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再说最丑数学公式 精选

已有 12519 次阅读 2018-4-29 08:21 |个人分类:谈数学|系统分类:教学心得| 数学, 公式

 

作者:蒋迅

在我发表“最丑的数学公式”的时候,我就预感到会有很多吐槽。果不其然,多数的评论是负面的,尽管还是客气的。说实话,我知道我的结论有些唐突。我应该在“最丑”两字上加上引号,因为只有更丑,没有最丑。其实我在那篇文章里也暗示过,我所谓丑的意思并不是真的丑。只是为了对应于“最美数学公式”而用了一个丑字。但话又说回来,四次多项式的通解已经超乎想像地烦长,有谁会记住它,用到它呢?它的意义仅在于结论:四次方程和二次方程一样有公式解。

感谢李泳老师写了一篇回应:“哪儿有丑数学?”。这篇文章写的特别好,有思想,有深度。李老师写到:

“纯数学家哈代说,美是检验数学的第一标准,丑数学尾巴长不了。(Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.)他认为数学无用也无害;而用的数学不是真数学,既丑且恶。他说的‘无用’,不是暂时找不到用,而是根本的‘无用’。数学的‘无用’是珍贵的品质。最美的数学是‘没用的’数学,那样的数学不会被滥用,不会给人类带来灾难。他极为反感数学的应用,特别是在工程和战争的应用。他在他的Apology里反复表达了一个意思:应用数学是丑的(ugly),平庸的(trivial),乏味的(dull)。我不学哈代的极端,但看到那些‘应用’的数学,还是宁愿欣赏哈代的数学纯情。”

四次多项式的通解已经超乎想像地烦长,似乎预示着哈代的话:丑数学尾巴长不了。果然到五次时就再也走不下去了。我在做事情的时候有时会这样,当我的处理越来越复杂的时候,可能就预示着应该有更好的办法。而事实往往如此。

李老师还写到:

“数学美在哪儿呢?我这儿说三点:逻辑性、普适性和严肃性。前两性不用说了;严肃性是借哈代的词儿,意思是它能关联更深广的问题。方程求解公式不那么美,就因为它不够严肃,引不出更多更深的东西来。(相比之下,Galois同学的作业就美绝了,还是壮美。)那么,为应用的公式找点儿美味,就得看它是不是有逻辑,是不是普适(相对的),是不是能关联更深层的问题和理论。”

我特地到互联网上去Google了一下,发现早就有人谈过“最丑数学公式”了。比如,在“知乎”上就有一个“数学史上你认为最丑陋的公式是什么?”的讨论。在《《数学人文》杂志上有一篇“扫描数学家的脑──看到数学之美”。阿蒂亚 (M. Atiyah) 爵士提供了60个包含许多领域的数学公式让16位数学家来评比。最美的当然是欧拉公式。最低分的丑公式则是拉马努金(Ramanujan)的1/π公式:

这个由拉马努金发现的公式确实比四次方程的通解要丑多了。但其实,它有一个更一般的形式(拉马努金-佐藤级数):


其中,s(k) 是一些满足一定递回关系的可以用二项式系数表达的已知数列,A, B, C 则需用高阶模形式来表达。这方面的结果一直到近些年都还有新的进展。这样看来,拉马努金(Ramanujan)的1/π公式还是很美的。

还是李老师说的对:“要把数学内部的美丑问题推波助澜到‘应用’领域,那儿常常没有美丑意识。”正所谓“不管白猫黑猫,能捉到老鼠就是好猫。”让我们也举一个例子:“开普勒方程” (Kepler's equation):

M = E - esinE

其中M平近点角(mean Anomaly),其中E偏近点角(eccentric Anomaly)。我们要说的是“逆开普勒方程”( inverse Kepler equation)


我不能说这个公式是最丑的。但工程数学里的几乎所有公式都是像它一样看上去复杂无序。“开普勒方程”在轨道力学里扮演重要角色。

没有最丑,只有更丑。但只要它有用,那么它就丑得其所。它因此也就成了一种美。

附:刘进平老师发的:找几个最漂亮的数学公式和最丑陋的数学公式




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