发展，而不是将测试数据仅仅用于训练和检验。这起事件被称为是第一起机器学习作弊丑闻。百度的反应非常迅速，研究的主要负责人Ren Wu博士遭到解雇。Ren Wu博士坚决否认有不当行为，宣称他的团队对官方政策有不同的理解：他们认为是一个人每周最多向测试服务器递交两次，而不是一个团队每周最多递交两次，他的团队有5个人，所以根据他们理解的规则可以最多递交260次。这个辩解有点牵强，如果真按这种理解，那么团队人数越多越有利，这个规则对小团队将是不公平的。在丑闻曝光前，百度研究人员曾向arXiv.org递交了论文；丑闻曝光后，百度递交了一个不存在的论文替换了原始论文。
这个动态的图记录了一千个美国人在24小时内的每一分钟正在做什么事情。大多数人都是过着朝9晚5的生活。
第129期数学嘉年华献给了印度数学家拉马努金。
Google研究人员上周发表论文称，D-Wave的量子计算机在特定实例下的速度能达到经典计算机的1亿倍。但D-Wave上的测试是受控的，对於解决现实的问题没有什么帮助。它的设备是否是真正的量子计算机一直受到专家的质疑。搜索巨人除了购买D-Wave的机器外，它自己还成立了一个研究量子计算机的实验室，雇佣了知名的量子计算机专家John Martinis。Martinis认为能在2到3年推出真正具有可用性的量子计算机。量子人工智能实验室负责人Hartmut Neven说，Google不想等待D-Wave开发出可用的量子计算机，他指出D-Wave的芯片有诸多缺陷，比如量子比特很不可靠。D-Wave的CEO Vern Brownell则回应说不担心竞争。Martinis的团队最快将在2017年推出有100个量子比特的芯片，而D-Wave的最新芯片有1097个量子比特，但它维持量子超叠加态的时间能长达数十微秒，是D-Wave芯片的1万倍。它将能用于去解决Google的任务，比如人工智能和机器学习。今年3月，Martinis的团队演示了用9个量子比特的芯片去运行表层编码程序。Neven乐观的相信十年内量子计算机将能取代传统计算机。相关阅读：谷歌重大突破：量子计算机或真可行。
百度研究院硅谷人工智能实验室的研究人员在预印本网站发表论文（PDF），称他们的新深度学习系统的中英文语音识别正确率超过了人类。新的系统被称为Deep Speech 2，运行在英伟达的GPU上，性能是上一代系统的7倍，相比上一代降低了43%的英文语音识别错误率，同时还提高了中文识别的正确率。对比测试显示，新系统的语音识别正确率比从亚马逊Mechanical Turk上招募的人类测试者更高。在中文语音测试中，人类组的错误率是4.0% ，而机器是3.7%。百度首席科学家吴恩达说，对於无上下文的短语，新系统的识别能力胜过了人类。
率真、童趣、高明的“段子手”，很难想象，这几个词可以用来形容一位功成名就的中科院院士。但11月刚刚当选发展中国家科学院院士、中国数学会新任理事长的袁亚湘就是这样一位科学家。今年55岁的他用自己对数学的执著与深爱，用孩提般纯真的科研之心，深深地感染每一位听过他的课或曾与他交谈的人。“要想成为一位成功的科学家，一定要保持孩提时的天真”。
Juniper本周发出安全警告，它的防火墙产品运行的固件被发现含有“未授权代码”──被第三方植入后门的委婉说法，它发布了新版固件修复了漏洞。安全专家比较了新旧固件的差异，注意到了几个与椭圆曲线伪随机数生成器有关的16进制值变化。安全研究人员Ralf-Philipp Weinmann和密码学教授Matthew Green 怀疑基於椭圆曲线的伪随机数生成器的某个值是常数。这令人想起了NSA力推纳入政府加密标准的Dual_EC_DRBG（双椭圆曲线确定性随机比特生成器），该算法也被认为存在后门，允许了解内情的攻击者预测加密后的输出结果。目前还无法确定Juniper究竟发生了什么，不清楚是否与NSA以及有缺陷的Dual_EC_DRBG有关。值得一提的，Juniper曾在2010年遭到极光攻击。相关阅读：Juniper ScreenOS绕过身份验证的后门，分析后门的后门。
一百年前，还没有3D打印，人们是怎样做模型的呢？
这个图形告诉你如何把8个完全刚性的正则四面体沿著边连起来以形成一个环并能把里面翻出来。它就是kaleidocycle。
二阶布鲁恩链接：剪断其中一条，其他的也随之而断。
用彭罗斯瓷砖铺满美国地图似乎有一些挑战。作者说：“Penrose tilings are the new hexbins”。但什么是“hexbins”呢？原来“hexbins”最初是指一组函数 (或者说算法) 用来自动地用六边形作图。所以，作者是把这个概念推广了。
本文回答能否在圆盘上实现单一多边形的密铺问题。
走进希尔伯特的书房，我看到临街有两扇几乎落地的大玻璃窗，其余三面墙壁摆满了书架。女主人泡了一壶红茶，还是上次那套茶具，后来我对比照片，发现教授脖子上系的领带也没变，生活是如此简朴美好。汤姆逊教授夫妇均是生物化学家，男主人还是哥廷根科学院的院士。40年前，他们从希尔伯特的保姆那儿买下这座当年希尔伯特亲自参与设计建造的房子。
20世纪上半叶，哥伦比亚大学数学教育系主任Eugene Smith认为，数学的教育必须与数学史相结合。Smith有一个出版业的朋友George Arthur Plimpton。在Smith的影响下，Plimpton收集了大量数学教科书。这里是连接。
这是适合学前班的一个认识数字的游戏。就是用一些一次性水杯。孩子只要能认识数字就可以玩这个游戏。相关阅读：十个水杯游戏
“概率”这两个字，除了课本以外，最常出现的地方也许就是天气预报中的“降水概率”，也就是未来几天下雨的可能性有多大。在数学中，概率论是专门研究“可能性”的一门分支。它涉及的问题非常广泛，内容远远超出了中学课本里那些刻板的习题。一切随机或者不确定的事件，都是概率论研究的范畴。上至气象下至金融，甚至连“磁铁的磁性怎么来的”这种物理问题，都可以用概率的方法来研究。但这门学科的诞生却有些“不太光彩”。
我们的时空有四维，三维空间加一维时间。要一下子建立四维的量子时空太困难，事情要从简单的做起，物理学家於是将目光投向了二维空间。要建立量子时空，第一步就是将时空分割成一个个很小的单元，也就是“时空量子”。量子力学的一大特点就是不确定性，在最小的普朗克长度之下，只有概率分布的存在。所以，时空量子的分割方式必须是概率性的，而量子时空在本质上必然不是一个确定的实体，而是不停改变的一种概率模型，这就是概率学家大显身手的地方。
曾有媒体拿张益唐和陈景润比较，张益唐表示，“客观地讲，我的研究应该比陈景润好，但陈景润应该也是第一流的，我们的研究成果都是第一流的。我的研究似乎更有突破性。陈景润是从1＋3进展到1＋2，我的研究是从无限变成了有限。”在被北大校友找到、落脚新罕布什尔大学之前，张益唐在赛百味打工，那时不管是朋友还是家人，联系上他都不太容易，妹妹还曾经在网上寻人。张益唐后来称那段日子“是不太想跟家人联络”。他还说，数论，容易理解，但又深奥，非常难证明。这种反差就是美。
陶哲轩在Polymath上代表Dinesh Thakur提出了一个新的提案，解释一些多项式换上数值上观察到的恒等式。
在奥数里有一个著名的柯西函数方程f(x + y) ＝ f(x) + f(y)。它有一组解： f(x + y) ＝ cx。但在实数中，这个方程仍然有这一类解，然而存在着其他非常复杂的解。似乎没有奥数选手讨论它。
拉马努金是数学天才。但他数学上失败过吗？这个问题一直是个谜。本文告诉你一些事实。
博弈理论（公开课本及165道有解联系） (PDF)
加州大学戴维斯分校教授Giacomo Bonanno写的一本书，完全免费。
微积分核心概念的无矛盾表述 ───不需无穷小、极限等概念的增量分析
贝克莱悖论没有、也根本不可能如很多人所认为并声称的那样被消除，而只是在若干繁复、生僻的概念、定义、步骤之下被掩盖。基於此认识，把先前提出的唯一可以彻底解决此类矛盾、并且根本无涉极限、潜无穷、无穷小概念的导数的全新定义，推广到微分、积分领域，以彻底解决、澄清数学分析基础理论中的一些疑难问题。
数学英才
imath
好玩的数学
超级数学建模
数学历史文化的沉淀，铸就了一个个美丽数学符号，其像颗颗璀璨明珠闪耀在数学时空。分式是分数的拓展，分数是分式的特例。无论是分式还是分数，自然都离不开分数线。我们现今应用分数线应是娴熟自然，其上方为分子，下方为分母。正是分数线这条美丽彩带连接起分子和分母。然而这条看似简单的横线却凝结著人类上千年的的智慧，蕴含著数学家对分数、分式的科学审视，其演进过程彰显著数学发展的内在动力。
根据美国数学会《数学评论》引文数据库（MR Citation Database）的统计结果，2015年高引论文Top10和高引专著Top10分别摘引如下，供大家参考。
曹广福：说课（15）（数学与文化，“研究型”教学的可行性）实变函数
请大家回顾一下控制收敛定理的证明，分析一下控制函数在证明中发挥了什么作用？这个控制函数是不是必须的？时间在悄无声息中流淌了二十分钟，总算有个同学自告奋勇上来给出了证明。当我要求同学们针对这个证明进行分析从而寻找控制函数在证明中发挥了什么作用时，全堂茫然。
我原来认为爱因斯坦方法论的“基点”是概念的自由发明（即他说的arbitrary concepts），“纯粹的思想能把握实在”。前些天在一篇文章里看到爱因斯坦的一张明信片，它背后的故事改变了我的想法。
弗里德曼从纯数学的角度研究爱因斯坦的广义相对论，找到爱因斯坦在场方程中加进的宇宙常数一项是没有必要的，并且，他发现爱因斯坦在证明稳态宇宙解的过程中犯了一个错误。最后，弗里德曼从场方程解出的宇宙模型是随著时间而变化的，这正好和当时哈勃公布的观测结果相吻合，这两件事实使得爱因斯坦懊恼不已，以至於在一次谈话中对伽莫夫表示加入“宇宙常数”是他平生所犯的最大错误。相关阅读：探寻宇宙的第一束光
哥德尔不完备定理是数理逻辑领域的一个重要定理，某种意义上颠覆了人类的世界观。但是对哥德尔不完备定理有很多误读。本文企图对此澄清。
从19世纪开始，力学和物理中使用的几何学的语言越来越多，或者说力学和物理规律用几何语言来表述。这种趋势被称为物理的几何化。继续阅读：力学的几何化（二）黎曼几何与拉格朗日动力系统，力学的几何化（三）辛几何与哈密尔顿动力系统，力学的几何化（四）变换群与动力系统。
白图格吉扎布：数学启蒙老师，特奥多鲁斯螺旋，和商高指数（4）
我的系列博文“数学启蒙老师，特奥多鲁斯螺旋，和商高指数”，从我中学的数学启蒙老师张志湘写到五十多年后我今天的系统动态分析和投资实验，关于“螺旋”的故事本来已经基本写完了。最近，接到博友“奔流”微信:“写得挺好。螺旋根据商高定理，18以后依然成立啊，为什么只到17？”
文章分析了关于外势能的弹性势能机械能守恒定律满足力学相对性原理，也具有单独的协变性，弹性势能不具有伽利略不变性，解决了关于这个问题的争论．
为什么要学习数学史？数学思想的起源与传播有其自身规律，相对其他学科来讲有更强的连续性。数学理论体系从未发生推倒重来的情况，数学发展史上的每一次突破都奠基於前人成果的基础之上。因而，温故知新成为数学传播研究的必由之路。数学史的研究也显得十分重要了。
力场(Force Field, 常简写为FF)这个物理学名词听起来有点高深，可如果理解了它的含义你就会觉得这是很自然的一个概念，没有什么特别之处。那如何描述场呢？力场与拓扑之二：如何选择力场，力场与拓扑之三：GROMACS力场及拓扑文件说明，力场与拓扑之四：GROMACS力场拓扑文件的创建。
高超声速的流动{相似律}的研究对於风洞实验特别有指导意义，对於小尺寸的{模型}只要相似数与实际物体一样，就具有相同的流场，这样就可以使用小尺度模型通过风洞试验来模拟原型的流场。
在人类社会知识宝库的众多成果当中，哥德尔的不完全性定理大概是被误解甚至被歪曲的最多的定理了。希望这些关于哥德尔的不完全性定理之原始陈述的图片能够让阅读者清楚地理解哥德尔的不完全性定理到底断定了些什么，没有断定什么？
使用子句消去法对3-SAT求解，最后会碰到剩余子句块多解的情况。如果我们只选择0和1表示，就会使那些很容易就得到的多解无法表出，为此需要引进确定了一个变量值后的剩余多解子句块的表示方法，这样一次可以获得更多的3SAT解表示。
把黎曼几何的度量进行推广或少许改变就会得到新的几何。现在引进一种比较大的改变，从而产生一种崭新的几何：辛几何。
曲面上所有无旋无散矢量场成群，此群和曲面的上同调群同构，这就是所谓的霍奇(Hodge)理论。相关阅读：（二），（三），（四），（五），（六）。
在前面的章节，我们已经讨论了低亏格曲面的共形不变量和它们基於全纯微分的构造方法。在这里，我们讨论高亏格曲面的情形。
全宇宙所有物质体（笼统地说，星球）张开一个空间，在刻下有限的时间段内。经过这样的操作后，时空是否可以说是非常地接近於是“绝对性”的？时空不能够脱离物质而存在；进一步地，“取刻下时空”的这个操作，放弃了较为远一些的过去和未来（然而携载著过去世界的信息的光线，仍在刻下的时空中飘荡）。
我们的NP（Nondeterministic Problem）定义的基础是可计算性理论、图灵机和判定问题（Entscheidungsproblem，“停机问题”），与流行的NP（Nondeterministic Polynomial time）定义有本质的区别。
1675年， 莱布尼兹分别引入「dx」及「dy」以表示x和y的 微分（differentials），始见于他在1684年出版的书中,这符号一直沿用至今。微分符号d取英文differential,differentiation的首个字母(difference)。其中，与微分概念及符号d相关的英文单词有divide,decrease,delta等。另外，符号D又叫微分算子。
正是因为数学的发现和发明的双重属性，使得数学兼具科学学科和人文学科的魅力。它既是追求真理的人不断探索发现的阵地，也是文艺青年抒发个人情感的战场。不过，数学中诸多定理能在现实的物理，生物，甚至经济中找到对应物。这也是数学学科的一个神秘之处。一个人为创造的ZFC系统居然与现实高度吻合，这种神秘现象背后的奥秘，我们不得而知。
维纳18岁就获得了哈佛大学哲学博士学位。在其博士论文答辩会上，主席看他一脸稚气，便好奇地询问其年龄。不料，维纳回答：“我今年岁数的立方是一个四位数，岁数的四次方是一个六位数，这两个数正好把0~9这十个数字全用上了，不重不漏……”。秘密：维纳生于1894年11月26日，卒于1964年3月18日，即，若考虑月份因素的话，那么，维纳享年69岁。但是，69这个岁数也是一个非常神奇的数：69的平方是一个四位数4761，记为A；69的立方是一个六位数328509，记为B；把这两个数串起来后，得到AB=4761328509，它又是0~9这十个数的一个置换！真不可思议，难道维纳“69岁去世”也是天命所定？！要知道，他是在斯德哥尔摩讲学时，心脏病突然发作而逝世的。
迫在眉睫的小数点（大西瓜），不去发明；而是费劲巴拉地倒腾圆周率（小芝麻）。只要结果，不要方法。这是和真正的科学背道而驰的。
在相当长的一段时期内，由於物体的运动速度都不太大，与真空中的光速相比完全可以忽略不计，任何实验都没有发现物体的质量在运动中会发生变化。因此，人们就随意地将牛顿第二定律的表达式“简化为”F=ma，并且一直沿用了下来。那么我们不禁会问，为何牛顿当初没有在著作《原理》中将其简化？难道当时他已经预见到物体的质量会随著运动速度而变化吗？如果真是这样，牛顿是怎样预见到只能用物体的动量随时间的变化率来表述物体所受到的力呢？但是这在他的所有著作中都没有作出任何论述，因此后人也就无法了解甚至无从猜测牛顿当时的真实想法和思维依据。更为有趣的是，牛顿第二定律在当时是归纳大量的实验观测结果总结出的，而不能由理论推导出来，而且在当时的所有实验过程中都从未发现过物体的质量会随运动速度而变化的迹象，这就使得牛顿当时的思维更加扑朔迷离。
百度了一下“手套 拓扑”找到了百度词条里有这么一段：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有著本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若自你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。应行仁：手套翻转时把里面变成外面，莫比乌斯带没有内外之分。“手套翻转时把里面变成外面，莫比乌斯带没有内外之分。”是一种形像的说法。莫比乌斯带子和没厚度手套都是嵌入三维欧几里德空间的二维物体。一个没方向性一个有。把手套拉伸展开是一个平面园，即它们同胚。它们不与莫比乌斯带同胚，即不能通过拉伸压缩（双向连续一一满映射）相互变换。那种“把它搬到莫比乌斯带上来”的是一种非常含糊的形像说法，不知道它的确切所指无法清楚解读。
高维的“特奥多鲁思螺旋”是17*17的对角矩阵I。对角矩阵是加法群。对角矩阵是乘法群，有四则运算，满足交换链，结合律，分配律。去掉上下三角形冗余的N*N-1个零，对角矩阵成为多元向量。多元向量是有“方向”和“量值”的变量。多元向量是乘法群，是资源竞争多元系统动态分析的有力工具。
杨正瓴：感谢“中科院科学智慧火花”：某些NPI 可能是处在相变边界的NPC
某些NPC，随著数量关系的增加，存在从P到NPC的相变。猜想：某些NPI可能是处在相变边界的NPC。“约翰逊图 Johnson graphs” 会不会是NPC的？
做社团研究的同学们都需要的benchmark graph。感谢Santo Fortunato将其无私的放在自己的网站上，供大家随便下载。
我们认为我们的选择既保住了数学公理化，形式化的味道，另一方面也大量调用生动活泼的自然语言。这样的数学，是严谨而充满诗意的数学。值得一提的是，我们认为数学公理化并不排斥应用。事实上，好的应用数学在建模之后，就转化为纯数学问题。数学与很多自然现象甚至社会现象有极强的吻合度，挖掘这种吻合自然也是很有意义的工作。应用数学的魅力，一部分在於建模，另一部分是形式推演，这一部分与纯数学别无二致。
冯·诺依曼架构有五个构成部分，分别是计算器、逻辑控制装置、存贮器、输入系统、输出系统。对比我们在图3和图4描述的标准智能模型和标准智能模型知识交互图，可以发现冯·诺依曼架构在互联网条件下的新人工智能时代可以补充两个部分，通过这种补充，试图将人，机器，人工智能系统用一个更为明晰的方式表示出来。
流行观念“NP问题是可计算，但是难计算”的理由是，“NP问题存在著指数时间复杂度（精确求解）的算法，但找不到多项式时间（精确求解）的算法”。我们认为，这样的观念存在著认知错误，其根源在於人们未深究“算法”的本质。实际上，“算法”这一概念涉及到二个不同的层次：实例和问题，人们混淆了这二个层次，导致对“算法”概念的模糊。
偶数拆分细细察，总得素数两相加，百年求证尽沉沙。围点打援施妙计，一加二最近珠花，缅怀陈氏泪嘀嗒。
在爱因斯坦的相对论里，光速在真空中恒定，是作为一种公理或者假设提出的。我相信他的结果。但是，我认为光速恒定不应该是原因或者公理，而是结果或者说定理。
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