作者：蒋迅

这是我的文章“雪花里的数学：三，物理学的帮助”的后续。本文已发表在《数学文化》杂志2012年第4期 (总第12期) 上。请勿转载。

四，元胞自动机模型

Source: Janko Gravner

在数学家中，首先应提到的是加州大学戴维斯分校的杨可·格拉夫纳教授 (Janko Gravner) 和威斯康星大学麦迪逊分校的大卫·格里夫耶斯教授 (David Griffeath) 的工作是最出色的。他们花费了四年的时间终于开发出了一种电脑模型，可以随意模拟出具有对称平衡之美的雪花的数学模型 (Gravner-Griffeath Snowflakes，见视频)。格拉夫纳和格里夫耶斯的模型对雪花的生成提供了一个令人瞩目的数学基础。

Source: Gravner-Griffeath

格拉夫纳他们从2005年起开始研究雪花模型，2006年开始建立3D模型并在2007年基本完成了建模。他们的工作首先从二维开始。他们对于帕克雪花进行了深入研究，得到了一些不可思议的结果。比如，他们从数学上严格地证明了帕克雪花的“密度”都是严格小于1；他们还证明了一个有悖直觉的结论：Hex 14 的密度大于 Hex 134。

前面说过，帕克雪花一直保持着同一个法则扩散，但在自然界中的雪花不一定是按照一个相同的法则扩散的。虽然有人考虑过这样的格状自动机模型，但从数学上研究其可行性还是未知的。

在此基础上，他们又向前迈了一步，而这一步是突破的一步，是使人类对雪花的认识又更上一层楼的一步。他们把雪花结晶的动力学归入粒子系统的流体动力学 (hydrodynamics of particle systems)，以雪花的物理原理为基础，并力图在介观体系 (Mesoscopic) 的层次上抓住雪花形成过程中的物理、化学特徵，运用非线性动力系统中三维耦合映像格子 (coupled lattice map) 模型和布朗运动理论中的粒子内部扩散限制聚集 (internal diffusion-limited aggregation) 模型，深刻描述了雪花的结构形态。在研究中大量运用了随机过程、统计物理和偏微分方程理论的新成果，并把它们交会到一起。另外，他们建立的模型也从二维推广到了三维。图9显示的就是其中之一：左边是用Matlab生成的图像，右边是在左图基础上用光线跟踪软件POV-Ray加工后的效果。我们不可能把他们的结果全部介绍出来，仅仅用下面一组方程式来让大家看一看其复杂度。

Source: http://demianrepucci.com

细心的读者可能发现前面的雪花中有一个是三角形 (还有十二边形的)。人们几百年前就注意到了这种形状，但一直无法解释。尽管三角形雪花很少，他们在实验室里看到的三角形雪花比统计模型显示的要多。这说明，在自然界里的三角形雪花也应该更多，更经常。他们还注意到，有些雪花虽然是六边形的，但仔细看的话，你会发现，它们有三条边长一些，而另三条边短一 些，所以从总的形状上看，它们其实是三角形的。三角形雪花与温度、湿度似乎没有紧密的关系。利伯布莱切特提出一种假设：在雪花飘落的过程中，有时一条边会沾上一点点尘埃。这造成了雪花飘落时向上倾斜，而在下面的一条边会在风的作用下更快地成长，使得雪花变成了稳定的三角形。当雪花成了三角形形状之后，它就一直保持着这种形状。

格拉夫纳他们也研究了三角形和十二角形雪花。不过，他们不是按利伯布莱切特的解释做的模拟。他们是从一开始就假定雪花的生成元是三角形的，因此最后生成的雪花也是三角形的。这似乎与利伯布莱切特的猜测不同。其实关键是利伯布莱切特所说的尘埃的影响是在什么时候发生的。如果是在雪花核一开始就已经发生了的话，那么利伯布莱切特的说法就和格拉夫纳的假定相吻合了。当然这个解释还不具有太大的说服力。仔细观察的话可以注意到，自然界的雪花很多都是不对称的。有理由猜测这样的雪花从一开始就是不对称的。三角形雪花只是一个特例。也许，最终的答案还要数学家们去解决呢。

2008年1月，加州大学戴维斯分校宣布了格拉夫纳他们的工作。随后，包括路透社、发现频道、芝加哥论坛、洛杉矶时报、科学日报等媒体对他们的工作加以报导。可以说，他们的工作在数学领域上开创了一个新的领域。

Source: NASA

Source: NASA

NASA科学家汤姆·克鲁恩（Tom Clune）和郭国森在他们的基础上研究了雪花形成的数学模型。 他们在计算机模拟过程中间有意改变代表物理量的参数值，得到了一些有趣的结果。上面的图片就是先选取适合纵向增长然后在中途变成适合横向增长的参数所得到 的雪花图片。图11与格拉夫纳和格里夫耶斯的图8非常相像，因为他们借鉴了格拉夫纳和格里夫耶斯的模型，也使用了软件光线跟踪软件POV-Ray。重要的是，他们把格拉夫纳和格里夫耶斯的算法在集群计算环境里利用“讯息传递介面”（MPI）和“区域分解方法”来实现并行计算。特别地，他们没有局限于原来的对称性限制。因此更容易实现在现实中常见的非对称雪花结晶。NASA还建立了一个雪花数据库。NASA更感兴趣的是更感兴趣的是宇宙冰。

现在，在计算机上实现一片雪花已经不是一个太难的事情了。如果读者有兴趣的话，也可以自己在计算机上“制造”出雪花来。格拉夫纳和格里夫耶斯提供了他们的MATLAB程序。不过，因为MATLAB是Scripting语言，所以运行起来可能会比较慢。还有一个办法就是笔者前面提到过的分形，最早、最著名的科赫雪花 (Koch snowflake) 就是其中之一。

请继续阅读：“雪花里的数学：五，相变的有限元解”