作者：蒋迅

本文已发表在《数学文化》第8卷第4期上。

(Spaceflight Insider, Go Miyazaki)

1991年，日本宇航局发射了第一颗飞向月球的卫星“飞天号”（Hiten），它还携带了一颗小一点的月球轨道环绕器“羽衣号”（Hagoromo）。日本人希望“飞天号”把“羽衣号”推送出去，让“羽衣号”落入月球引力场，日本就成为继美苏之后第三个环月的国家了。但好事多磨，“羽衣号”被推出去之后，日本宇航局就与它失去了联系。日本人希望改用母星“飞天号”去完成“羽衣号”的任务，但是“飞天号”根本不是为环月设计的，它所携带的燃料也不够。于是NASA喷气推进实验室的两位科学家为日本人制定了一个新的轨道。这使得日本实现了第三个完成绕月的梦想。

爱德华·贝尔布鲁诺在一家天文学会上演讲
（来源：维基百科/ Edward Belbruno）

这两名科学家之一就是数学家爱德华·贝尔布鲁诺（Edward Belbruno）。

1，加入NASA喷气推进实验室

贝尔布鲁诺1951年在德国海德堡出生。当时他的父亲是驻德国的美军军官。他的父母返回美国后定居在康州。他就在那里长大并在当地的社区学院学习两年。他从纽约大学获得数学的本科学位，从纽约大学库朗所获得数学博士学位（1981年）。他的导师是德裔美国数学家尤根·莫泽（Jurgen Moser）。本来他是要当一个大学教授的，但当他真在波斯顿大学当上教授以后，他才发现自己并不喜欢这个职业，答疑、批改考卷这些事情太繁琐。他是要做研究的人。也许NASA工程师的工作更合适。于是他转到JPL，当上了轨道分析设计师。从1985年到1990年，他参与了“伽利略号探测器”、“麦哲伦号金星探测器”、“卡西尼－惠更斯号”、“尤利西斯号”、“火星观察者号”等NASA航天器的轨道的制定。

“伽利略号探测器”主要任务示意图（来源：JPL）

在JPL的第一年也不是那么顺心。“伽利略号探测器”飞向木星的轨道设计是他的第一项任务。设计出这样一条轨道后并不是任务的结束。因为在当得到了一条轨道之后，人们自然会问：有没有一条更好的轨道呢？所以科学家们必须计算成千上万的轨道，而它们之间都只有数秒之差。不要小瞧几妙的差别。这个差别影响了很多设计上的结果：卫星的重量、体积、受热、燃料、引擎、结构、气动、受热等等方面都需要重新计算。这在工程上叫做“多领域多目标限制分析优化”，属于系统工程的范畴。每一个领域都有自己专门的分析软件。大量的参数都是互相关联的。如果没有一个整合平台把它们联系起来，这项工作是非常花费时间并相当复杂的。“伽利略号探测器”是一个花费纳税人40亿美元的项目。这样的系统工程是绝对需要的。但是对于贝尔布鲁诺来说，这样的工作有点无聊。他是一名做研究的数学家。他要做研究，把自己的思想火花释放出来的那种工作。

2，设计弹道月球捕获轨道

第二年，他被调离“伽利略号探测器”团队。JPL要求他找到一条地月轨道并使得卫星环月飞行。当时JPL正在做一个概念性的研究，把电力驱动的卫星送往月球。JPL的要求是：从航天飞机发射出去，用很小的引擎慢慢地将卫星螺旋地离开地球飞向月球。但是这里有一个问题：这些引擎太小了，当卫星到达月球附近时，引擎的力量不足以让卫星改变飞行速度和方向（ΔV）而进入月球轨道。所以必须找到一种不必用（或极少用）引擎而能让卫星进入环月轨道的办法。他相信自己能得到一个方案，但他觉得自己需要一两年的时间。

JPL给他的时间是三个月。给他这么短的时间也是无奈，因为整个卫星的设计取决于轨道的选择。所以在他能给JPL一个方案之前，JPL只好把一个二十人的梯队晒在那里。如果在三个月以后拿不出一个轨道的话，整个任务将不得不改变。

地月赫曼转移轨道（来源：科罗拉多大学）

一般地，在地月之间或星际飞行中，人们采用的是“赫曼转移轨道”（Hohmann transfer orbit）。这种轨道途中只需两次引擎推进（实际上是一次加速推进和一次引擎制动）。在图中我们用ΔV₁和ΔV₂表示。

“赫曼转移轨道”是一个经过验证的办法。美国和前苏联都是采用这种办法。按这个办法，飞船以大约每秒一公里的速度飞向月球。但是当接近月球时，飞船必须有效地减速。否则飞船会从月球边上飞过去，而不会被月球的引力所捕获。但引擎制动也是要用不少燃料的。如果没有足够的燃料就无法到达预期的轨道。日本的“飞天号”就遇到了这种情况。

贝尔布鲁诺在库朗所念博士的时候就开始对天体力学感兴趣。事实上，他的博士论文题目就是关于三体问题的。后来在波斯顿大学时他继续研究这个问题。虽然二体问题早在三百多年前就已经被开普勒和牛顿解决，增加一个第三体到这个系统来则使得问题变得特别复杂。一个物体的引力不断地在影响着其他两个，所以整个系统就永远地处于一种混沌的状态里。“赫曼转移轨道”的本质就是把一个三体问题变成里两个二体问题。从地球上发射一个卫星到环绕地球的“停驻轨道”上。然后发动引擎把卫星送入一个高速的绕地椭圆轨道上。这条椭圆轨道的远地点到地球的距离与月球到地球的距离大致相等。当月球到达这个远地点时，卫星正好也到达那里。这时反向引擎点火降速，最后让月球的引力捕捉到卫星。这个方法的缺点是需要耗费大量的燃料。

贝尔布鲁诺想找一个更有效的办法。他注意到“赫曼转移轨道”忽略了引力场空间的分布。也许我们可以巧妙地运用引力场的不稳定性而获得一个无需反向引擎而自动进入月球轨道的办法。如果能在地球和月球之间有一条轨道，就没有变轨的问题了。

地月弹道捕获轨道示意图（来源：Medium/ Edward Belbruno）

这种方法称为“弹道月球捕获”（ballistic lunar  capture）。虽然这种方法以前没有人使用过，但是贝尔布鲁诺以他的数学背景坚信这种“弹道月球捕获”是可以做到的，而可以肯定的是这个方法相当复杂，因为他必须运用混沌理论在地球和月球间极为混乱的引力场之间找到一条非常特殊的轨道。

3，画笔助他一臂之力

“贝尔布鲁诺在做艺术创作（来源：Edward Belbruno）

贝尔布鲁诺知道，他必须出奇兵，才能创造出奇迹。他的奇兵就是绘画。原来他还是一名很不错的画家。当初他上社区学院就是以绘画艺术为主业的。虽然他后来改学数学，而且以后又曾几次放弃数学而去追求艺术，但是他终于还是又回到了数学和科学。 可贵的是，他尝试着把艺术融会到了他的数学和科学里。

“宇宙轨道”(来源：Medium)

贝尔布鲁诺使用的过程是让潜意识帮他找到轨道。创作时，他让自己下笔如飞，根本没有时间考虑，完全是靠着潜意识从地球画到月球。“艺术与科学是一种完全不同的思维方式。”，而他相信他的作品里包含着某些关键的信息，在创作的时候他能冷静下来，因而更具有创造力，从而理清复杂的他在考虑的科学问题。几个明显的区域里是一些圆圈形状，然后渐渐地变细。这些区域的边界是轨道开始和结束的地方。边界位置，称为“弱稳定边界”，是指航天器可以很容易离开地球或用很少的燃料捕获在月球周围。边界表示地球和月亮的两个重力场之间的过渡区域，是为了弹道捕获发生航天器必须通过的区域。这些运动在这些过渡地区是微妙的（混乱的）。他的作品看似梵高的“星空”，他的手法简直就是梵高再现，因为梵高的一大特点就是创作迅速，这跟一般的西方油画家极不相同。他让手中的画笔下意识地迅速游走，让混沌驱动他的创作。从他的创作中，他找到了一条轨道。他立即在NASA上计算机上去模拟验证。一切都似乎正如他所预想的那样，卫星在没有引擎驱动的条件下进入月球轨道。在模拟中，弹道捕获第一次实现了。他为自己的“成功”而高兴。他相信JPL的领导们一定会欢呼他的方案。

4，在JPL受挫

但现实很残酷。他面对的是JPL其他同事的怀疑。想想也可以理解，别人都是传统的“赫曼转移轨道”支持者。而他的设想里竟然是什么“混沌”、“模糊边界”，而且还没有前人去实践过。JPL告诉他，别再讲这些东西了，我们这里不做这种不靠谱的事。他很失望。好吧，为了生存，他接受了JPL给他的常规任务。但是一有时间他就继续搞他的方案。到最后，JPL高层把他叫去。基本上就是告诉他不要再搞下去了。他坚持己见。JPL干脆让他走人。

那几天真的是他的恶梦：女朋友走了，得了荨麻疹，还被狗咬到，他的车也突然发动不起来了。他把这次巨变当作一次机会。不做争辩，让他在JPL的几年全当没有发生。什么卫星啊，轨道啊，他不干了，他要回去做数学。于是，他转到离此不远的波莫纳学院数学系去当访问教授去。

5，借日本“飞天”成功

但他似乎命中注定是要在航天上做出成就的。他的“模糊轨道”理论（现在叫“弱稳定轨道理论”，Weak  Stability Boundary  Theory）是金子就是要发光的。巧的是，日本在同一时间里发射了“Hiten”。有一天，有个陌生人敲响了他的家门。来人告诉他，日本希望能成为第三个环月飞行的国家。对此，贝尔布鲁诺当然知道。新闻报导已经说日本的环月飞行器失败了。他告诉来人，他已经不做这些事情了，也不再关心环月飞行这样的事情。但后来的情况引起了他的注意。日本人希望用母船“Hiten”代替“羽衣号”去完成环月的任务，而“Hiten”根本不具备赫曼转移的条件。他立即意识到，这是他验证他的理论的绝好机会。

贝尔布鲁诺决定要做这件事。他与米勒开始合作。画面上“飞天号”走的是一条绕远的路。这个轨道不是直接飞向月球，而是向相反方向飞出去，绕个大圈再慢慢地飞向月球。只有这样才能在接近月球时实现弹道捕获。读者可能会想，绘画怎么可能帮他找到科学的结果？我专门向大连理工大学航空航天学院教授吴锤结请教过这个问题。他告诉我说，科学与艺术联系紧密。一般科学工作者是用左脑思维，而画家则是用右脑工作。只有充分发挥左右脑的作用，才能最大限度地发挥科学家的能力。艺术在贝尔布鲁诺的研究中的作用实际上不在于他从画画中找到轨道，而在于由于他的艺术活动使得他更具创造力和领悟、顿悟的能力。但是贝尔布鲁诺确实在多个场合说他的轨道是在绘画中得到的。对此，我们也可以这样理解：贝尔布鲁诺是一位具有坚实数学训练的画家。他早已精读过他的导师莫泽与著名数学家卡尔·西格尔（Carl  Ludwig Siegel）的名著《天体力学讲义》（Lectures on Celestial  Mechanics）。在这里，绘画的意义已经不再是那些线条和颜色，而是他在艺术活动中的超常创造力和领悟力。这应该是他的下意识能带着他翱翔太空的基础吧。他是一个用双脑做研究的科学家。这与吴锤结的思想是一致的。

6，弹道轨道是如何计算的

让我们把他的作品抽象出来，看看他们是如何设计这条轨道的。

贝尔布鲁诺的思想是，不像“赫曼转移轨道”那样把三体问题转变成两个二体问题，而是把三体问题转成包括太阳在内的四体问题（如果你读过笔者关于阿仁斯道夫的故事，你会发现阿仁斯道夫仍然保留在三体问题里，并用解析数论的方法计算）。

因为是四个天体的相互作用，所以它们的运动方程由下面的方程来表达：

这里x_k是点质量m_k在惯性坐标系里的位置，是点质量 m_k 对时间的二阶导数。m₁, m₂, m₃ 和 m₄ 分别代表卫星、太阳、地球和月球的质量。我们看到的是一个有12个变量的微分方程组。假定从某一个时刻 t = 0 开始考虑。我们可以假定太阳、地球和月球的的初始位置 x_k 和初始速度向量是已知的 (k = 2, 3, 4)。现在需要确定的是卫星的的初始位置 x₁(0)和初始速度向量。注意实际上，这里有两个惯性坐标系，一个在地球，一个在月球。我们忽略这个区别。

贝尔布鲁诺他们先从到达月球的地点出发，向反方向逆回去，假定在到达月球上空某点的时候 ΔV为0，那么这条轨道 Φ₂ 应该是什么。我们按箭头反向离开月球（和地球），一直到达离开这条曲线的最远点 Ct = t_F  返回到 t = t_T 这一段（F 代表Final，T 代表Transition）。我们得到和，即从 Φ₂ 这段上看卫星在 t = t_T 的位置和速度。

点 C 离开地球和月球都非常远，超过了一百五十万公里。过了此点后的轨道应该被拉回月球和地球方向。他们把这条曲线按时间增加的方向（t: t_T →t_F）做出来，就是“飞天号”从 C到月球的轨道 Φ₂。我们再来看“飞天号”从地球到 C 点的轨道 Φ₁。当时“飞天号”正在围绕地球的一个椭圆轨道上运转（没有在图上）。这条椭圆轨道无法到达 C点。所以他们必须为“飞天号”设计一次变轨，使它离开现有的椭圆轨道，飞往 C 点。他们发现，太阳的引力可以将卫星拉离地月并到达 C 点。他们让卫星在椭圆轨道上做一个极小的变轨，使得它走到轨道 Φ₁ 上来。这个变轨必须非常小，因为卫星携带的燃料极为有限。按照贝尔布鲁诺的理论，地球周围是一个稳定区域，在稳定区域之外是一个弱稳定区域（在月球周围和点 C 也有各自的弱稳定区域）。在弱稳定区域里，任何小的扰动都会改变轨道。贝尔布鲁诺正是利用了这个不稳定性，在弱稳定区域里给卫星一个极小的推动就使得卫星走上了 Φ₁。

从 Φ₁ 到 Φ₂ 还需要有一次变轨。因为沿着 Φ₁ 到达时刻 t = t_T  时，我们又得到了和，即从 Φ₁ 这段上看卫星在 t = t_T 的位置和速度。从理想状态上讲，我们必须让并且。最主要的是使得速度方向吻合。我们可以通过调整初始状态来让他们的差达到最小。这次变轨非常微妙，贝尔布鲁诺都一度觉得可能做不到了。好在米勒没有放弃，他们最后找到了答案。

把 Φ₁ 和 Φ₂ 合并起来，他们就得到了一个完整的轨道。当卫星接近月球时，卫星的速度小于月球的速度，最终利用月球的引力进入环月轨道。这时候卫星已经不需要额外的推力（即 ΔV为0，所以叫弹道月球捕获）。

两次变轨的总和只有 ΔV = 48 米/秒，相当于使用3公斤的燃料。而“飞天号”只携带了7公斤的燃料。相比之下，如果采用“赫曼转移”的话，需要的 ΔV 是250米/秒。这是完全不可能实现的。虽然他们的这条轨道需要的时间大大增加了，但对于非载人的卫星，时间没有那么重要。

他们在1990年6月21日那天联名为日本宇航局提出了这个方案。在他们的传真到达的时候，日本人正在处于绝望的状态。突然有人不请自来，送来的方案重新燃起了他们的希望。他们立即动手验证了方案的可行性。几天之后日本人就宣布，他们已经在计算机上实现了这条轨道，他们决定试一试运气。

7，弹道轨道第一次成功

后来的实际飞行真的是绕了一百五十万多公里。通常三天的路程走了五个月。“飞天号”在4月24日开始了启程，   1991年10月2日，“飞天号”进入了环月轨道。历史上第一次成功地证明了“弱稳定轨道理论”成立。他高兴地说，这个设计救了日本，也救了他。事实上，节省下来的燃料让日本人把“飞天号”送到了拉格朗日点L4和L5去执行其他任务，然后再次回到环月轨道上。NASA和欧洲航天局开始相信这个理论，并在以后的几次任务中用这套理论成功地完成了任务。但这些都比日本晚了十几年。弹道捕获理论还有其他的应用。比如有些行星的卫星很可能就是自然弹道捕获的结果。

可能有读者会认为，既然是美国人设计的轨道，能算是日本人第三吗？其实日本人当初也有这个顾虑。他们要求贝尔布鲁诺和米勒签协议保证不对外谈这件事情，但被拒绝了。美国也有很多人对贝尔布鲁诺和米勒也有意见，认为向日本泄露了美国的秘密。JPL也没有因为这次成功而把贝尔布鲁诺招回去。看来在利益面前，是非问题永远是问题。至于日本人算不算是第三，贝尔布鲁诺并不关心。他关心的是这套理论的进一步发展。

8，从月球到火星

火星“弹道捕获轨道”示意图（来源：Edward Belbruno）

2014年，贝尔布鲁诺和同事提出了用弹道捕获的方法设计地火轨道。这条轨道经济实惠，而且不受发射窗口的限制。如果人类想要移民火星的话，这将是一条理想的物资输送线。但是地火的弹道捕获比地月要复杂得多。贝尔布鲁诺他们还有很多细节需要完善。我们知道，数学和艺术将继续扮演重要角色。

鸣谢：衷心感谢吴锤结教授提出宝贵意见！