3D快速成型技术是什么？
目前快速成型技术主要用在高端产品设计或者高等院校的研究领域，是一项比较昂贵的技术。可相信在不久的将来，它的成本就会下降到每个人都可以用它来做一些神奇小玩意儿的水平。每次想起现在满大街白菜价的激光打印机，在二十世纪70年代时可都是些成本在10万美元以上的昂贵机器啊，我就觉得十年内快速成型机器就一定可以装备在所有高校，大多数高中，或者是街角的打印店里。现在我开始研究快速成型机在艺术、数学、教育上的应用，相信在未来一定会派上用场，以下是我研究中一些有趣的成果。

本篇文章的前半部分主要展示了一些我使用Makerbot Cupcake（一种便宜简陋的家用快速成型机、3D打印机）制作的模型，并且给出了相应的快速成型机控制文件（*.stl文件）。欢迎大家使用这些控制文件复制我做的模型，或者对它们进行改进~

别看我看上去挺隆重，但是我却是初级的简陋家用快速成型机Makerbot Cupcake…很高兴认识大家，我的专长是“拔丝”作品，你们很快就能见识到……


文章的后半部分展示的是一些我用快速成型法制作的专业模型和雕塑，算是本文的重头戏。我多年来一直尝试在艺术、数学、教育领域推广快速成型技术，这也算是一个部分成果的汇总。这部分模型是以数学知识为基础，使用专业的快速成型机器制作的，效果更好，更炫目，一定会让你大饱眼福。每个模型都有关于算法的详细信息，大部分给出了加工文件。只答应我展示时在“设计”项署上我的名字，你就获准自由下载并制作你自己的快速成型模型了~下图Sierpinski分形四面体的照片。

Sierpinski分形四面体

1   一些用Makerbot Cupcake制作的模型

● 在先用一些简单的四边形练手之后，我编写了一些开放面结构的多面体。这是是一个十二面体的正常形状。

● 但是加工的时候，一些乱七八糟的怪东西（残余的熔融拉丝即）冒出来把开放区域连起来了……就变成这样了——姑且叫它“拔丝十二面体”。

● 这是用美工刀清理干净以后清爽的十二面体。



以下给出了五种正多面体STL文件
● 四面体
● 六面体
● 八面体
● 二十面体
● 十二面体

● 这里有一个更困难的挑战：一个包着另一个的、开方菱形面组成的三十面体。

● 制作出来的成品：虽然美工刀清理的工作量又增大了很多，但是我还是很满意最终效果的。 stlFile1

● 这是用来制作二十面体的连接器，插的木棍是羊肉串签子。

● 一共需要12个连接器和30根竹签才能制作一个完整的三十面体。这是 stlFile2 。

● 这是一个由Vi Hart设计的阿波罗分形垫（Apollonian gasket）

● 这是另一种形式的四面体，由6根有缺口的柱子连接在一起组成。本来我想把它做成一个有解谜概念的模型，做好后发现这东西还是有点太容易组装了，用橡皮筋一固定就装好了。真没悬念呐！就不侮辱各位的智商了… stlFile3 .

● 但是如果做6面体或10面体时采用相同的理念，你就可以得到一个很好的12根棍的解谜模型。这个模型已经相当复杂，以至于相关的细节我写出了单独的一页，有兴趣可以看一下 12 Sticks Puzzle 。

● 这是一个计划中的双曲面模型。

● 可是我的第一个Makerbot模型做出来是这样——欧也！拔丝双曲面~……因为步进电机在定位几个位置时出错了。

● 我把工作电压调高了一点点，又润滑了一下滑块，做出来的双曲面模型就没问题了。不过花了很长时间才用美工刀把讨厌的拉丝切干净。 stlFile4 .

● 这是一个经典的形象思维谜题：“设计一个能紧贴边缘的穿过方形、圆形、和三角形孔洞的物体”——Bingo!答案就是图中的这个楔形物体，它的俯视图是圆的，主视图和侧视图分别是三角形和方形的。
● 虽然我一般不用3D打印机来做平板零件（因为平板零件有相对更方便的制作方法），但是这里我把三个有洞的平板也一起做了。

● 把三个板子用管工PVC水泥胶粘在一起，制作出一个可以演示这个形状三面投影的框架，就可以好好玩你的楔形块了。

● 最后教大家一个好玩的东西，这是楔形物块完成一半的样子，你会注意到这个物块是中空的。这时我用镊子把两个3毫米的螺帽放到空洞里，等模型完成以后，两个螺帽就被密封在物块里面，摇起来能发出好听的喀啦喀啦的声响。另外万一哪天遇到3毫米螺帽短缺的情况，你知道紧急备用品藏在哪……



这是提到的4个STL文件:
● wedge
● squarehole
● circularhole
● triangularhole

● 这是个用在墙上的调光器旋钮的外表面，基本是一个由菱形组成的九十面体（rhombic enneacontahedron）的一半。注意观察这个多面体上的菱形有两种组合方式。

● 这个旋钮内部有一个与1/4英寸标准调光器调节杆相匹配的纽帽，其他地方都是掏空的。

● 制作出来的样子不错吧？这个结构实际看起来会比照片上清晰一点。中间的钮帽在加工完后还粘着不少熔丝，后来用15/64英寸钻头清理干净了，装到墙壁开关上还挺好使。 stlFile5 .

● 这是另外一个墙体开关旋钮的设计。该表面由映射到庞加莱模型（Poincare disk）上的（7,6,6）细分双曲面组成，包裹了大半个球面。看起来非常酷。 stlFile6

● 这里还有个我做的30根棍的解谜模型。




2   更复杂更好看更牛逼闪闪的快速成型模型2.1   快速成型技术的背景快速成型或者固体无模成型技术指的是使用一系列新技术，用薄层材料在计算机的控制下层层覆盖构造出三维物体。用快速成型法构造出的物体因为不受传统制造技术的约束，可以制作的更加复杂、精确，甚至拥有超现实的美感。


2.2   与数学有关的模型我作为一名雕塑师，对三维几何学有着必然的兴趣。出于爱好，我也对四维几何和相关的数学应用有浓厚的兴趣。我们知道，由一个四维物体，可以计算出其在三维空间的“投影”。这个投影往往是个繁复而美丽的三维物体。快速成型机对比传统工艺，有制作复杂模型的巨大优势，可以很容易的制作出这些似乎只存于思想实验中的结构。哪怕不懂这些美丽物体背后的数学意义，参观者也往往会对这些模型本身感到目瞪口呆。以下是我制作的一些模型，其中两个是和四维几何学有关的。我希望将来能做出一些关于代数曲面或者其他有趣的数学形式的模型。

● 图中是一个120胞体（120 - cells），是由120个正十二面体组成的四维结构“投影”而成的。该四维结构原本由一个大正十二面体被119个小正十二面体填充组成。但是投影到三维空间时，除了最外层和最内层的两个十二面体还是正十二面体，别的十二面体的角度都产生了必要的扭曲。

● 这个模型的直径约3英寸，在DTM 2500Plus快速成型机上采用激光烧结技术制造。非常适合拿在手上慢慢旋转着欣赏。

● 如果有条件，你可以下载我的STL文件，自己在快速成型机上制作一个一样的模型。 stlFile6

● 这是另一个用Extrude Hone公司的快速成型机，采用ProMetal流程制作的4英寸直径120胞体模型。
● 这个模型用铜粉和不锈钢粉末直接烧结而成，坚固耐用，经得起千年岁月。幻想2000年以后有人和我以同样的姿势拿着这个模型慢慢旋转着欣赏的情景，我就感到心神不宁了。（oh~geek！）
● 对于接触不到快速成型机的朋友们这应该算个好消息吧，该模型在Bathsheba Grossman有售！

● 这是一个广为流传的分形，是由二维的Sierpinski三角形泛化成的三维物体，通常被叫做Sierpinski 四面体。

● 图中展示的是该分形的五级版本，意思就是这个分形有五种尺寸的八面体孔洞。
● 模型的边长是8.5英寸，在前面我与它的合影中你会对它的尺寸有个直观的印象。

● 写一个程序让计算机画出这个图形来很容易，但是要制作出模型的话就要考虑到这些四面体之间几乎没有接触点。因为快速成型机做出的模型同样也需要支撑结构，所以有时是不能完全按数学模型制作出实体模型的。在为数学模型编写STL文件时往往就要考虑这些因素，要实际制造出这些模型往往需要用一些复杂的小技巧。 stlFile7

● 比前文提到的120胞体更美的是截角120胞体（truncated 120-cell），由120个截角12面体和600个四面体组成。图中是截角120胞体的正交投影模型，用光固化成型技术制造，直径约6英寸。
● 从各个方向观察洞穿模型的孔道，这种视觉震撼恐怕只有拿在细细把玩才能体会了。
● 同样这里给出了制作这个模型的 stlFile8  。

● 这是一种在1937年被数学家Michael Goldberg首次描述的多面体，被命名为Goldberg多面体。图中的多面体直径约8.3英寸，组成它的972个面中，有12个五边形和960个六边形。这是1000个面以下的这类多面体中面最多的一个。据我所知，无论是Michael | ● Goldberg还是别的学者，目前都还没有提出如何计算这类多面体的角度和边长构成才能使它的表面更圆润，我准备写篇论文把这个问题好好论述一下。 stlFile9

● 上图中是7个可以自由旋转相互不联接的球体。这个模型是在用现代制造技术，向制作同心象牙球的传统艺术致敬。根据这个页面this page的介绍，这项传统艺术始于17世纪的纽伦堡，现在在亚洲的某些国家（比如我国）还在被传承着。

● 这个模型的每个球体都是以不同的Goldberg多面体上的某边缘为基准制作的，这些多面体如下：
2, 0 (42 面);
2, 1 (72面);
3, 0 (92面);
2, 2 (122面);
3, 1 (132面);
4, 0 (162面);
3, 2 (192面);
这里展示的是一个在Stratasys 3000 机器用熔融层积法（FDM）制作的3英寸模型， stlFile10 .

● 在制作的过程中，有12个五边形在所有球体中排列成一线，你可以看到一个由五边形组成的通道洞穿模型。当制作完成、球体旋转、顺序被打乱后，要把模型恢复成制作时的排列，可不是一般的困难，简直可以作为一个考验体力的谜题了。

● 图中是一个由十个等边三角形纠结出的有趣形状，是由Alan Holden首先描述的许多多边形缠结中的一个。 stlFile11

● 这是两个正二十面体对称的均匀复合多面体（uniform polyhedral compounds）。这些结构在1976年由John skilling首先做出数学描述，我在1999年做出了这两个实体模型，不知有没有人比我先做出来。

● 上面的模型是五个同心截角四面体复合而成，下面的是由六个五棱柱复合而成。要看明白这些模型，你需要把模型想象成许多互相贯通穿插的多面体。
● 在由截角四面体复合而成的例子（上半图）中，你可以看到有朝向你的等边三角形（这个三角形的边长基本等于整个复合体的半径）同样你还能找到边长与其相等的一些六边形。四个三角形和四个六边形构成一个截角四面体。五个截角四面体互相部分重叠着连接在一起，就构成了整个模型。
● 类似的，由五棱柱组成的例子中，你也能看到有着相同边长的正方形和五边形。五个正方形和两个五边形构成一个五棱柱。六个五棱柱连接就成了模型中的样子。
● 或者把下面给出的STL文件用三维读图软件打开并旋转观察，你马上就能理解我在说什么了。
● 这些模型是用石膏在Zcorp快速成型机上制作的。这个机器的工艺有点点类似于喷墨打印机：有选择的把水喷在石膏要硬化的地方，再把没有润湿的石膏粉吸走，如此一层层的反复。
● 这是两个模型的STL文件: stlFile12 & stlFile13 。

● 这是另一个著名的分形：孟结海绵（Menger sponge）。(确实颇有几分神似海绵宝宝)…图中用熔融层积法（FDM）制作的模型是一个三级分形，也就是说这个分形中有三种不同大小的孔, stlFile14




● 该分型的有趣之处是：它的表面积会随着它级数的增长以指数方式增长（同样增大的还有STL文件大小）。如果需要我Email给你四级分形的孟结海绵STL文件（26M），请联系我，虽然可能在在你的电脑上直接生成会更容易一些。

● 把一个立方体分割为3乘3一共9个体素，如果某个体素的X、Y、Z坐标（三进制）中有两个或以上的值为1，这个体素就是空的。明白了以上这句话的意思，再加以推演，可以得到一个孟结海绵的简单算法。

● 下面的这幅图展示了被一个六边形截成两半的孟结海绵。这里是制造半个孟结海绵的stl文件，这个用激光烧结技术制作的模型边长是5.5厘米。 stlFile15

● 你应该知道用一个面把正方体切成两半时，使截面为正六边形,该怎么切：让四条长对角线的垂直平分线都在该截面上就行了。（不明白的人，作者让你切豆腐去……）你也可以轻松想象出正六边形的截面是什么样子。但是要试图想象同样切法的孟结海绵截面是什么图案，绝对是对形象思维能力的大挑战。
● 我就经常用这个模型作为谜题，让猜谜者在不分开两半孟结海绵时猜测着画出截面的样子，然后打开两半看看他们画的和真正的截面有什么不同。结果通常都让猜谜者大吃一惊。

● 图中是用Voroni 单元（Voroni cells） 拼成的四面体和八面体。多面体里的Voroni单元围绕着面心立方晶格点紧密排列。

● 这是一个两层测地球的4英寸模型。它的外层有260个三角形，内层有12个五边形和120个六边形。据我所知，这是世界上唯一的手性双层测地球（说人话就是：这个测地球不对称。） stlFile16

● 这个是仰截角二十面体（snub truncated icosahedron），这个模型背后的故事如果算故事的话就是：构成一个足球的五边形和六边形们被三角形组成的手性边界分隔开来。想知道更多？看看这篇 The Snub Truncated Icosahedron 。

● 如果你爱音乐又爱几何学，这个模型说起来一定相当酷。这是由Clifton Callender、 Ian Quinn和 Dmitri Tymoczko描述的一个代表三和弦的轨形（orbifold）。当然，它抽象掉了所有具体的同和弦换位。
● 模型中的一条条支柱连接着的和弦之间，都有某一个音符的相对变化为半音。在锥顶上的是增三和弦，与它连接的是大三和弦和小三和弦。在底部最右边的是“同度和弦”，就是三个音符都一样的和弦。坑爹呢？这不就是一个音么？！
● 大部分和弦有6个邻居，因为这些三和弦中的三个不同音符都可以增高或者是降低半音。在轨形底部边界的一圈是只有两个不同音符的和弦，这些和弦除了“同度和弦”以外都有4个邻居。“同度和弦”因为只有一个音符，就只有或高或低两个邻居。大三和弦和小三和弦有5个邻居，但是连接彼此的有两条通路，所以仍有6个连接。

● 这个用激光烧结制作的尼龙模型长5.5英寸，这是它的STL文件。还有一张高解析度照片，仔细看的话能看到纤维层与层之间的小台阶。

● 通过把图中这样形状相同的小多面体放在其他该多面体的顶点上，就可以获得分形多面体集群了。
● 具体做法是先把这些小多面体拼成这种多面体形状的大多面体单元，然后做出足够多的大单元，再拼成更大的单元。继续做下去就可以得到任何级别的版本。
● 例如下图就是一个星形十二面体拼成的二十面体拼成的二十面体。
●更多细节见 Polyhedral Clusters 。

● 这是一套对Mortan Bradley几何雕塑设计的重建模型。 更多细节在这里 Sculpture of Morton C. Bradley, Jr. 。




2.3   与历史有关的模型我设想，未来的小型博物馆、学校和有兴趣的人们都可以下载并用快速成型的方法，制作出能再现大型博物馆里重要展品的“复制展品”。比如教进化论的老师就可以下载并且复制出从古猿到现代人一系列头骨模型，用来讲解颅骨的演变。这些模型在教学过程中可以被同学们手传手自由的仔细观察，也可以放肆的在上面直接用标记笔涂画重要的地方。
为了预演这种未来的图景，我制做了一系列当年达芬奇（Leonardo da Vinci）为卢卡.帕乔利（Luca Pacioli）讲解数学时制做的多面体模型。

● 首先是由120个等边三角形组成的“elevated icosidodecahedron ” 特意为了这个词语咨询了一下无所不知的matix67同学，得到官方解释如下：Dodecahedron是正十二面体，Icosahedron是正二十面体,Icosidodecahedron是他俩的结合体。就是在这个多面体的每个面上架起相应的三角形、五边形骨架。

● 图中我手上展示的模型是用熔融层积法制作的，我过去还制作过木质的达芬奇的这些模型。

● 第二个是由72个面（24个三角形、48个四边形）构成的球体结构。
● 这个结构来源于文艺复兴时期制造的，用来讲解《欧几里德原理》（Book12,proposition7）的辅助教具。图中的模型是用Zcorp快速成型机制作的，直径为3英寸。

● 这是一个用小单元组装的挠环面模型，原型是在德国某博物馆展出的十六世纪木质工艺品。
● 该模型由一个环形链条和67个相同小单元组装而成。没有人清楚这个东西具体有什么功能还是想表达什么，也许只是艺术品或是好奇心的产物，总之这个结构看上去很有意思我就把他造出来了。

● 用快速成型机复制这类历史物品可以帮助人们更好的了解、研究它们的功能或制作方法……厄…我能管这叫“脊椎形”么。




2.4   艺术● 作为雕塑师，我会用到许多种原材料以及雕塑方法，其中也包括快速成型法。这里Here展示了一些我的作品。虽然通常为了控制这些雕塑作品的可复制性，我不会放出它们的STL文件供下载，但是以下模型十分有趣，有趣到我想你分享复制出它们的快乐。

● 比如这个，这是一个开放式结构的6层截角三十二面体。
● 其中希望你注意到的亮点，是它连接层与层之间的螺旋锥形 ，嗯，是一个非常复杂的结构对吧。
● 这个模型是用光敏树脂采用激光光固化工艺制作的,直径三英寸。

● 这是一个用激光快速烧结成型法制作的，直径三英寸的球体。该球体由许多个近似菱形组成。鉴于这个球体具有与二十面体相同的旋转对称，但是却没有镜像平面，我觉得它是一个学习空间对称性的好例子。同时它也具有向杰出的数学家、天文学家、器械制造专家：Abraham Sharp致敬的意义。

● 你可以用这个STL文件 stlFile18 制作出该模型，然后找到它上面12个五个菱形交汇的点。（图中至少有两个比较明显的，因为我已经找到了，你找到了么？）

● 这是我的一个作品，我把它叫做《纠缠的驯鹿》（私下里我认为，这位大师的所有作品可以被统称为：《纠缠的XX》）。这是一个用激光烧结法制作的直径3英寸模型。灵感来源于我的想象：一群驯鹿如果都头朝外团成一个团子会是什么样子的。

● 这是一篇描述这个作品基于什么方法制作的文章，还展示了近期我的一些其他快速成型雕塑 Sculpture from Symmetrically Arranged Planar Components 。

● 图中是一个由火蜥蜴形状编织的模型，直径2.5英寸，在Objet 333快速成型机上制作。这是我在MIT做驻场艺术家时，为一个群雕项目制作巨型雕塑（a large sculpture）时创作的原型。

● 这是一个纠结在一起的激光烧结模型，是一件雕塑作品同时也算是一个有解谜概念的模型。2英寸直径的大小实在有些无法展示设计细节，所以如果想动动手的话，可以按照这里this short paper给出的模板制作一个纸模，再用胶带粘起来……

● 这是一个其结构让人想起海胆的雕。

● 这个则让人联想到某种螺旋环面生物。这两个都是我在做一个叫做“棘皮动物”的项目时制作的雕塑。

● 这个雕塑形式来源于A.F.Well在1956年于《立体有机化学》（《The Third Dimension in Chemistry》）一书中对“（10,3）-a”网格的描述。最近该晶体结构由Toshikazu Sunada普及传播，被称做K4晶体。这个结构在各个方向上的投影有着巨大的不同，所以看一定要看多组照片才能看清它复杂的构造。

● 最后的这件雕塑艺术品与上述作品有着本质区别。这是个看起来像有机体的结构是由一个用来制作生长图形（比如基于细胞结构的生长图形）的算法制作的。
● 这个雕塑其实只是整个像3D电影般生长过程中的一帧。这个算法每次循环都会在上一次计算出的构造上多添加一个细胞。

● 该模型用ABS塑料由熔融喷丝法制作。因为模型本身的大小和颜色问题，可能从照片上看不清它的细胞结构。这里有我 上过色的大图 ，你应该能清楚看见细胞结构啦。




2.5   解谜游戏模型

● 这是一个由20个熔融层积法制作的相同部件组成的解谜模型。
● 拓展信息看 这里： 20-Part Puzzle 。




2.6   与算法有关的模型

● 这篇论文描述的算法 Solid-Segment Sculptures ，适用于把一堆线段转换为可以用快速成型机加工的三维模型。有兴趣的同学可以看一下。文中提到的一种用三角形有效包裹线段的方法在前文提到的许多模型中都使用过。

● 图中就是一个用该方法制作的有五个投影球面的5英寸模型。