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【数学应知道】历史学家阿米尔·亚历山大谈欧几里得几何的深远影响 精选

已有 4121 次阅读 2019-11-13 09:50 |个人分类:传数学|系统分类:海外观察| 数学都知道, 数学应知道, 几何, 历史, 政治

译者:蒋迅

原文出处:Mathematics as a Cultural Force

Tuileries Garden in 1680, Paris, France
1680年,法国巴黎的杜乐丽花园,由阿道夫·阿尔芬(Adolphe Alphand)的巴黎长廊(Le Promenades de Paris)雕刻而成,由J Rothschild于1867年至1873年在巴黎出版。 (照片由Icas94 / De Agostini通过Getty Images提供)

历史学家阿米尔·亚历山大(Amir Alexander)在他的新书《证明!:世界如何变成几何的》(Proof!: How the World Became Geometrical)中提出了一个大胆的主张:欧几里得几何学不仅深刻影响了数学的历史,而且还影响了更广泛的社会政治现实。在散文论述中,他对这个题材的热情既清晰又引人入胜,他描述了欧几里得的《几何原本》如何呈现出一种完全合理的秩序的愿景,但那纯粹是理论上的:凌乱的现实中没有几何理想的地方。在1400年代,意大利博学专家莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂(Leon Battista Alberti)颠覆了这种理解,认为世界实际上是几何形状的。从哥白尼到伽利略的其他思想家也紧随其后。 而且,正如亚历山大所说,这种巨变具有深远的意义:如果世界是几何的,不仅是理性的,而且是等级制的和永久的,那么那也就是神圣规定的社会秩序。欧几里得几何,就是用来证明君主制的。

对於亚历山大来说,解释数学与文化之间的相互联系 ─ 为什么数学原理与文化不可分离,甚至是出於文化,而是深刻地塑造文化,并不是什么新鲜事。他先前的书籍包括《无穷小:危险的数学理论如何塑造现代世界》(Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World)和《黎明决斗:英雄,烈士和现代数学的兴起》(Duel at Dawn: Heroes, Martyrs, and the Rise of Modern Mathematics)。当我们在八月通过电话交谈时,我们讨论了法国花园的几何设计作为宣传; 城市结构如何提升理想; 以及欧几里得几何的衰退如何与其上升一样深远影响。

由於我在学校中学历史学得吃力,所以当人们选择将其作为自己的工作时,我总是感到好奇。 因此,也许我们可以从这里开始:关于在加州大学洛杉矶分校的研究和写作历史,你喜欢什么?

我确实喜欢历史,我认为这与在以色列和耶路撒冷的成长有关。 在这里,不仅是一个历史,而且是一层又一层的历史 ─ 不同的历史,相互竞争的历史。 那里的每块石头和每栋建筑都有自己的故事。 你可以回溯100年,可以回溯1000年,有时可以回溯数千年,每个人都对自己的历史版本投入了很多精力,常常被其他人排斥在外。

另外,尤其是我在以色列长大的那些年,考古学是巨大的,因为它是从犹太复国主义者的角度来看的。 也就是说,你正在挖掘圣经的历史,正在挖掘犹太人民与以色列土地的联系。 到处都是; 空气充满了它。 我认为从某种角度来说,无论你的政治是什么(无论你是犹太复国主义者还是反犹太复国主义者,无论你是什么职业的观点),从某种角度来说,生活在那里,你都觉得那只是很久以前故事开始的最新篇章。

因此,我认为那是我对历史的迷恋的起源,尽管就我的作品而言,它的发展方向截然不同。

对。 你不是以考古学为重点,而是以数学史学家的身份立足。这跟你有什么关系?

我试图把一切都看成是故事。 在某种意义下,对我而言最具挑战性的事情是查看被视为最古老的学科,数学,等一会儿,也许它确实有一段历史。

当我说数学被认为没有历史时,我的意思是数学真理应该是永恒的,它们是不变的,与上下文无关紧要,与时间无关紧要,它们始终是真实的, 一加一等於二。 自从一开始就成立,无论是否有人,历史人物或数学家都知道。

首先,以某种方式,我发现说“让我们尝试一下它的历史”在理智上具有挑战性。让我们跟踪即使是最抽象,看似历史性的事物实际上也具有历史的方式:数学是由人完成的 ,由人们创造,有想法的人,有生命的人和生活在特定时间的人创造。 让我们看看这些事物是如何相互作用的,特定的上下文如何塑造数学,以及数学如何塑造历史上下文。

这就是它的一个方面。 但是,如何实现这一目标还有更多个人角度。 我父亲是以色列的一名理论物理学家,也是一位非常成功的物理学家。 他热爱数学,并且肯定是一个数学天才。 在大多数方面,他都是一个非常谦虚的人,除了他谈到数学时,他并没有给予许多极端的表扬。 然后,他会在他的眼中闪出火花,并且他会用预言性的方式谈论数学是如何睁开眼睛的。 我想:“哇。 也许我应该对此有所了解。”

因此,我在大学学习数学。 我当然不如父亲好,但我擅长数学。 我从希伯来大学获得了数学学位。 但是我没有父亲建议的神秘经历。 如此一来,事情就变成了:我该如何进行数学运算,并将其不仅与父亲以某种方式看到的那些更高的领域联系起来,而且还与生活,我的生活和历史生活联系起来?

我曾经去见过一个治疗师,他说:“哦,很明显,这全都与你父亲保持联系。”也许吧。 [笑]我不知道。 但是我当然想将我从他那里学到的东西与我爱自己的东西联系起来。

你说自己与父亲似乎没有数学上的神秘联系真的很有趣,因为你对数学的兴奋和热情在你的写作中是如此明显。 你从这本书的开始,即几何结构通过发现透视图来改变绘画的方式出现了,那里有一个小块使我震惊。 你指出镜子在平面上可以产生完美的三维图像。 我不知道为什么,但是,即使我一生中都看过数百万面镜子,对我来说也从未发生过,除了显而易见的是,我们可以从平坦的表面三维地看到自己。 当你指出这是多么令人难以置信的壮举时,我惊呆了。 当你对此进行研究时,是否也使你感到震惊?

是的,确实如此。 我们是如此如此习惯,以至於我想我们错过了它的魔力。 我和你一样,镜子就是镜子。 你只是站在它前面,一切似乎都是不言而喻的。 但是,当你退后一步思考“嗯,这到底是怎么回事?”的问题时,也许你可以重拾中世纪首次使用镜子时人们的一些惊讶。 在没有任何干预的情况下,这种平坦的表面如何产生最美丽的三维图像?

实际上,这在佛罗伦萨的如下发现中发挥了重要作用,实际上,世界存在一个几何结构 ─ 这不仅是一个抽象的概念,而且世界本身在根本上和深度上都是几何形状的。 因此,它始于镜子和透视图,然后,正如我在故事中讲述的那样,它从那里传播开来。

“在其他领域,人们可以争论,争论,交谈,交谈和交谈,但是几何图形可以让你证明某些事情是绝对确定的,固定的和永恒的。 就像上帝的思想。”

你将发现几何之间的拐点定为自然顺序,而不是理论上的理想,然后运用该几何顺序实质上是屈服的理由。 首先,你将描述法国的花园,以及它们的建造方式基本上用于向法国人灌输顺从的思想。 这让我着迷:关于建造几何花园的建议不仅象征着政府秩序,而且实际上是一种执政的方式。

我指的是线性透视的发现,从某种意义上讲,几何学已经进入了世界。 这就是世界是根据几何原理构造的概念的起源。 这个概念有很多含义。

几何是欧几里得几何的简写:欧几里得在公元前300年提出的几何,被认为是完全理性,完美有序的,具有绝对确定,不可动摇和不变的真理 ─ 始终是真实的,永远是真实的 。 在其他领域,人们可以争论,争论,交谈,交谈和交谈,但是几何图形可以让你证明某些事情是绝对确定的,固定的和永恒的。 就像上帝的思想。

突然之间,如果你开始以这种方式思考世界本身,那么你就会开始认为世界是有序的,那里的秩序是固定的,理性的,不可变的。 那么,这对我们的政治思想,政治秩序,国家权力,文化甚至艺术有什么影响? 这如何改变我们如何看待世界,周围的世界以及我们在其中的位置?

是查理八世从意大利将这种新型花园带到法国。 这些几何形状的法国花园最终以凡尔赛宫达到顶峰,用于展示法国国王的统治,不是随随便便的东西-他拥有一支庞大的军队,如果你否认他的力量,他将对你做坏事-但不可避免地 宇宙几何的一部分。 就是说,世界是几何的,你在那些花园中看到的东西反映了世界的几何形状,所有这些几何形状最终形成并指向国王的力量。 因为几何除了有序,完美,真实和系统化以外,还具有层次结构。 因此,在某些方面,这些花园是宣传的工具,是对几何世界以及其中的法国皇室的一种根深蒂固的信念的表达。

最终,你在凡尔赛宫看到的是这个完美的几何花园,结构完美,层次分明,宫殿在山顶。 所有的直线都通向这座宏伟的宫殿:国王的座位。 因此,国王是宇宙秩序的顶点。 这就是你在凡尔赛中学到的东西。

我特别对凡尔赛感到特别有趣的是,你认为存在的压倒性不是错误,而是有目的的选择。 通过花园的规模以及其中有多少东西来压倒来访者,这进一步推动了你刚才描述的内容:国王至高无上的权威的概念。

是的,完全正确。 我的意思是,这不应该是美好的。它应该是压倒性的。 当我发现路易十四亲自写过一条你应该如何走过花园的路线时,我就感到非常着迷。 ─ 基本上将访问者自身整合到此几何顺序中。

凡尔赛宫的一切都有其应有的地位。每棵树,每个湖,每个池塘,每个喷泉,每片草叶,每朵花都有它的位置,人民也是如此。人民在凡尔赛宫这一完美,不可挑战的等级制度中也有自己的精确位置。

我认为,花园确实是最惊人,最宏伟,最令人眼花撩乱的例子,说明几何世界的理想如何直接表现为政治力量。

在我看来,这些花园也是如此有效,那就是游客对它的运作方式并不了解。 正如你所说,这是宣传; 有意识地意识到它几乎会破坏它。

是的。 几何花园的力量恰恰在於你查看该几何顺序并且你知道没有其他方法。 没有替代。 这是世界的真正自然秩序。 你走到那里,并不是说你在想:“哦,他们设计的花园让我有那种感觉。”这只是你周围的现实。 谁能否认当你沿着这些小径行走时,无论到哪里看,都可以看到完美的直线,它们全部汇聚在这座宏伟,无与伦比的宫殿尽头? 国王之所以在位,并不是因为一时兴起,而是因为其深刻,不可挑战,不可抗拒的几何秩序。 这就意味着这种深层的几何顺序在任何地方都是正确的:整个法国乃至整个世界。 整个意识形态和世界观都被编码在那片风景中。

我爱巴黎,这也许是我去过的最喜欢的地方,而且我喜欢漫步花园。 也许我有些固执,但是直到我读完你的书,花园和城市本身的几何结构才变得如此有意识,这才让我有意识地想到了。 所以我在想什么对我如此吸引我如此审美。 我是一个非常刻板的人,非常喜欢秩序,我认为在一个一切井井有条的地方,有些平静。 但是令人震惊的是通过你的散文让我发现了这一点。 我们显然不生活在与建造这些花园相同的政治现实中,但是我想知道你如何从个人心理学的角度解释这些设计的吸引力?

凡尔赛宫现在真的是博物馆。 我们读的不是仿佛是在对我们说话,而是更像是300年前。 但是像巴黎这样的城市则不同。 这是一座充满生机的城市,拥有宏伟的,直箭头形的林荫大道和纪念碑,这些纪念碑讲着相同的几何语言。 它并没有说最重要的是国王,但它却谈到了法国国家的深刻,无可辩驳的,毫无疑问的秩序,也许还有著名的法国官僚机构和法国公务员制度。 它仍然可以说明这一点。

唯一与之相比的美国城市是华盛顿特区,由一位在凡尔赛长大的法国人设计。 它也有这个含义。 当然,这不是保皇党的意识形态,而是共和党的意识形态,但它也是必要时提出政治秩序并以宇宙最深层次的几何学为基础的一种。

你住在哪里?

我住在纽约布鲁克林。

我不得不说,纽约与华盛顿特区正相反。在这些日子里,华盛顿让人感到非常放心。 由於当前的政治局势和两极分化,更不用说大规模枪击事件了,似乎我们所有珍惜的机构,我们的共和党机构都受到了攻击。 当我访问华盛顿特区时,正是由於这种几何顺序,我才对此感到非常放心:你去那里,你会看到国会山和带有美国国旗的国会大厦。 好吧,它们仍然在那里。 你会看到国会大厦大街另一侧的白宫,无论你如何看待它的居住者,你都会认为:“它将比任何一位总统都长久。”这暗含着深刻的顺序,我确实感到放心。 我去那里,环顾四周,我说:“我们将生存下来,这会很好的。”

所以我有点像你,我也被这样的城市,那样的建筑所吸引。 传达的信息是,存在著更深层的基本秩序,而不仅仅是一个总统,一个国会甚至一代人的心血来潮,这里存在著更深层次的秩序。 因此,尽管从路易十四到希特勒在他的柏林重新设计中,独裁者都非常强烈地使用几何,但这并不是唯一使用几何的方法。 在华盛顿特区,它被用来在绝对,永恒的几何基础上建立共和党的政治秩序。

“你再也不能认为只有一个必要的秩序。”

在书中,你描述了1823年一位名叫鲍耶·亚诺什的匈牙利数学家如何证明彼此并存存在著无限的替代几何,这使得无法继续维持这一单一统一的秩序。 你认为,这一发现与对最高领导人的广泛投资的减少同时发生,或促使其减少。

你再也不能认为只有一个必要的秩序。 实际上,这从来没有受到质疑:路易十四可能会说他是一位真正的国王,是宇宙秩序不变,普遍秩序的一种表达,但是他的政治对手,尤其是英国,对他说:“不,你会 不,我们不买任何东西,我们将创建与凡尔赛宫完全相反的花园。 因此,它总是有争议的。 但这从来没有比非欧几里得几何学更深刻地争论过,非欧几里得几何学说可能存在无限的真理。 它们都是绝对正确的,但是它们彼此不兼容。 这是对单一必要秩序概念的深刻挑战。

但是,我仍然认为,这个想法还没有死。 我认为我们仍然感受到它的力量。 反对一切一切都是相对的,所有真相都可以是真的,彼此相邻的说法有很多反对意见。 我认为我们仍然对这个想法感到非常放心,因为理性是理性,我们应该系统地,理性地遵循理性,这将在科学和政治上给我们一个真实的答案。 我认为这在那些几何设计中得到了体现,并且我认为我们仍然觉得它非常强大且令人放心。

你提供了许多这样的城市规划示例,这些示例反映了该地方政府在建房时的结构。 是否总是这样,还是有没有权力机构设计这种意识的方式来反映当时的政府结构?

嗯,我认为政府通常都喜欢几何。 全部来自凡尔赛宫。 但这并不意味着所有权力机构总是以这种几何方式设计的。 纽约不是美国的政治首都,但它可能是经济和文化力量的主要所在地。 在许多方面,在政治之外,纽约是美国的首都。 而且,如果你想到曼哈顿,那便是基於单一必要几何秩序的设计的完整对立面。 相反,你拥有的是一个网格,其中每个点都是两个坐标的交点,也就是说每个点都与其他任何点一样好。 如果你在地图上查看曼哈顿,那简直是空白的几何空间,你可以在其中进行任何操作。 在我看来,它强调的是无限的可能性,而不是单一的必要的政治或社会秩序。 那是完全不同的设计。

是的,这当然就是许多人搬到纽约的原因。 你住在洛杉矶,洛杉矶的“设计”经常被嘲笑。

是。 [笑]

你能否谈一谈洛杉矶的结构,以及有意或无意与当地居民交流的内容?

嗯,华盛顿特区完全是美国城市中的例外。 到目前为止,主要模式是网格。 我认为关于洛杉矶的有趣之处在於它的无限性。 旧金山是一个半岛。 它被水包围在三个侧面,然后向各个方向扩散,但这座城市显然是有界的。 曼哈顿当然有明确的界限。 洛杉矶现在可能正在达到一些极限,但至少似乎是完全不受限制的。 你采用了一个开放的网格,其中每个地方都相等,并且你只是在不断扩大和扩展城市,而没有任何清晰的中心,清晰的外围,等级或特定顺序。 就是这个抽象的开放空间。 这与凡尔赛的极端相反。 在凡尔赛,这里有一个中心,一切看起来都集中在一个地方。 在洛杉矶,一切都是表面网格。 有一种无限的暗示。

由於你研究了整个历史中数学的发展情况以及它们如何从社会政治角度跟踪变化,因此,我很好奇你是否可以谈论当今的变化。 你是否仍然看到数学辩论与我们当前的社会政治现实之间如此紧密的联系?

好吧,我们之前谈到的是数学的这一转折点,它脱离了世界一个必不可少的秩序的概念。 对於非欧几里得几何,我认为这从根本上被打破了。 我并不是说非欧几里得几何学是造成我们所有分裂政治的原因,但我确实认为,不仅存在一个真理的观念还在回荡。 没有特权的真理,任何真理都仅取决于你的假设,已经成为数学的常识。 而且如果数学是最严格,最理性,通用的系统之一,那么对於其他所有事物,也必然也必须如此。

我认为,数学在世界上具有决定性作用的力量确实在1400至1800年的几个世纪中达到了顶峰。从19世纪开始,数学运动再次将数学与世界分离。 这并不意味著世界不是数学的,你仍然可以用数学来描述世界,但是你不能假定世界是数学的表达。 因此,我认为现在更难指出数学上具有其曾经拥有的那种力量的特殊发展。

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