中学数学没有介绍极限概念，更没有介绍连续函数概念，也没有讲不定积分，但讲了导数，讲了定积分，还讲了微积分学基本定理。大学老师一定纳闷，不讲极限如何讲导数？需知极限乃微积分的灵魂，没有不定积分概念，能不能讲清楚微积分学基本定理？中学老师对这个问题也很迷惑，所以上学期，中学邀请我去讲了导数第一节课，最近又受邀去讲了微积分学基本定理第一课。

没有不定积分概念未必不可以讲定积分，事实上不定积分是后来数学家发明出来的数学玩意，定积分才是有着重大科学价值的东西。先来看看课本是怎样介绍微积分学基本定理的。

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以路程为例引入微积分基本定理是比较恰当的，学生也容易接受，不过课本上的介绍方法让学生有点不知所云，本质上讲，课本的意思是“将时间分割之后，每一个时间段所走过的路程近似用小区间上路程曲线段左端点处的切线段近似替代这段曲线，利用直角三角形和正切（切线的斜率）算出对应的高，这个高就是这个时间段上物理走过的近似路程，累加起来再取极限就是物体走过的路程了。对路程问题用这种方式来解释是行得通的，虽然学生听起来有点茫然。但这一方法如何解释一般情形下的定积分问题呢？例如，怎么解释正弦函数在某个区间上的定积分？用上述方法恐怕会令学生晕头转向，换一种方式或许更好，而且可以解释一般函数的定积分问题。我是围绕着三个问题这样展开的：

1、定积分的前世今生

首先询问学生定积分是怎么来的，为了解决什么问题，接着从古希腊的面积问题开始（割圆术），直到一般图形的面积问题，以及物理学上出现的诸如压强变化的情况下如何求压力？由此说明定积分的重要性，接着，话锋一转，如何计算定积分？我通过几个简单函数的定积分问题说明按定义计算定积分是件十分困难的事，有没有一个一般的方法可以方便地计算定积分？于是问题转向了下面的

2、如何计算定积分？

我也是从路程问题出发，但没有采用书本上的方法，而是和学生一起温习了路程与速度的关系，已知路程如何求速度？学生很清楚：S’(t)=v(t)，其中S是路程，V是速度，接着分析反问题，已知速度如何计算路程？在任意时间段上，平均速度与瞬时速度之间是什么关系？平均速度显然介于最快速度与最慢速度之间。定积分的定义中，在任意小的区间里可以取任一点处的函数值并不影响和式的极限，换言之，最终的极限是一定的。因此用该时间段上的平均速度替代任一点处的瞬时速度也不会改变极限的值，具体地说：

$\int_{a}^{b}v(t)dt=lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}v(\xi_{i})\Delta t =\sum_{i=1}^{n}\frac{S(i_{i})-S(t_{i-1})}{\Delta t}\Delta t =S(b)-S(a)$

(上述第二个等式少了个极限符号，修改比较麻烦)

由于中学课本处理的全都是初等函数，所以这个方法对一般的函数也适用，然而，当我让学生上来讲解一般情形下的公式时，学生受教材影响太深，试图用书本上的方法解释。当函数产生波动时如何解释呢？教材中的方法就显得有点无能为力了。

最后总结出：能不能计算一个函数的定积分，关键是能不能找到一个函数，使得这个函数的导函数刚好是被积函数？一旦找到了，定积分问题就迎刃而解了。由此也可以看到，积分与求导是互逆的。

3、例子

有了微积分学基本定理，一般的定积分问题自然不在话下，中学对此要求不高，无需太复杂的例子。