康奈尔大学研究生 Yash Lodha 和他的导师 Justin Moore 宣布解决了困扰数学家84年的冯诺依曼-戴问题。最近很多媒体报导了一个消息：一个困扰了数学家几十年的难题被康奈尔大学的研究生找到了优雅的答案。这个由大科学家冯诺依曼于1929年提出的问题被研究生Yash Lodha提出的几何方法完美解决。

“巴拿赫－塔斯基定理”又称“分球怪论”，是一条数学定理。1924年斯特凡□巴拿赫和阿尔弗雷德□塔斯基首次提出这一定理。这一定理指出在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限（不可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。巴拿赫和塔斯基提出这一定理原意是想拒绝选择公理，但该证明很自然，因此数学家认为这仅意味著选择公理可以导致少数令人惊讶和反直觉的结果。有些叙述中这条定理被看成是悖论，但是定理本身没有逻辑上不一致的地方，实际上不符合悖论的定义。

张益唐4月份投稿。5月8日下午或晚上的时候，审稿人的报告就出来了，我是5月9日早上看到的。看了之后，我都愣住了──没有想到评价会高到那个秤谌。（注：评审报告中写著这样的评价： “论文的主要结果是第一流的”、“在素数分布领域的一个标志性的定理”。审稿人伊万列斯在写给丘成桐的信中说： “张益唐的文章三周前被《数学年鉴》（Annals of Mathematics）接受，而在此之前，他在解析数论学界并不为人所熟知。但是他掌握解析数论最复杂课题的知识，并得以运用自如。他能够突破令许多专家都止步不前的屏障，并非因为人们忽视了微小之处，而是由于他引入了全新而巧妙的布局并漂亮的加以执行。仅从论证的清晰的逻辑架构，你可以立即感受到这项工作几乎无可置疑的优秀。这并不意味著这篇文章简单或者初等。恰恰相反，张的工作是解析数论的顶峰之作。他也优雅地借用其他领域的工具，比如间接用到有限域上代数簇的黎曼猜想。张的工作将引发持久雪崩式的优化和改进，以及随之而来的理论创新。一夜之间，张重新定位了解析数论的焦点。随后的进展需要等待多久，令人期待。”）最近出现了两篇有关张益唐的新采访记录，标题分别为“张益唐：我的研究比陈景润更有突破性”和“张益唐论文全球没有10人能懂 引起轰动”。这两篇采访记录开头部分及参与对话者是相同的，应该是同一场合、同一次采访，不知怎的在几乎所有网站上都遭腰斩，分散成了两篇，且似乎发布到了不同网站（比如明镜新闻网和万维新闻网）。这里简单合并一下吧。又：张益唐将获美国数学学会著名的Cole奖，数论界的最高奖。

用源于物质实践的理论演绎，对西方数学史权威M.克莱因的“数学是在哪里开始出现的？”和西方学术界的“[理论]物理学陷入困境: 接下来该怎么办？”这两个问题给出回答。

数学不只是能买菜，至少在批驳别人时也有可能用到。

高考是富有权威的指挥棒，如果数学在高考中弱化甚至“滚出”，那么它在中小学教学中的弱化甚至“滚出”，就几乎是注定的结果。这种论调过了头。

学习数学不仅是为了知识和应用，甚至不是为了解题、推理和交流，而是要把这些能力培养成学生的思维习惯。只有这时，一个人才能说成是有数学素养的。

自2000年以来，53%的Franz Edelman 运筹学大奖都给予了整数规划方面的人员。你是不是也应该知道什么是整数规划的优化问题呢？

数学标记语言（Mathematical Markup Language，MathML），是一种基于XML的标准，用来在互联网上书写数学符号和公式的标记语言。

赌客赢钱的概率有多高？其实并不乐观。很多赌场从10%的客户那里获取了约90%的利润。

高斯去世后，他的大脑被保存起来。但过了一百五十多年后突然发现，其实他的大脑早就被人换过了。

本文描述一些医学成像中出现的被标准指数函数和三角函数所满足的非线性微分恒等式。

图灵的故事。计算的极限（零）：逻辑与图灵机；计算的极限（一）：所有机器的机器，与无法计算的问题；计算的极限（二）：自我指涉与不可判定；计算的极限（三）：函数构成的世界。

视觉洞察力是一个有助于解释数学高级主题的分享惊人图像地方。

在前期笔者对哥德巴赫猜想的证明思路的基础上，针对该证明中的误差问题，进一步进行解释并给出更明确的补充证明，使证明更其严密与完善。

详细内容续下载电子书。

不容否认，英语和数学，以及其他的科目，都存在中学学得过难，学生应试负担沉重，但在随后的工作、生活中相当数量的人所用不多，还有的甚至把所学全部“还给”老师的情况。但解决这一问题，不是取消这一科目、让其“滚出高考”那么简单。

这是英国皇家学会关于未来十五到二十年英国科学和数学教育的远景规划。

这是用Mathematica生成的。自从这个图像出来后，立即有人做了这个。注意还有可控制的参数呢。

如果你认为数学只是做做加减乘除，那么你就out了。

美国人也问同样的问题。

谷歌纪念“人脑计算机”夏琨塔拉·戴维。她不用计算器可以算出61629875的立方根。

都有解答。

挺好玩的数学游戏。不知道是因为比较新，还是不够流行，维基百科没有收集这个词条：Numenko。这个游戏有点像计算24。但限制更少，所以更难一些。

可以说“0”是没有，也可以说很大，也可以说很小；比它大的太多太多，比它小的也太多太多。有多少比它大，就有多少比它小。人类对自然的破坏，导致许多植物、动物灭绝，这“灭绝”也是“0”了。如果哪位研究生做一篇题目为“‘0’的辩证法”的论文，在答辩时愿意通知我，我会去凑热闹。

“让更多人尤其是孩子们边玩边学，不再惧怕数学。”梁海声说，如果能用一己之长，为公益事业出力，那是最好不过的事。他走进盲人培训机构教折纸，没想到，盲人的感悟能力和空间造型能力，比正常人更出色，黑暗中的对话，令他惊讶和感动。

儿童6个月时的语前数字感，预测了他们3年后的标准化数学测试成绩，即便在研究人员控制了一般智力因素之后也是如此。科学家表示，这些发现提示婴儿期的数字感为之后的数学能力提供了一个基本构件。

一位有著国际声望以及丰富国际关系资源的法国数学家被邀请成为欧洲研究委员会（ERC）新主席。ERC是欧洲前沿科学的基金资助机构。Bourguignon毕业于巴黎综合理工学校，专业为微分几何，并且获得了巴黎第七大学的博士学位。这里有一个类似报导。

数学并非总是枯燥乏味，抽象逻辑自有它的趣味和美丽，而且它能拓宽人类智识和精神空间的边界。然而，这真的是我们的中小学教育的目标吗？

丁石孙确实是位好学生、好教授、好校长、好官员。好在他读书用功，学术求精，校务求真，从政求实。

选定两个行星，将其位置连起来，可以得到美丽的图形。上图就是地球和金星跳舞的轨迹。

由数学悖论说开去；跑的最快的神追不上小乌龟；两平行线有交点；模糊与精确；拓朴之释；拐点；谈谈黄金分割率与生活。

统计学家乔治·博克斯 (George E. P. Box) 有一句名言：“所有模型都是错误的，但有些是有用的”。

“考拉兹猜想”又称“奇偶归一猜想”，3n＋1猜想、冰雹猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想。它的意义不在其难度，而在于其本身的意义。最基本的问题是：一个数a的素数分解会对a + 1>的素数分解有什么影响。

“克里福德环面”(Clifford torus) 是R⁴中的一个特殊环面，可以被看作是在C²中。它以英国数学家威廉·克里福德 (William Clifford) 命名。

热带几何是数学的一支，“热带”一词源于部分法国数学家对巴西的刻板印想。大略言之，热带几何可谓是分片线性化的代数几何。它在计数代数几何中有重要的应用。

埃尔德什数是根据最多产的现代匈牙利数学家保罗·埃尔德什之名命名的，是描述数学论文中一个作者与埃尔德什的“合作距离”的一种方式。

对民间传说的由来的研究有了新的进展，这就是通常生物学家们使用的的生命进化树图方法。

无论何时何地，人们都对黄金倍加赞赏。2011年，有些市场上每盎司黄金的价格已经超过1900美元。 许多年来，因为石油的重要性与价值（现在每桶石油的价格超过100美元），人们常常将它比喻为黑金。 但在未来，“数据”能成为真正有价值的商品吗？尚若如此，它与数学有什么样的关系呢？

刚结婚时，我跟她说，我要做什么，她说你做出来没有呀？吹牛！后来我也不吹牛了。在这个过程中，我只是婉转 地跟她说了一次。我说：“你呀，最近中文网站、媒体呀，你稍微注意一下，”我没有说是 有我的消息，我只是说：“有点消息可能跟我有关。”她回答我说，是不是有点喝多了，在胡说什么？我觉得她至少没有把这当回事。等她看到之后，她当然就来电话了，告诉我，说网上到处都是你的消息 ，你这出了名，出门的时候要把头发梳好。

什么是几何？什么是线性规划？在这两个领域都做出杰出贡献的数学家Victor Klee，把几何和线性规划的研究巧妙的结合在一起。本文用浅显的语言描述了数学、应用和问题的背景。

数学理论发现迄今最广泛的应用就是傅里叶变换，其涵盖的领域包括：量子物理、射电天文学、MP3 和图像压缩、X-射线晶体学、语音识别、PET 或医学扫描。

国际TOP500组织11月18日公布了最新全球超级计算机500强排行榜榜单，中国国防科学技术大学研制的“天河二号”以比第二名美国的“泰坦”快近一倍的速度再度轻松登上榜首。美国专家预测，在一年时间内，“天河二号”还会是全球最快的超级计算机。

１.数学的美在于发现规律；２.数学如同诗歌一般美丽；３.少考试，多看课外读物；４.数学头脑能帮助成功。

5月13日，一位默默无名的数学家宣布证明存在无穷多个相差小于7千万的素数对。张益唐当时是新罕布什尔大学的讲师，他的发现是孪生素数猜想证明的一大突破，首次在素数对之间成功设下一个有限界限。在随后的几个月内，张益唐马不停蹄的在各大著名大学发表演讲，中国大陆和台湾的顶级研究院都发出了聘请邀请，普林斯顿高等研究院提供了一个访问学者职位，新罕布什尔大学表示将晋升他为正教授。与此同时，张的研究引发了一个疑问：为什么是7千万？这个数字并不特别，只是为了简化证明而引入的。其他数学家立即意识到他们可以缩小这个数字。到了5月底，数学家通过调整张的证明，将界限缩小到6千万内。6月4日，UCLA的菲尔茨奖金得主陶哲轩发起了Polymath项目，吸引了许多数学家合作去取得更小的结果。7月27日，界限从7千万缩小到了4680。11月19日，数学博士后James Maynard在预印本网站发表论文，将界限进一步缩小到了600。Maynard的方法不仅可以应用于素数对，而且可以应用于更大的素数集合，可以得到任意选择的素数量的界限群。陶哲轩也独立的得出相同的结果。张益唐热衷于独自研究，但陶哲轩则建议年轻数学家不要走这条危险的道路，除非你的职业已有保障，他也指出不是每个数学问题都能达到这种秤谌的合作。英文来源在这里。

英国面向中学生的数学杂志iSquared Magazine开放了数期，在线阅读。

这个设计有些新意，你能看出多少错误？

Julia是一个面向科学计算的高性能动态高级程序设计语言。其语法与其他科学计算语言相似。在许多情况下拥有能与编译型语言相媲美的性能。一群拥有各种语言丰富编程经验的Matlab高级用户，对现有的科学计算编程工具感到不满──这些软件对自己专长的领域表现得非常棒，但在其它领域却非常糟糕。他们想要的是一个开源的软件，它要像C语言一般快速而有拥有如同Ruby的动态性；要具有Lisp般真正的同像性（Homoiconicity）而又有Matlab般熟悉的数学记号；要像Python般通用、像R般在统计分析上得心应手、像Perl般自然地处理字符串、像Matlab般具有强大的线性代数运算能力、像shell般胶水语言的能力，易于学习而又不让真正的黑客感到无聊；还有，它应该是交互式的，同时又是编译型的……

北大数学院的校友不仅院士辈出，更涌现出许多学界摰谝粩。截止2013年，北大数学院培养了中国科学院院士29人、中国工程院院士6人。其中1952年以后培养的中科院数理学部院士有张恭庆、姜伯驹等10人。正值盛年的校友，田刚、郁彬先后当选为美国人文与科学院院士。田刚院士2002年在国际数学家大会作一小时报告，成为国内数学家第一人；2012年他又受邀担任国际数学权威奖项阿贝尔奖评委会委员，这也是中国数学家第一人。

龙以明主要从事哈密顿动力系统与辛几何的研究，获得了具有国际领先水平的系统的原创性科研成果。他特别对辛道路的指标理论做出了重要的贡献，系统地建立了其指标迭代理论。国际著名文摘杂志美国《数学评论》曾专门撰写重点评论文章称龙与其合作者“对此指标的发展作出了决定性的贡献”。在哈密顿系统给定能量的周期轨道和芬斯勒球面的闭测地线等研究中龙以明获得了重要突破。这些成果被发展中国家科学院网站评价为“突破性发现”和“将此领域的工作推进到了‘令人震惊的新水平’”。

钱敏教授主要从事概率论和动力系统领域的研究。他与合作者以随机过程和动力系统为基本模型，提出并发展了一整套有关遍历论、熵、时间可逆性、非平衡定态等数学物理核心问题的数学理论，并应用于具体的生物化学问题，发现其中的数学物理规律，得到了一系列重要成果。钱敏教授等对马尔可夫链与扩散过程建立了环流理论，对平稳马尔可夫过程引进了时间不可逆性和熵产生率的概念，对多个不同模型给出了熵产生率的表达式以及过程不可逆的一系列等价条件；完整而清楚地论述了光滑随机动力系统的裴森(Pesin)理论，对自映射证明了列炯皮亚－杨(Ledrappier-Young)分维熵公式。钱敏教授的数学研究背后都有著十分敏锐和深刻的物理直观，这也使得他的工作新颖而独特，为数学物理相关领域的发展提供了新的动力和方向。

孙笑涛，中国科学院数学与系统科学研究院研究员。现任中国科学院数学与系统科学研究院数学研究所副所长。 孙笑涛研究代数几何，他主要研究的问题为一流数学家所关注，成就突出。 对特徵p 上的代数簇的Frobenius 映射，他发现并证明了两个不等式，从而揭示了该映射与稳定向量丛之间的深刻联系。 对 G-丛模空间退化的理论，他解决了一个基本的问题：证明了任意秩的广义theta 函数空间的分解定理。 并且确定SL(r)-丛模空间的极小有理曲线，证明Seshadri- Nagaraj 猜想。其他的工作包括：对曲线上稳定向量丛模空间中极小有理曲线，孙笑涛解决了Jun-MukHwang 的一个问题；证明了Faltings 的正则性定理在非半稳定的情形仍然成立，从而回答了S. Lang 的一个问题；与他人合作最先研究“Arakelov-Yau不等式等号成立”时的纤维化，发现这样的纤维化具有“令人意外”的算术性质。

叶向东，中国科学技术大学教授，现任中国科学技术大学副校长。 叶向东在拓扑动力系统和遍历理论以及它们在组合数论中的应用研究方面取得了具有国际影响的学术成就。他与合作者在动力系统熵的理论、动力系统的复杂性理论、动力系统的结构定理与组合数论等三个方面做出了重要贡献：推广了著名的Karpovsky,Milman, Alon 的组合引理，引入极大熵的概念并且证明了其取值为离散的；证明不同点对均为序列熵对的系统恰为弱混合的，解决了Blanchard 等人的一个公开问题；利用极小系统的结构定理刻画了拓扑null 系统的结构。在Furstenberg 经典文章中一个公开问题的研究中和在混沌层次的研究上取得重要成果，证明Devaney 混沌蕴含Li-Yorke 混沌。另外还证明任意极小系统都存在极大的d－步幂零因子，从而得到极小系统更精细的的结构定理并将其应用到组合数论的研究中。

我（陶哲轩）最终决定在这里写一些关于如何安排时间的建议。其实，我有这个打算已经一段时间了，可是就我自己的情况而言，这方面也还在做著探索，而且很多想法未必成熟。（已经有一些经验写在advice on writing papers,比如page on rapid prototyping）而且，我的一些个人经验恐怕也不能对所有人通通适用，因为每个人都有不同的性格类型以及工作状态。欢迎大家把自己的想法啊，经验啊，或者建议在评论中写出来。（其实，即使我自己的经验，我有时候也不能严格的遵照，挺遗憾的。）

二战时破译密码、帮助皇家海军取得胜利的杰出女密码学家和计算机科学家Mavis Batey于本月逝世，终年92岁。她战后华丽转身，成为作家，著有Jane Austen and the English Landscape (1996); Alexander Pope: Poetry and Landscape (1999)，Dilly: The Man Who Broke Enigmas (2011)

给定N个正方形，最小能把它们都装进去的正方形是什么？结果有些令人惊讶。

给定平面上一个开放的多边形链（也称为多边形路径或多边形的弧），是否有一个连续的运动可以把它在在保持相同属性的条件下变成直线？

今天尝试著回答一下这个不解之谜。

Evaluate算法（密文计算），这个算法是整个全同态加密四个算法中的核心。可以做个这样的比喻：前面三个算法是大楼的地基，后面这个Evaluate算法就是大楼。

给人类数理科学带来新知识的主渠道恰恰是“演绎推理”以外的其它思维。

恒大一边的比赛结果是一个拉马努金恒等式首尔一边的比赛结果是一个欧拉公式。

《数学与人文》第11辑以“好的数学”为主题展开论证和讨论，我们不妨听听数学大师如何评价数学的“好”与“坏”。

悖论译自英文Paradox，指产生了矛盾的推理，通常是逻辑和常识之间的矛盾。这个矛盾可能是逻辑错了，也可能是常识错了。甚至有可能是我们习以为常的观念和原则错了，一系列逻辑推理，导致逻辑上的自相矛盾。这些矛盾，因为其匪夷所思，有时按感受翻成“吊诡”，惊叹其怪异。中文“悖”是相冲突，违背道理的意思，“论”是命题，用“悖论”特指明知是错，又说不出所以然，自相矛盾的命题很准确。所以这译法经常用在逻辑学，数学和哲学的Paradox上。

一些联接。

一个具有工程背景的数学模型，不知道如何求解，征解。

蒲公英童书馆非常有名气，最近推出一套《汉声数学图画书》，翻译自美国七十年代书籍，这套丛书，我感觉非常符合我们数学家的口味。

其实不少学校很了解某些兼职的院士和引进的海外学者在学校只参加极为短暂的研究，但由于学校聘请这些学者后，往往可以一起申请国家大的研究项目，所以很难知过改过。至于这些人对培养学生和科学研究的实际贡献，则不当回事。

推荐系统中经常用到的两个基本模型，一个是概率隐语分析(Probabilistic Latent  Semantic Indexing简称PLSA)，另一个是奇异值分解(SVD)。二者都是隐变量模型，是矩阵分解，都对原矩阵进行了降维，并且都是非监督学习。 虽然形式上很相似，但是二者在实际应用中区别还是很大的，不能混淆使用。

前面介绍了主成分分析，概率主成分分析是对主成分分析在概率上的一种推广。

青年问禅师：“大师，我很爱我的女朋友，她也有很多优点，但是总有几个缺点让我非常讨厌，有什么什么方法能让她改变？”禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你需先下山为我找一张只有正面没有背面的纸回来。”青年略一沉吟，掏出一个麦比乌斯环。

从黑洞热力学、从引力熵的Weyl曲率描述，甚至从更狂野的引力的热力学起源（引力被看做是一种熵力）来看，热力学的几何也许有著更奇妙的未来，但那大概不是图象思维能想到的吧。

我学习科学方法论有三本启蒙读物：贝弗里奇的《科学研究的艺术》（中译本，1979）、王子坤的《科学发现纵横谈》（第一版，1978）、徐利治的《数学方法论选讲》（第一版，1983），都是“科学的春天”里的畅销书，首版发行量达几十万册。已届93高龄的徐利治先生不仅数学造诣颇深，而且国文底子雄厚，至今笔耕不辍。读他的著作就像聆听一位慈祥老者教诲，如沐春风，点点滴滴治学诀窍，如同春雨滋润心田。所以很想邀约博友们一起来享受。

华罗庚先生后期做统筹法优选法时常在身边的弟子计雷先生回忆过华先生在日本去世的场景，说到日本人的应急管理真不是盖的，华先生报告过程中倒下后的第一时间，同一所大学里的医学教授就被紧急喊来做第一步急救，这边正在做急救时，最近医院的救护车就到楼下了，可谓一步不落、无懈可击。虽然华先生最终还是因为那次突发心脏病的原因去世在日本，但是，日本的那套医疗应急的手段和做法却可圈可点。这些内容没有出现在王元先生的《华罗庚》传记书里，应该说，还是很可惜的。

拉姆齐定理，极限，条件数学期望，latex数字加粗后变宽，随机梯度下降，连续统，完美的证明。

如何学好大学数学，对数学发展的一些看法，数学人的生活中最缺少的东西，数学真的是绝对严谨的客观规律吗，论数学思维的公理化，初等数学与高等数学的划分完全是伪命题 。

就中学生所能理解的范围，数学学科具有以下特点：1. 公理化；2. 大量的运算和估计；3. 分析和转化。另：>单治超：为什么有的高中生学不好数学

《中国科学：数学》第一届优秀论文颁奖活动于2013年11月3日下午在北京外国专家大厦召开。

有一个项目，目的为了找到潜在客户（经常坐飞机的商人）。手机号码每隔半个钟会自动发送一个信号给最近的基站，他们现在有的就是好多的号码以及每隔半个钟哪个基站收到了该号码的信息。通过分析，他已经能将经常坐飞机的人区分开来。但是他想在这些人中再进行细分，比如乘务人员就不是他的潜在客户但也经常坐飞机。我灵机一想，傅里叶变换可能可以帮上忙，因为乘务人员周期性应该强一点，而经常做生意的人周期性应该比较差。另有：“作为数学老师的感受！”，“数学可以非复杂化” 和 “陈斯聪：学习数学方式理解”。

什么是数学之美？简洁之美；自然之美；结构之美。建筑美和数学美都恰到好处地体现了与世界之普遍和谐的一致。

一个汉字的笔画的不确定性有多大？这就是统计出不同笔画的汉字各有多少（百分比），再根据这个百分比，概率，按照申农熵的定义公式计算出来；而且再考虑其结构的不确定性。这里我们著重讨论汉字的笔画的不确定性。

给你一套过去的习题，做做那时我们的练习。有时会突然忘了，拉格朗日定理。再考不出那样的成绩，听到都会红著脸躲避。虽然一直都在努力，可有人却已放弃。

可在安卓系统智能手机和ipad上运行的数学软件，有1MB,但是功能比较强大。数学宝典MathStudio入门.pdf，官方网址分享http://www.mathstudioapp.com/share/Fractals。

用y=1/x这个函数，y代表生命力，x代表生长年龄，那么随著年龄的增加，生命力会越来越弱，但是永远也达不到零，也就是说生命是永远不会消失的。

分形并不是来自于一种思维上的理论存在，而是来自于自然地理定量化对数学的推动。在我们国家，在传统的林业调查中，人们已经发现，自然形成的林班（斑）的边界周长和面积之间的关系很难用公式来换算。一般都只能用查表的方式，或比较粗略、非普适的近似公式。同样的，遥感的混合像元主要来自于不同类地物的交界。因此，从不同空间分辨率的遥感图像估算地物分类的面积的时候，会得出差别相当大的数字。问题的根子在分形，具体就是不同地物类别边界的尺度效应。

09年春晚刘谦8分钟的魔术表演，就一夜间红遍了大江南北，全民也随之兴起一股魔术潮。人们为什么喜欢魔术,虽然魔术是骗人的手段，但确实给人带来不少的乐趣，观看者惊叹魔术的神奇，而表演者因观众的惊叹而欢喜，有成就感。

卷积(convolution)是信号处理中一个重要概念, 与其相应的另一个概念是相关(correlation).它们的英文很类似, 定义也很类似. 卷积研究和过去的关系, 相关则研究与将来的联系, 当时间反向时, 相关就变成了卷积.

例一：我真想用一下傅里叶变换，去解析你心里混乱的频率，变成我能读懂的正余弦。例二：我有一隐形的翅膀，不对，我上辈子是折翼的天使！

经过几十年的考察，正当集合论被广为接受，成了数学的基础时，1903年罗素（Russell）和策墨罗（Zermelo）几乎同时发现了悖论。不知怎么回事，前面都没看到。补上：自我指涉（1）──谎言悖论，自我指涉（2）──语义悖论，自我指涉（3）──什么是真理，自我指涉（4）──不谈自身无烦恼，自我指涉（5）──真值的间隙。