作者：蒋迅

这是我的文章“雪花里的数学：一，雪花史”的后续。本文已发表在《数学文化》杂志2012年第4期 (总第12期) 上。请勿转载。

二，计算机的辅助

科赫雪花
Source: wikipedia.org

在二十世纪开始时，对雪花的研究向几何方法上发展。1904年，海里格·冯·科赫 (Helge von Koch) 发表了一篇论文“关于一个可由基本几何方法构造出的无切线的连续曲线”，描述了科赫曲线的构造方法。这是最早被描述出来的分形曲线之一，这就是著名的科赫雪花 (Koch snowflake)。这个例子在“雪花中的数学” 一文中提到过。虽然“科赫雪花”不是真正意义上的雪花模型，但是科赫的方法 ─ 在多面体上无限地改进 ─ 与班特雷使用的图解方法异曲同工。目前，人们所知道的是，雪花的基本构造是基于天然冰之分子的六边形。但人们对水汽到底是如何如此自我精心设计成美丽的雪花仍然知之甚少。

1986年，美国混沌理论方面的物理学家诺曼·帕克 (Norman Packard) 提出了一个极其简单的格状自动机模型 (Lattice models for solidification and aggregation)。帕克是对结晶过程提出他的模型的，当然对雪花也适用。格状自动机也叫细胞自动机，最早是由冯·诺依曼在1950年代为模拟生物细胞的自我复制而提出的。而帕克则是注意到了结晶的自我复制机制。这一步为人们在计算机实现数字雪花打开了大门。

帕克雪花Hex 1

第一步	第二步	第三步

帕克还注意到雪花的自我复制是在尖头上，所以他做了一条假设：如果一个节点只有一个邻居是结晶的，那么这个节点就结晶，如果有两个是结晶了的，那么这个节点就不结晶；当然已经结晶了的节点保持结晶。这个过程无限重复。上图显示了在重复两次之后的 效果。这只是其中一种假设。还有其它的假设，就导致不同形状的雪花图形。比如，可以假定当有1个、3个或5个邻居是结晶时，这个节点就被结晶。为后面叙述 方便，我们把第一种结晶法则称为“Hex 1”，把第二个称为“Hex 135”。这样的选择法则在 {3, 4, 5, 6} 这四个邻居数量上可以不同，一共有16种法则。上图是我们说的第一种选择法则 Hex 1 过程的第一、二、三步。史蒂芬·沃尔夫勒姆 (Stephen Wolfram) 研究了这种选择法则，他在观察了30步之后，得出结论：

上面的讨论中，我们默认了一个事实：在一个迭代过程中，雪花一直保持著同一个法则扩散。但显然在自然界中的雪花不一定是按照一个固定的法则扩散的。很有可能，第一步遵循“Hex 1”，第二步就变成了“Hex 135”，第三步又成了“Hex 1345”。这样的格状自动机模型也有人考虑过。

从这个例子，我们看到了计算机模拟开始扮演重要的角色。帕克的这一步是成功的，因为帕克生成的雪花即使让一个小学生去看，他也会说出那是一个雪花 (Steven Levy语)。还有一点更重要，正如沃尔夫勒姆说的：通过计算机模拟可能是预测某些复杂系统如何发展的唯一途径。……生成“帕克雪花”模式的唯一可行的方法是由计算机模拟。

请继续阅读：雪花里的数学：三，物理学的帮助

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