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说课(14)(两种数学语言的转换)实变函数 精选

已有 16657 次阅读 2015-10-25 10:46 |个人分类:教育点滴|系统分类:教学心得

   这篇稍微专门化一点,需要一点微积分与集合论的基础。

    有一首顺口溜是这样形容大学生对大学课程的感受的:

实变函数学十遍,泛函分析心犯寒

随机过程随机过,量子力学量力学

数理方程没天理,汇编语言不会编

机械制图机械制,微机原理闹危机

常微分学常没分,微分拓扑躲不脱

模式识别不识别,神经网络发神经

可能绝大多数的大学生都感到实变函数不好学,有一年在中大替身体有恙的邓东皋老师教实变函数,课程结束后,有一位学生对我说:“曹老师,刚开始学习实变函数时,感到这门课很难学,当我们学完这门课程之后,觉得再也没有什么课程可以难倒我们了。”其实,学生还没有学到很多后续课程,当他们学到泛函分析、现代偏微分方程以及现代微分几何后也许又是另一番感受了。但不管怎么说,实变函数是大学本科数学专业中学生感到最为难的课程应该是不争的事实。

学生为什么感到实变函数难学?除了这门课程处理的函数远不像微积分中的函数那么直观具体,更重要的原因恐怕是学生没有掌握实变函数的语言诀窍。实变函数的一个典型特征是常常需要用集合论的语言描述函数的性质,并懂得两种不同语言之间如何进行相互转换。如果学生学会了函数论语言与集合论语言的相互转换,就再也不会感到实变函数莫测高深了。

连接函数与集合之间的最基本的桥梁是集合的特征函数:假设E是一个集合,如何采用量化的方式判断某个元素a在或不在E中?最简单的方法就是给他们赋予相应的数值,具体地说就是引入这样的函数:

$\chi _{E}(x ) = 1, x\in E or 0, x\notin E$

也就是说当aE中时,令函数的值为1,当a不在E中时,令函数的值为0,这个函数称为该集合的特征函数,利用这个函数可以在函数的性质与集合的性质之间进行转换。例如集合序列的极限所对应的特征函数与特征函数的极限是相同的,前者是集合极限的语言,后者则是函数极限的语言。学会了这种转换,很多问题就不难理解了。

在实变函数中,有几个核心定理堪称实变函数的精髓,一个是反映一致收敛与几乎处处收敛关系的叶果洛夫定理,另一个是反映可测函数与连续函数关系的鲁津定理,再一个就是勒贝格控制收敛定理,如果说这三个定理是实变函数论中最重要也是最精彩的定理大概不会有人反对。这三个定理都与函数的逼近有关,叶果洛夫定理是说,如果定义在集合E上的一个函数序列几乎处处收敛(去掉一个零测集后处处收敛)到某个函数,如何构造一个E的子集,使得这个子集与E的测度充分接近,而在这个子集上,该函数序列一致收敛,从这个定理的内容就可以看出它的重要性,因为一致收敛下的函数极限遗传了函数序列的诸多性质;鲁津定理说的则是如何用连续函数去逼近可测函数;勒贝格控制收敛定理告诉我们什么时候函数序列的极限与积分可以交换顺序。所有这些定理的证明都涉及一个基本问题:函数序列的收敛状况如何?换句话说,函数序列在哪些点是收敛的,在哪些点是不收敛的?

要搞清楚这个问题,首先需要明白在微积分中是如何用严格的数学语言描述一个函数序列在某个点是不收敛到某个函数的,这就是所谓的N-ε语言。具体地说,函数序列fnx点不收敛到f(x)指的是:

存在 $\varepsilon _{0}=\varepsilon _{0}(x) >0$ ( $\varepsilon _{0}$ 可能与x有关),对任意N,有n=n(x)>N(n也可能与x有关),使得

        |fn(x)-f(x)|> ε0

为了完成实变函数论中上述诸定理的证明,最关键的一个步骤是需要将上述函数论语言转换成集合论语言,也就是说,需要用集合的方式将不收敛的点集表示出来。你也许认为,这个问题太简单了,E{x|fn(x)不收敛到f(x)}不就是集合的表示方式吗?没错,它的确是个标准的集合,然并卵,因为正如微积分中说fn(x)不收敛到f(x)一样,这是一种定性的描述,你无法让它参与数学演绎,你需要将上面的N-ε语言转换成集合的语言。转换的关键有两点:

1、上述的ε0可以取任意的值,但是集合的运算通常仅限于最多可数次,所以需要用一个可数的序列去替换。事实上,如果a>ε>0,只要k充分大,必有a>ε>1/k,反之,如果存在k,使得a>1/k,只要取ε=1/k就可以有a>ε了。

2、需要搞清楚分析语言中的“存在”、“任意”与集合运算之间的关系。所谓存在,只需有一个就成,所谓任意则是指对所有的都成立。所以“存在”对应集合的“并”运算,“任意”对应集合的“交”运算。

弄清楚上述两个问题,转换就不再是难事了:

E{x|fn(x)不收敛到f(x)}

= $\bigcup _{k=1}^{\infty} \bigcap _{N=1}^{\infty} \bigcup _{n=N}^{\infty} E\{x||f_{n}(x ) -f(x ) |>1/k\}$

有了上述表示式,实变函数中许多与收敛性有关的问题便迎刃而解了。




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